Οι αναλογικές ποσότητες αυξάνουν ή μειώνονται οι τιμές τους σε μια σχέση που μπορεί να ταξινομηθεί ως άμεση ή αντίστροφη αναλογικότητα.
Ποιες είναι οι αναλογικές ποσότητες;
Μια ποσότητα ορίζεται ως κάτι που μπορεί να μετρηθεί ή να υπολογιστεί, είτε είναι η ταχύτητα, η περιοχή ή ο όγκος του a υλικό, και είναι χρήσιμο να συγκριθεί με άλλες μετρήσεις, συχνά της ίδιας μονάδας, που αντιπροσωπεύουν a λόγος.
Η αναλογία είναι μια σχέση ισότητας μεταξύ αναλογιών και, επομένως, παρουσιάζει τη σύγκριση δύο ποσοτήτων σε διαφορετικές καταστάσεις.
Η ισότητα μεταξύ a, b, c και d διαβάζεται ως εξής: a is to b όπως c είναι d.
Η σχέση μεταξύ των ποσοτήτων μπορεί να συμβεί άμεσα ή αντίστροφα.
Πώς λειτουργούν άμεσα και αντιστρόφως αναλογικές ποσότητες;
Όταν η διακύμανση μιας ποσότητας προκαλεί την άλλη να διαφέρει στην ίδια αναλογία, έχουμε άμεση αναλογικότητα. Αντίστροφη αναλογικότητα παρατηρείται όταν μια αλλαγή σε μια ποσότητα παράγει μια αντίθετη αλλαγή στην άλλη.
άμεση αναλογικότητα
Δύο ποσότητες είναι άμεσα αναλογικές όταν η παραλλαγή της μιας υποδηλώνει τη διακύμανση της άλλης στην ίδια αναλογία, δηλαδή διπλασιάζοντας μία από αυτές, η άλλη διπλασιάζεται επίσης. μειώνοντας κατά το ήμισυ, το άλλο μειώνεται επίσης κατά το ίδιο ποσό... και ούτω καθεξής.
Γραφικά, η απευθείας αναλογική παραλλαγή μιας ποσότητας σε σχέση με μια άλλη σχηματίζει μια ευθεία γραμμή που περνά μέσω της προέλευσης, αφού έχουμε y = k.x, όπου το k είναι μια σταθερά.
Παράδειγμα άμεσης αναλογικότητας
Ένας εκτυπωτής, για παράδειγμα, έχει τη δυνατότητα εκτύπωσης 10 σελίδων ανά λεπτό. Εάν διπλασιάσουμε τον χρόνο, διπλασιάζουμε τον αριθμό των εκτυπωμένων σελίδων. Ομοίως, εάν σταματήσουμε τον εκτυπωτή σε μισό λεπτό, λαμβάνουμε τον μισό αριθμό των αναμενόμενων εκτυπώσεων.
Τώρα, θα δούμε με αριθμούς τη σχέση μεταξύ των δύο ποσοτήτων.
Σε ένα τυπογραφείο, γίνονται εκτυπώσεις σχολικών βιβλίων. Σε 2 ώρες, γίνονται 40 εκτυπώσεις. Σε 3 ώρες, η ίδια μηχανή παράγει άλλες 60 εμφανίσεις, σε 4 ώρες, 80 εμφανίσεις και σε 5 ώρες, 100 εμφανίσεις.
| Ώρα (ώρες) | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Εμφανίσεις (αριθμός) | 40 | 60 | 80 | 100 |
Η σταθερά της αναλογικότητας μεταξύ των ποσοτήτων βρίσκεται από την αναλογία μεταξύ του χρόνου εργασίας του μηχανήματος και του αριθμού των αντιγράφων που έχουν δημιουργηθεί.
Το πηλίκο αυτής της ακολουθίας (1/20) καλείται σταθερά αναλογικότητας (κ).
Ο χρόνος εργασίας (2, 3, 4 και 5) είναι άμεσα ανάλογος με τον αριθμό των αντιγράφων (40, 60, 80 και 100), διότι διπλασιάζοντας τον χρόνο εργασίας, ο αριθμός των αντιγράφων διπλασιάζεται επίσης.
