Τι είναι οι πρώτοι αριθμοί;

Οι πρωταρχικοί αριθμοί είναι εκείνοι που έχουν μόνο δύο διαιρέτες: έναν και τον ίδιο τον αριθμό. Είναι μέρος του συνόλου των φυσικών αριθμών.

Για παράδειγμα, το 2 είναι ένας πρωταρχικός αριθμός, καθώς διαιρείται μόνο από έναν και τον ίδιο.

Όταν ένας αριθμός έχει περισσότερους από δύο διαιρέτες καλούνται σύνθετοι αριθμοί και μπορούν να γραφτούν ως προϊόν πρωταρχικών αριθμών.

Για παράδειγμα, το 6 δεν είναι ένας πρωταρχικός αριθμός, είναι ένας σύνθετος αριθμός καθώς έχει περισσότερα από δύο διαιρέτες (1, 2 και 3) και γράφεται ως το προϊόν των δύο πρώτων αριθμών 2 x 3 = 6.

Μερικές εκτιμήσεις σχετικά με τους πρώτους αριθμούς:

• Ο αριθμός 1 δεν είναι ένας πρωταρχικός αριθμός, καθώς διαιρείται μόνο του.
• Ο αριθμός 2 είναι ο μικρότερος πρώτος αριθμός και επίσης ο μόνος που είναι ομοιόμορφος.
• Ο αριθμός 5 είναι ο μόνος πρώτος αριθμός που λήγει σε 5.
• Οι άλλοι πρώτοι αριθμοί είναι μονός και τελειώνουν με τα ψηφία 1, 3, 7 και 9.

Πώς ξέρετε εάν ένας αριθμός είναι πρωταρχικός;

Ένας τρόπος για να βρείτε έναν πρωταρχικό αριθμό είναι να χρησιμοποιήσετε το κόσκινο της Ερατοσθένης.

1. Δημιουργήστε έναν πίνακα και γράψτε τους αριθμούς σε ένα εύρος, για παράδειγμα από 1 έως 100.
2. Ο αριθμός 1 μπορεί να εξαλειφθεί καθώς δεν είναι ένας πρώτος αριθμός.
3. Σημειώστε όλους τους πρώτους αριθμούς μικρότερους από 10 (2, 3, 5 και 7) με διαφορετικά χρώματα.
4. Εξαλείψτε τα πολλαπλάσια αυτών των αριθμών επισημαίνοντάς τα με τα αντίστοιχα χρώματα.
5. Οι υπόλοιποι αριθμοί στον πίνακα, οι οποίοι δεν έχουν ελεγχθεί, είναι οι πρώτοι αριθμοί.

Από τον πίνακα μπορούμε να δούμε ότι υπάρχουν 25 πρώτοι αριθμοί μεταξύ 1 και 100. Είναι αυτοί:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 και 97.

Ένας άλλος τρόπος για να αναγνωρίσετε έναν πρωταρχικό αριθμό είναι να εκτελέσετε διαιρέσεις με τον αριθμό που διερευνήθηκε. Για να διευκολύνετε τη διαδικασία, δείτε μερικά κριτήρια διαιρεσιμότητας.

Διαιρετότητα κατά 2: κάθε αριθμός του οποίου το ψηφίο μονάδας είναι ομοιόμορφο διαιρείται με 2 ·

Διαιρετότητα με 3: ένας αριθμός διαιρείται με 3 εάν το άθροισμα των ψηφίων του είναι ένας αριθμός διαιρούμενος με 3 ·

Διαιρετότητα κατά 5: ένας αριθμός θα διαιρείται με 5 όταν το ψηφίο μονάδας είναι ίσο με 0 ή 5.

Εάν ο αριθμός δεν μπορεί να διαιρεθεί με 2, 3 και 5, συνεχίζουμε τις διαιρέσεις με τους επόμενους πρώτους αριθμούς μικρότερους από τον αριθμό έως:

• Εάν είναι ακριβής διαίρεση (το υπόλοιπο ισούται με μηδέν) τότε ο αριθμός δεν είναι πρωταρχικός.
• Εάν πρόκειται για μια ανακριβής διαίρεση (μη μηδέν υπόλοιπο) και το πηλίκο είναι μικρότερο από το διαχωριστικό, τότε ο αριθμός είναι πρώτος.
• Εάν πρόκειται για μια ανακριβής διαίρεση (μη μηδέν υπόλοιπο) και το πηλίκο είναι ίσο με το διαχωριστικό, τότε ο αριθμός είναι πρώτος.

Επιλυμένο παράδειγμα: ελέγξτε αν ο αριθμός 113 είναι πρώτος.

Σχετικά με τον αριθμό 113, έχουμε:

• Δεν έχει το τελευταίο ζυγό ψηφίο και, επομένως, δεν διαιρείται με 2
• Το άθροισμα των ψηφίων του (1 + 1 + 3 = 5) δεν είναι ένας αριθμός διαιρούμενος με 3.
• Δεν τελειώνει σε 0 ή 5, οπότε δεν διαιρείται με 5.

Όπως έχουμε δει, το 113 δεν διαιρείται με τα 2, 3 και 5. Τώρα, απομένει να δούμε αν διαιρείται με πρωταρχικούς αριθμούς μικρότερους από ότι χρησιμοποιεί τη λειτουργία διαίρεσης.

Διαίρεση με τον πρώτο αριθμό 7:

Διαίρεση με τον πρώτο αριθμό 11:

Σημειώστε ότι έχουμε φτάσει σε ένα ανακριβές τμήμα του οποίου το πηλίκο είναι μικρότερο από τον διαιρέτη. Αυτό αποδεικνύει ότι ο αριθμός 113 είναι πρωταρχικός.

Πρωταρχικοί αριθμοί από 1 έως 1000

Ελέγξτε τους 168 πρώτους αριθμούς μεταξύ 1 και 1000.

Πρωταρχικοί αριθμοί από 1 έως 10:
2, 3, 5, 7
Πρωταρχικοί αριθμοί από 10 έως 100:
11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
Πρωταρχικοί αριθμοί από 100 έως 200:
101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199
Πρωταρχικοί αριθμοί από 200 έως 300:
211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293
Πρωταρχικοί αριθμοί από 300 έως 400:
307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397
Πρωταρχικοί αριθμοί από 400 έως 500:
401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499
Πρωταρχικοί αριθμοί από 500 έως 600:
503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599
Πρωταρχικοί αριθμοί από 600 έως 700:
601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691
Πρωταρχικοί αριθμοί από 700 έως 800:
701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797
Πρωταρχικοί αριθμοί από 800 έως 900:
809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887
Πρωταρχικοί αριθμοί από 900 έως 1000:
907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997

Διαβάστε επίσης:

• διαβήτης
• Πολλαπλά και διαχωριστικά
• Τι είναι οι πρώτοι αριθμοί;