Τα συστήματα εξισώσεων 1ου βαθμού αποτελούνται από ένα σύνολο εξισώσεων που παρουσιάζουν περισσότερα από ένα άγνωστα.
Η επίλυση ενός συστήματος βρίσκει τις τιμές που ικανοποιούν όλες αυτές τις εξισώσεις ταυτόχρονα.
Πολλά προβλήματα επιλύονται μέσω συστημάτων εξισώσεων. Επομένως, είναι σημαντικό να γνωρίζουμε τις μεθόδους επίλυσης για αυτόν τον τύπο υπολογισμού.
Επωφεληθείτε από τις λύσεις που λύθηκαν για να λύσετε όλες τις αμφιβολίες σας σχετικά με αυτό το θέμα.
Σχολίασε και επιλύθηκε ζητήματα
1) Ναυτικοί μαθητευόμενοι - 2017
Το άθροισμα ενός αριθμού x και διπλάσιο ενός αριθμού y είναι - 7; και η διαφορά μεταξύ του τριπλού αυτού του αριθμού x και του αριθμού y είναι ίση με 7. Επομένως, είναι σωστό να δηλώσετε ότι το προϊόν xy ισούται με:
α) -15
β) -12
γ) -10
δ) -4
ε) - 2
Ας ξεκινήσουμε χτίζοντας τις εξισώσεις λαμβάνοντας υπόψη την κατάσταση που προτείνεται στο πρόβλημα. Έτσι, έχουμε:
x + 2.y = - 7 και 3.x - y = 7
Οι τιμές των x και y πρέπει να ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις ταυτόχρονα. Επομένως, σχηματίζουν το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων:
Μπορούμε να λύσουμε αυτό το σύστημα με τη μέθοδο προσθήκης. Για να γίνει αυτό, ας πολλαπλασιάσουμε τη δεύτερη εξίσωση με 2:
Προσθήκη των δύο εξισώσεων:
Αντικαθιστώντας την τιμή του x που βρέθηκε στην πρώτη εξίσωση, έχουμε:
1 + 2y = - 7
2y = - 7 - 1
Έτσι, το προϊόν xy θα είναι ίσο με:
x.y = 1. (- 4) = - 4
Εναλλακτική λύση: d) - 4
2) Στρατιωτικό Κολλέγιο / RJ - 2014
Ένα τρένο ταξιδεύει από τη μια πόλη στην άλλη πάντα με σταθερή ταχύτητα. Όταν το ταξίδι γίνεται με 16 km / h μεγαλύτερη ταχύτητα, ο χρόνος που αφιερώνεται μειώνεται κατά δυόμισι ώρες και όταν γίνεται με 5 km / h λιγότερη ταχύτητα, ο χρόνος που αφιερώνεται αυξάνεται κατά μία ώρα. Ποια είναι η απόσταση μεταξύ αυτών των πόλεων;
α) 1200 χλμ
β) 1000 χλμ
γ) 800 χλμ
δ) 1400 χλμ
ε) 600 χλμ
Δεδομένου ότι η ταχύτητα είναι σταθερή, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον ακόλουθο τύπο:
Στη συνέχεια, η απόσταση εντοπίζεται κάνοντας:
d = v.t
Για την πρώτη κατάσταση έχουμε:
β1 = v + 16 και t1 = t - 2.5
Αντικατάσταση αυτών των τιμών στον τύπο απόστασης:
d = (v + 16). (τ - 2,5)
d = v.t - 2,5v + 16t - 40
Μπορούμε να αντικαταστήσουμε το v.t με d στην εξίσωση και να απλοποιήσουμε:
-2,5v + 16t = 40
Για την κατάσταση όπου μειώνεται η ταχύτητα:
β2 = v - 5 και t2 = t + 1
Κάνοντας την ίδια αντικατάσταση:
d = (v -5). (t + 1)
d = v.t + v -5t -5
v - 5t = 5
Με αυτές τις δύο εξισώσεις, μπορούμε να συγκεντρώσουμε το ακόλουθο σύστημα:
Επίλυση του συστήματος με τη μέθοδο υποκατάστασης, ας απομονώσουμε το v στη δεύτερη εξίσωση:
v = 5 + 5t
Αντικατάσταση αυτής της τιμής στην πρώτη εξίσωση:
-2,5 (5 + 5t) + 16t = 40
-12,5 - 12,5t + 16t = 40
3,5t = 40 + 12,5
3,5t = 52,5
Ας αντικαταστήσουμε αυτήν την τιμή για να βρούμε την ταχύτητα:
v = 5 + 5. 15
v = 5 + 75 = 80 km / h
Για να βρείτε την απόσταση, πολλαπλασιάστε απλώς τις τιμές ταχύτητας και χρόνου που βρέθηκαν. Ετσι:
d = 80. 15 = 1200 χλμ
Εναλλακτική λύση: α) 1200 χλμ
3) Μαθητευόμενοι του Ναυτικού - 2016
Ένας μαθητής πλήρωσε ένα σνακ 8 reais σε 50 cents και 1 reais. Γνωρίζοντας ότι, για αυτήν την πληρωμή, ο μαθητής χρησιμοποίησε 12 νομίσματα, καθορίζει αντίστοιχα τα ποσά 50 σεντ και ένα πραγματικό νόμισμα που χρησιμοποιήθηκαν για την πληρωμή του σνακ και σημειώστε τη σωστή επιλογή.
α) 5 και 7
β) 4 και 8
γ) 6 και 6
δ) 7 και 5
ε) 8 και 4
Λαμβάνοντας υπόψη τον αριθμό των νομισμάτων των 50 λεπτών, τον αριθμό των κερμάτων 1 δολαρίου και το ποσό που καταβλήθηκε ίσο με 8 reais, μπορούμε να γράψουμε την ακόλουθη εξίσωση:
0,5x + 1y = 8
Γνωρίζουμε επίσης ότι χρησιμοποιήθηκαν 12 νομίσματα στην πληρωμή, οπότε:
x + y = 12
Συγκέντρωση και επίλυση του συστήματος με προσθήκη:
Αντικατάσταση της τιμής που βρέθηκε του x στην πρώτη εξίσωση:
8 + y = 12
y = 12 - 8 = 4
Εναλλακτική λύση: ε) 8 και 4
4) Colégio Pedro II - 2014
Από ένα κουτί που περιείχε λευκές μπάλες Β και μαύρες μπάλες, αφαιρέθηκαν 15 λευκές μπάλες, απομένοντας μεταξύ των υπόλοιπων μπαλών η αναλογία 1 λευκού προς 2 μαύρων. Στη συνέχεια, 10 μαύροι αφαιρέθηκαν, αφήνοντας, στο κουτί, έναν αριθμό μπαλών στην αναλογία 4 λευκών προς 3 μαύρων. Ένα σύστημα εξισώσεων για τον προσδιορισμό των τιμών των Β και Ρ μπορεί να αναπαρασταθεί από:
Λαμβάνοντας υπόψη την πρώτη κατάσταση που αναφέρεται στο πρόβλημα, έχουμε την ακόλουθη αναλογία:
Πολλαπλασιάζοντας αυτήν την αναλογία "σε σταυρό", έχουμε:
2 (Β - 15) = Ρ
2B - 30 = Ρ
2Β - Ρ = 30
Ας κάνουμε το ίδιο για την ακόλουθη κατάσταση:
3 (B - 15) = 4 (P - 10)
3B - 45 = 4P - 40
3B - 4P = 45 - 40
3B - 4P = 5
Συνδυάζοντας αυτές τις εξισώσεις σε ένα σύστημα, βρίσκουμε την απάντηση στο πρόβλημα.