αντίστροφη αναλογικότητα
Δύο ποσότητες είναι αντιστρόφως ανάλογες όταν η αύξηση της μιας συνεπάγεται μείωση της άλλης, δηλαδή διπλασιάζοντας μια ποσότητα, η αντίστοιχη μειώνεται κατά το ήμισυ. τριπλασιάζοντας το ένα μέγεθος, το άλλο το μειώνει στο ένα τρίτο... και ούτω καθεξής.
Γραφικά, η αντίστροφη αναλογική διακύμανση μιας ποσότητας σε σχέση με μια άλλη σχηματίζει υπερβολή, αφού έχουμε y = k / x, όπου το k είναι μια σταθερά.
Παράδειγμα αντίστροφης αναλογίας
Όταν η ταχύτητα αυξάνεται, ο χρόνος ολοκλήρωσης ενός μαθήματος είναι μικρότερος. Ομοίως, κατά τη μείωση της ταχύτητας, θα χρειαστεί περισσότερος χρόνος για να κάνετε την ίδια διαδρομή.
Δείτε παρακάτω μια εφαρμογή της σχέσης μεταξύ αυτών των ποσοτήτων.
Ο João αποφάσισε να μετρήσει τον χρόνο που χρειάστηκε για να κάνει κύκλο από το σπίτι στο σχολείο με διαφορετικές ταχύτητες. Σημειώστε την καταγεγραμμένη ακολουθία.
| Ώρα (λεπτά) | 2 | 4 | 5 | 1 |
| Ταχύτητα (m / s) | 30 | 15 | 12 | 60 |
Μπορούμε να κάνουμε την ακόλουθη σχέση με τους αριθμούς ακολουθίας:
Γράφοντας ως ίσους λόγους, έχουμε:
Σε αυτό το παράδειγμα, η χρονική ακολουθία (2, 4, 5 και 1) είναι αντιστρόφως ανάλογη με τη μέση ταχύτητα πεντάλ (30, 15, 12 και 60) και σταθερά αναλογικότητας (κ) μεταξύ αυτών των ποσοτήτων είναι 60.
Σημειώστε ότι όταν ένας αριθμός ακολουθίας διπλασιάζεται, ο αντίστοιχος αριθμός ακολουθίας υποδιπλασιάζεται.
Δείτε επίσης: Αναλογικότητα
Οι ασκήσεις σχολίασαν άμεσα και αντιστρόφως αναλογικές ποσότητες
ερώτηση 1
Ταξινομήστε τις ποσότητες που αναφέρονται παρακάτω σε άμεσες ή αντιστρόφως αναλογικές.
α) Κατανάλωση καυσίμου και χιλιόμετρα που διανύονται με όχημα.
β) Αριθμός τούβλων και περιοχή τοίχου.
γ) Έκπτωση που δίνεται σε ένα προϊόν και την τελική τιμή που πληρώθηκε.
δ) Αριθμός βρύσεων με την ίδια ροή και χρόνο για να γεμίσετε μια ομάδα.
Σωστές απαντήσεις:
α) Άμεσες αναλογικές ποσότητες. Όσο περισσότερα χιλιόμετρα ταξιδεύει ένα όχημα, τόσο μεγαλύτερη είναι η κατανάλωση καυσίμου για την ολοκλήρωση της διαδρομής.
β) Άμεσα αναλογικές ποσότητες. Όσο μεγαλύτερη είναι η επιφάνεια ενός τοίχου, τόσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός των τούβλων που θα είναι μέρος αυτού.
γ) Αντιστρόφως ανάλογες ποσότητες. Όσο μεγαλύτερη είναι η έκπτωση που δίνεται στην αγορά ενός προϊόντος, τόσο χαμηλότερο είναι το ποσό που θα πληρωθεί για τα εμπορεύματα.
δ) Αντιστρόφως ανάλογες ποσότητες. Εάν οι βρύσες έχουν την ίδια ροή, απελευθερώνουν την ίδια ποσότητα νερού. Επομένως, όσο περισσότερες βρύσες ανοίγουν, τόσο λιγότερος χρόνος χρειάζεται για να απελευθερωθεί η ποσότητα νερού που απαιτείται για να γεμίσει η πισίνα.
Ερώτηση 2
Ο Pedro διαθέτει πισίνα στο σπίτι του μήκους 6 μέτρων και 30.000 λίτρα νερού. Ο αδερφός του Αντόνιο αποφασίζει επίσης να κατασκευάσει πισίνα με το ίδιο πλάτος και βάθος, αλλά μήκους 8 μέτρων. Πόσα λίτρα νερού χωράνε στην πισίνα του Antônio;
α) 10 000 λίτρα
β) 20 000 λίτρα
γ) 30.000 λίτρα
δ) 40 000 λίτρα
Σωστή απάντηση: δ) 40 000 L.
Ομαδοποιώντας τις δύο ποσότητες που δίνονται στο παράδειγμα, έχουμε:
| μεγέθη | Πέτρος | Αντόνιο |
| Μήκος πισίνας (μ) | 6 | 8 |
| Ροή νερού (L) | 30 000 | Χ |
Σύμφωνα με την θεμελιώδης ιδιότητα των αναλογιών, στη σχέση μεταξύ των ποσοτήτων, το προϊόν των άκρων είναι ίσο με το προϊόν των μέσων και αντίστροφα.
Για να επιλύσουμε αυτό το ζήτημα χρησιμοποιούμε το Χ ως άγνωστο, δηλαδή, η τέταρτη τιμή που πρέπει να υπολογιστεί από τις τρεις τιμές που δίνονται στη δήλωση.
Χρησιμοποιώντας τη θεμελιώδη ιδιότητα των αναλογιών, υπολογίζουμε το προϊόν των μέσων και το προϊόν των άκρων για να βρούμε την τιμή του x.
Σημειώστε ότι μεταξύ των ποσοτήτων υπάρχουν άμεση αναλογικότητα: όσο μεγαλύτερο είναι το μήκος της πισίνας, τόσο μεγαλύτερη είναι η ποσότητα νερού που κρατά.
Δείτε επίσης: Αναλογία και αναλογία
ερώτηση 3
Σε μια καφετέρια, ο κ. Alcides ετοιμάζει χυμό φράουλας κάθε μέρα. Σε 10 λεπτά και χρησιμοποιώντας 4 μπλέντερ, η καφετέρια μπορεί να προετοιμάσει τους χυμούς που παραγγέλνουν οι πελάτες. Για να μειώσει τον χρόνο προετοιμασίας, ο Alcides διπλασίασε τον αριθμό των μπλέντερ. Πόσος χρόνος χρειάστηκε για να είναι έτοιμοι οι χυμοί με τους 8 μπλέντερ να δουλεύουν;
α) 2 λεπτά
β) 3 λεπτά
γ) 4 λεπτά
δ) 5 λεπτά
Σωστή απάντηση: δ) 5 λεπτά.
|
Μπλέντερ (αριθμός) |
χρόνος (λεπτά) |
| 4 | 10 |
| 8 | Χ |
Σημειώστε ότι μεταξύ των μεγεθών της ερώτησης υπάρχουν αντίστροφη αναλογικότητα: όσο περισσότερα μπλέντερ παρασκευάζουν χυμό, τόσο λιγότερος χρόνος θα χρειαστεί για να είναι όλοι έτοιμοι.
Επομένως, για την επίλυση αυτού του προβλήματος το μέγεθος του χρόνου πρέπει να αντιστραφεί.
Στη συνέχεια εφαρμόζουμε τη θεμελιώδη ιδιότητα της αναλογίας και επιλύουμε το ζήτημα.
Μην σταματήσετε εκεί, μπορεί επίσης να σας ενδιαφέρει:
- Ασκήσεις για λόγους και αναλογία
- Απλός και σύνθετος κανόνας των τριών
- Ασκήσεις σε κανόνα τριών
