Το άθροισμα των όρων ενός αριθμητική εξέλιξη (PA) μπορεί να ληφθεί μέσω των παρακάτω τύπος:
Σε αυτόν τον τύπο, Sόχι αντιπροσωπεύει το άθροισμα όρων, ένα1 είναι το πρώταόρος και τοόχι είναι το τελευταίοςόρος του εν λόγω BP, το n είναι ο αριθμός των όρων που θα είναιπροστέθηκε μαζί. Για να προσθέσετε τους όρους μιας αριθμητικής εξέλιξης, απλώς αντικαταστήστε τις τιμές σε αυτόν τον τύπο.
Παραδείγματα άθροισης όρων σε ένα PA
Ακολουθούν δύο παραδείγματα για το πώς να το κάνετε τύπος που παρουσιάζονται παραπάνω μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τη λήψη του άθροισμαΑπόόροι του α ΤΗΓΑΝΙ.
→ Παράδειγμα 1
Προσδιορίστε το άθροισμαΑπόόροι των ακόλουθων PA: (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40).
Για να χρησιμοποιήσετε τον δεδομένο τύπο, σημειώστε ότι:
ο1 = 2
οόχι = 40
n = 20
Αυτά τα τελευταία δεδομένα (αριθμός όρων) αποκτήθηκαν μετρώντας το όροι του PA. Εφαρμόζοντας αυτά τα δεδομένα στον τύπο, θα έχουμε:
Ετσι το άθροισμαΑπόόροι αυτού του PA είναι 420.
Λάβετε υπόψη ότι αυτός ο τύπος ισχύει μόνο για αριθμητικές εξελίξεις που έχουν πεπερασμένος αριθμός όρων. Εάν το PA είναι άπειρο, θα είναι απαραίτητο να περιοριστεί ο αριθμός των όρων που θα προστεθούν. Όταν συμβεί αυτό, ίσως χρειαστεί να χρησιμοποιήσετε άλλες γνώσεις σχετικά με το AP για να αποκτήσετε τον τελευταίο όρο που θα προστεθεί.
Δείτε παρακάτω ένα παράδειγμα σύνοψης των όρων ενός άπειρου PA:
→ Παράδειγμα 2
Προσδιορίστε το άθροισμα των πρώτων 50 όρων της ακόλουθης BP: (5, 10, 15,…).
Σημειώστε ότι αυτό ΤΗΓΑΝΙείναι άπειρο, αυτό αποδεικνύεται από τις ελλείψεις. Ο πρώτος όρος είναι 5, όπως και ο λόγος BP, ως 10 - 5 = 5. Εφόσον θέλουμε να βρούμε το άθροισμα των πρώτων 50 όρων, ο 50ος όρος θα αντιπροσωπεύεται από ένα50. Για να μάθουμε την αξία του, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο του γενικός όρος της ΠΑ:
Σε αυτόν τον τύπο, το r είναι η αναλογία BP. Αντικατάσταση των τιμών που δίνονται στη δήλωση σε αυτό τύπος, θα έχουμε:
Γνωρίζοντας ότι ο 50ος όρος είναι 250, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο του άθροισμαΑπόόροι για να λάβετε το άθροισμα των πρώτων 50 όρων (S50) αυτού του PA:
Gauss και το άθροισμα των όρων ενός PA
Λέγεται ότι ο Γερμανός μαθηματικός Gauss ήταν ο πρώτος που χρησιμοποίησε μια εναλλακτική μέθοδο Προσθήκηόροι του α ΤΗΓΑΝΙ, χωρίς να χρειάζεται να προσθέσετε όρο με όρο. Αργότερα, η ιδέα του για απλοποίηση των βημάτων αποδείχθηκε ο τύπος που χρησιμοποιήθηκε για την εύρεση του αθροίσματος.
Η ιστορία λέει ότι, ως παιδί, ο Gauss είχε έναν δάσκαλο που τιμωρούσε ολόκληρη την τάξη: προσθέτοντας όλους τους αριθμούς από 1 έως 100.
Ο Gauss συνειδητοποίησε ότι η προσθήκη του πρώτου αριθμού στο τελευταίο, το δεύτερο στο δεύτερο στο τελευταίο, και ούτω καθεξής έδωσε το ίδιο αποτέλεσμα:
1 + 100 = 101
2 + 99 = 101
3 + 98 = 101
…
Η μεγαλύτερη δουλειά του ήταν να παρατηρήσει ότι, καθώς προσθέτει δύο αριθμούς, θα βρει 50 αποτελέσματα ίσο με 101, δηλαδή, το άθροισμα όλων των αριθμών από 1 έως 100 θα μπορούσαν να βρεθούν κάνοντας 50 .101 = 5050.
Το αποτέλεσμα που λαμβάνεται από τον Gauss μπορεί να ελεγχθεί μέσω του τύπος του αθροίσματος των όρων ενός AP. Παρακολουθώ:
