Τριγωνομετρικές συναρτήσεις του μισού τόξου

Στο τριγωνομετρικές συναρτήσεις, ημιτονοειδές, συνημίτονο και εφαπτομενικό, του μισού τόξου μπορούν να ληφθούν από τις τριγωνομετρικές λειτουργίες του διπλού τόξου.

Δίνεται ένα τόξο μέτρου $\ dpi {120} \ άλφα$ , το διπλό τόξο είναι το τόξο $\ dpi {120} 2 \ άλφα$ και το μισό τόξο είναι το τόξο $\ dpi {120} \ άλφα / 2$ .

Με δύο τύποι προσθήκης τόξου, έχουμε τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις του διπλού τόξου:

Ημίτονο:

$\ dpi {120} \ mathrm {sen (2 {\ alpha}) = sen ({\ alpha + \ alpha}) = sin \, {\ alpha} \ cdot cos \, {\ alpha} + sin \, {\ alpha} \ cdot cos \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {sen (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = 2. (sen \, \ boldsymbol {\ alpha} \ cdot cos \, \ boldsymbol {\ alpha})}$

συνημίτονο:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ({\ alpha + \ alpha}) = cos \, {\ alpha} \ cdot cos \, {\ alpha} - sin \, {\ alpha} \ cdot sin \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {cos (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = cos ^ 2 \, \ boldsymbol {\ alpha} - sen ^ 2 \, \ boldsymbol {\ alpha}}$

Εφαπτομένος:

$\ dpi {120} \ mathrm {tan (2 {\ alpha}) = tan ({\ alpha + \ alpha}) = \ frac {tan \, {\ alpha} + tan \, {\ alpha}} {1 - tan \, {\ alpha} \ cdot μαύρισμα \, {\ alpha}}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {tan (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = \ frac {2 \ cdot tan \, \ boldsymbol {\ alpha}} {1 - tan ^ 2 \, \ boldsymbol {\ alpha }}}$

Από αυτούς τους τύπους, θα δείξουμε τους τύπους για τριγωνομετρικές συναρτήσεις μισού τόξου.

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις του μισού τόξου

Ενας από θεμελιώδεις σχέσεις τριγωνομετρίας είναι αυτό:

$\ dpi {120} \ mathbf {sen ^ 2 \ boldsymbol {\ alpha} + cos ^ 2 \ boldsymbol {\ alpha} = 1}$

Πού φτάνουμε:

$\ dpi {120} \ mathrm {sen ^ 2 \ alpha = 1 - cos ^ 2 \ alpha}$

$\ dpi {120} \ mathrm {cos ^ 2 \ alpha = 1-sen ^ 2 \ alpha}$

αντικατάσταση $\ dpi {120} \ mathrm {sen ^ 2 \ alpha = 1 - cos ^ 2 \ alpha}$ στον τύπο του συνημίτονου του διπλού τόξου, πρέπει:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ^ 2 \, {\ alpha} - sin ^ 2 \, {\ alpha} = cos ^ 2 \, {\ alpha} - (1 - cos ^ 2 \, {\ alpha})}$

Δείτε μερικά δωρεάν μαθήματα

Δωρεάν διαδικτυακό μάθημα χωρίς αποκλεισμούς
Δωρεάν online βιβλιοθήκη παιχνιδιών και μάθημα εκμάθησης
Δωρεάν διαδικτυακό μάθημα μαθηματικών μαθημάτων στην παιδική ηλικία
Δωρεάν διαδικτυακό μάθημα παιδαγωγικών πολιτιστικών εργαστηρίων

$\ dpi {120} \ mathrm {= 2cos ^ 2 \, {\ alpha} - 1}$

Ως εκ τούτου: $\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 \ alpha) = 2cos ^ 2 \, {\ alpha} - 1}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathrm {cos ^ 2 \, {\ alpha} = \ frac {1 + cos (2 \ alpha)} {2}}$

αντικατάσταση $\ dpi {120} \ άλφα$ ανά $\ dpi {120} \ άλφα / 2$ στον παραπάνω τύπο και την εξαγωγή της τετραγωνικής ρίζας και στις δύο πλευρές, έχουμε τον τύπο για συνημίτονο του μισού τόξου:

instagram story viewer

$\ dpi {120} \ mathbf {cos \, {(\ boldsymbol {\ alpha} / 2)} = \ pm \ sqrt {\ frac {1 + cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {2}}}$

Σημείωση: Το σύμβολο στον τύπο θα είναι θετικό ή αρνητικό σύμφωνα με το τεταρτημόριο του μισού τόξου.

Τώρα αντικαθιστά $\ dpi {120} \ mathrm {cos ^ 2 \ alpha = 1-sen ^ 2 \ alpha}$ στον τύπο του συνημίτονου του διπλού τόξου, πρέπει:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ^ 2 \, {\ alpha} - sin ^ 2 \, {\ alpha} = (1 -sen ^ 2 \, {\ alpha}) - sen ^ 2 \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ mathrm {= 1-2sen ^ 2 \, {\ alpha}}$

Ως εκ τούτου:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 \ alpha) = 1-2sen ^ 2 \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathrm {sen ^ 2 \, {\ alpha} = \ frac {1-cos (2 \ alpha)} {2}}$

αντικατάσταση $\ dpi {120} \ άλφα$ ανά $\ dpi {120} \ άλφα / 2$ στον παραπάνω τύπο και την εξαγωγή της τετραγωνικής ρίζας και στις δύο πλευρές, έχουμε τον τύπο για ημιτονοειδές τόξο μισό:

$\ dpi {120} \ mathbf {sen \, {(\ boldsymbol {\ alpha} / 2)} = \ pm \ sqrt {\ frac {1-cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {2}}}$

Σημείωση: Το σύμβολο στον τύπο θα είναι θετικό ή αρνητικό σύμφωνα με το τεταρτημόριο του μισού τόξου.

Τέλος, μπορούμε να αποκτήσουμε την εφαπτομένη του μισού τόξου, διαιρώντας το ημίτονο του μισού τόξου με το συνημίτονο του μισού τόξου:

$\ dpi {120} \ mathrm {tan (\ alpha / 2) = \ frac {sen (\ alpha / 2)} {cos (\ alpha / 2)} = \ frac {\ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ alpha} {2}}} {\ sqrt {\ frac {1 + cos \, \ alpha} {2}}} = \ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ alpha} {1 + cos \, \άλφα}}}$

Επομένως, ο τύπος του εφαπτομένη μισού τόξου é:

$\ dpi {120} \ mathbf {tan (\ boldsymbol {\ alpha} / 2) = \ pm \ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {1 + cos \, \ boldsymbol {\ άλφα}}}}$

Σημείωση: Το σύμβολο στον τύπο θα είναι θετικό ή αρνητικό σύμφωνα με το τεταρτημόριο του μισού τόξου.

Μπορεί επίσης να σας ενδιαφέρει:

τριγωνομετρικός κύκλος
τριγωνομετρικός πίνακας
Τριγωνομετρικές αναλογίες
νόμος για τις αμαρτίες
νόμιμος συνημίτονος

Ο κωδικός πρόσβασης έχει σταλεί στο email σας.

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις του μισού τόξου

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις του μισού τόξου

Δείτε 5 μικρές ιστορίες για παιδιά

Τι είναι ο πολιτιστικός εθνικισμός;

Κακό ή κακό; Ποιο είναι σωστό; - Ερωτήσεις σχετικά με τα πορτογαλικά