Το σύνολο των σύνθετοι αριθμοί σχηματίζεται από όλους τους αριθμούς z που μπορούν να γραφτούν με την ακόλουθη μορφή:
z = a + bi
Σε αυτήν τη μορφή, i = √ (- 1). Σε αυτούς τους αριθμούς, ονομάζεται a πραγματικό μέρος και β ονομάζεται φανταστικό μέρος. Για την εκπροσώπηση του αριθμοίσυγκροτήματα γεωμετρικά, θα χρησιμοποιήσουμε διανύσματα στο σχέδιο.
Γεωμετρική αναπαράσταση σύνθετων αριθμών
Εσείς αριθμοίσυγκροτήματα μπορεί να αναπαρασταθεί γεωμετρικά σε ένα επίπεδος χτισμένο παρόμοιο με Καρτεσιανό αεροπλάνο: δύο κάθετοι άξονες οι οποίοι, με τη σειρά τους, είναι γραμμές αριθμών. Επιπλέον, αυτές οι δύο γραμμές βρίσκονται στην προέλευσή του.
Η διαφορά μεταξύ αυτού του σχεδίου και του επίπεδοςΚαρτεσιανό είναι απλώς η ερμηνεία: ο άξονας x αυτού του επιπέδου ονομάζεται πραγματικός άξονας, και ο άξονας y ονομάζεται φανταστικός άξονας. Έτσι, για να αντιπροσωπεύσετε έναν πολύπλοκο αριθμό σε αυτό το επίπεδο, γνωστό ως σχέδιο του Άργκαντ-Γκαους, πρέπει να μετατρέψουμε αυτόν τον αριθμό σε ζεύγος ταξινομημένο, όπου η συντεταγμένη x είναι το
μέροςπραγματικός του σύνθετου αριθμού και η συντεταγμένη y είναι δική σας. μέροςφανταστικο.Μετά από αυτό, το διάνυσμα που αντιπροσωπεύει ένα αριθμόςσυγκρότημα είναι πάντα το ίσιο τμήμα προσανατολισμένο που ξεκινά από την αρχή του σχεδίου του Άργκαντ-Γκαους και τελειώνει στο σημείο (a, b), όπου a είναι a μέροςπραγματικός του σύνθετου αριθμού και το b είναι το φανταστικό μέρος του.
Με άλλα λόγια, η μεγαλύτερη διαφορά μεταξύ αυτών των σχεδίων είναι ότι, στο επίπεδοςΚαρτεσιανό, κερδίζουμε πόντους και, στο σχέδιο του Άργκαντ-Γκαους, χρησιμοποιούμε το πραγματικό και φανταστικό μέρος των σύνθετων αριθμών για να επισημάνουμε διανύσματα.
Η παρακάτω εικόνα δείχνει το αναπαράστασηγεωμετρικός του αριθμόςσυγκρότημα z = 2 + 3i.
Γεωμετρική αναπαράσταση της σύνθετης προσθήκης αριθμού
Λαμβάνοντας υπόψη τα σύμπλοκα z = a + bi και u = c + di, έχουμε την ακόλουθη αλγεβρική προσθήκη:
Μην σταματάς τώρα... Υπάρχουν περισσότερα μετά τη διαφήμιση.)
a + u = a + bi + c + di
a + u = a + c + (b + d) i
Σημειώστε ότι από την άποψη γεωμετρικός, τι γίνεται κατά την προσθήκη αριθμοίσυγκροτήματα είναι το άθροισμα των συντεταγμένων τους στον ίδιο άξονα.
Γεωμετρικά, το άθροισμα μεταξύ του συγκροτήματα z = a + bi και u = c + di μπορεί να γίνει ως εξής:
1 - Σχεδιάστε διανύσματα z και u στο επίπεδο του Άργκαντ-Γκαους;
2 - Κατεβάστε ένα αντίγραφο του διάνυσμα u για το τελικό σημείο του διανύσματος z. Με άλλα λόγια, σχεδιάστε ένα διάνυσμα με το ίδιο μήκος με το διάνυσμα u και παράλληλα με αυτό από το σημείο (a, b).
3 - Λήψη αντιγράφου z διάνυσμα z για το τελικό σημείο του διανύσματος u;
4 - Σημειώστε ότι τα διανύσματα u, u ', z και z' a παραλληλόγραμμοκαι δημιουργήστε ένα διάνυσμα v που ξεκινά από την αρχή και τελειώνει στη συνάντηση μεταξύ των διανυσμάτων u ’και z’.
5 - v = z + u
Σημειώστε αυτήν την κατασκευή στην παρακάτω εικόνα:
Ο διάνυσμα Το v είναι απλώς η διαγώνια αυτού παραλληλόγραμμο σχηματίζεται από τα διανύσματα u, u ', z και z'.
Παράδειγμα
Εξετάστε το διάνυσμα a = 1 + 7i και το διάνυσμα b = 3 - 2i. Δείτε την κατασκευή του παραλληλόγραμμου από αυτά τα δύο διανύσματα:
Έτσι, είναι δυνατόν να προσδιοριστεί το αποτέλεσμα του αθροίσματος μεταξύ αυτών των δύο φορέων παρατηρώντας τις συντεταγμένες του φορέα v = (4, 5). Επομένως, ο μιγαδικός αριθμός v = 4 + 5i.
Του Luiz Paulo Moreira
Αποφοίτησε στα Μαθηματικά
Θα θέλατε να αναφέρετε αυτό το κείμενο σε σχολείο ή ακαδημαϊκό έργο; Κοίτα:
SILVA, Luiz Paulo Moreira. "Γεωμετρική αναπαράσταση του αθροίσματος των σύνθετων αριθμών". Σχολείο της Βραζιλίας. Διαθέσιμο σε: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/representacao-geometrica-soma-numeros-complexos.htm. Πρόσβαση στις 28 Ιουνίου 2021.