Εναλλακτική: α)
5) Faetec - 2012
Ο Κάρλος έλυσε, σε ένα σαββατοκύριακο, 36 περισσότερες μαθηματικές ασκήσεις από τον Νίλτον. Γνωρίζοντας ότι ο συνολικός αριθμός ασκήσεων που επιλύθηκαν και από τους δύο ήταν 90, ο αριθμός των ασκήσεων που έλυσε ο Carlos ισούται με:
α) 63
β) 54
γ) 36
δ) 27
ε) 18
Θεωρώντας το x ως τον αριθμό των ασκήσεων που επιλύθηκαν από τον Carlos και y ως τον αριθμό των ασκήσεων που επιλύθηκαν από τον Nilton, μπορούμε να δημιουργήσουμε το ακόλουθο σύστημα:
Αντικαθιστώντας το x με y + 36 στη δεύτερη εξίσωση, έχουμε:
y + 36 + y = 90
2y = 90 - 36
Αντικατάσταση αυτής της τιμής στην πρώτη εξίσωση:
x = 27 + 36
x = 63
Εναλλακτική λύση: α) 63
6) Enem / PPL - 2015
Η σκηνή σκοποβολής ενός λούνα παρκ θα δώσει ένα έπαθλο 20 $ R στον συμμετέχοντα, κάθε φορά που χτυπά τον στόχο. Από την άλλη πλευρά, κάθε φορά που χάνει τον στόχο, πρέπει να πληρώσει 10,00 $. Δεν υπάρχει αρχική χρέωση για να παίξετε το παιχνίδι. Ένας συμμετέχων έβαλε 80 βολές και, στο τέλος, έλαβε 100,00 R $. Πόσες φορές αυτός ο συμμετέχων πέτυχε τον στόχο;
α) 30
β) 36
γ) 50
δ) 60
ε) 64
Όπου x είναι ο αριθμός των λήψεων που έφτασαν στο στόχο και y είναι ο αριθμός των λανθασμένων λήψεων, έχουμε το ακόλουθο σύστημα:
Μπορούμε να λύσουμε αυτό το σύστημα με τη μέθοδο προσθήκης, θα πολλαπλασιάσουμε όλους τους όρους της δεύτερης εξίσωσης με 10 και θα προσθέσουμε τις δύο εξισώσεις:
Επομένως, ο συμμετέχων πέτυχε τον στόχο 30 φορές.
Εναλλακτική λύση: α) 30
7) Enem - 2000
Μια ασφαλιστική εταιρεία συγκέντρωσε δεδομένα για αυτοκίνητα σε μια συγκεκριμένη πόλη και διαπίστωσε ότι κατά μέσο όρο 150 αυτοκίνητα κλέβονται κάθε χρόνο. Ο αριθμός των κλεμμένων αυτοκινήτων μάρκας X είναι διπλάσιος από τον αριθμό των κλεμμένων αυτοκινήτων μάρκας Υ και οι μάρκες X και Y μαζί αντιπροσωπεύουν περίπου το 60% των κλεμμένων αυτοκινήτων. Ο αναμενόμενος αριθμός κλεμμένων αυτοκινήτων μάρκας Υ είναι:
α) 20
β) 30
γ) 40
δ) 50
ε) 60
Το πρόβλημα δείχνει ότι ο αριθμός των κλεμμένων αυτοκινήτων των εμπορικών σημάτων x και y είναι ισοδύναμος με το 60% του συνόλου, οπότε:
150.0,6 = 90
Λαμβάνοντας υπόψη αυτήν την τιμή, μπορούμε να γράψουμε το ακόλουθο σύστημα:
Αντικαθιστώντας την τιμή του x στη δεύτερη εξίσωση, έχουμε:
2y + y = 90
3y = 90
Εναλλακτική λύση: β) 30
Δείτε επίσης: Ασκήσεις εξίσωσης 1ου βαθμού με άγνωστο