Μέτρα διασποράς: διακύμανση και τυπική απόκλιση

Στη μελέτη του Στατιστικός, έχουμε μερικές στρατηγικές για να ελέγξουμε εάν οι τιμές που παρουσιάζονται σε ένα σύνολο δεδομένων είναι διασκορπισμένες ή όχι και πόσο μακριά μπορεί να είναι. Τα εργαλεία που χρησιμοποιήθηκαν για να γίνει αυτό δυνατό ταξινομούνται ως μέτρα διασποράς και κάλεσε διαφορά και τυπική απόκλιση. Ας δούμε τι αντιπροσωπεύει το καθένα από αυτά:

Διαφορά:

• Δεδομένου ενός συνόλου δεδομένων, η διακύμανση είναι ένα μέτρο διασποράς που δείχνει πόσο μακριά κάθε τιμή σε αυτό το σύνολο είναι από την κεντρική (μέση) τιμή.

• Όσο μικρότερη είναι η διακύμανση, τόσο πιο κοντά είναι οι τιμές στο μέσο όρο. αλλά όσο μεγαλύτερο είναι, τόσο πιο μακριά είναι οι τιμές από το μέσο όρο.

• Σκεφτείτε το Χ₁, Χ₂, …, Χ_όχιείναι οι όχι στοιχεία ενός δείγμα είναι αυτό X και ο αριθμητικός μέσος όρος αυτών των στοιχείων. Ο υπολογισμός του διακύμανση δείγματος Δίνεται από:

  Βαρ. δείγμα = (Χ₁ – Χ) ² + (x₂ – Χ) ² + (x₃ – Χ)² +... + (x_όχι – Χ)²
  ​n - 1

• Αν, από την άλλη πλευρά, θέλουμε να υπολογίσουμε το πληθυσμιακή διακύμανση

  , θα εξετάσουμε όλα τα στοιχεία του πληθυσμού, όχι μόνο ένα δείγμα. Σε αυτήν την περίπτωση, ο υπολογισμός έχει μια μικρή διαφορά. Παρακολουθώ:

  Βαρ. πληθυσμός = (Χ₁ – Χ) ² + (x₂ – Χ) ² + (x₃ – Χ)² +... + (x_όχι – Χ)²
  όχι

Τυπική απόκλιση:

• Η τυπική απόκλιση είναι σε θέση να αναγνωρίσει το «σφάλμα» σε ένα σύνολο δεδομένων, εάν θέλαμε να αντικαταστήσουμε μία από τις συλλεγόμενες τιμές με τον αριθμητικό μέσο

• Η τυπική απόκλιση εμφανίζεται δίπλα στον αριθμητικό μέσο, ​​ενημερώνοντας πόσο «αξιόπιστη» είναι αυτή η τιμή. Παρουσιάζεται ως εξής:

  αριθμητικός μέσος όρος (Χ) ± τυπική απόκλιση (sd)

• Ο υπολογισμός της τυπικής απόκλισης γίνεται από τη θετική τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης. Ως εκ τούτου:

  dp = √var

Ας εφαρμόσουμε τώρα τον υπολογισμό της διακύμανσης και της τυπικής απόκλισης σε ένα παράδειγμα:

Σε ένα σχολείο, το διοικητικό συμβούλιο αποφάσισε να εξετάσει τον αριθμό των μαθητών που έχουν όλους τους βαθμούς πάνω από το μέσο όρο σε όλα τα θέματα. Για να το αναλύσει καλύτερα, η σκηνοθέτης Ana αποφάσισε να συγκεντρώσει ένα τραπέζι με το ποσό των «μπλε» βαθμών σε ένα δείγμα τεσσάρων τάξεων για ένα χρόνο. Δείτε παρακάτω τον πίνακα που διοργάνωσε ο διευθυντής:

Πριν από τον υπολογισμό της διακύμανσης, είναι απαραίτητο να ελέγξετε το αριθμητικός μέσος όρος(Χ) ο αριθμός των μαθητών άνω του μέσου όρου σε κάθε τάξη:

6ο έτος → Χ = 5 + 8 + 10 + 7 = 30 = 7,50.
4 4

7ο έτος → Χ = 8 + 6 + 6 + 12 = 32 = 8,00.
4 4

8ο έτος → Χ = 11 + 9 + 5 + 10 = 35 = 8,75.
4 4

9ο έτος → Χ = 8 + 13 + 9 + 4 = 34 = 8,50.
4 4

Για να υπολογίσουμε τη διακύμανση του αριθμού των μαθητών πάνω από το μέσο όρο σε κάθε τάξη, χρησιμοποιούμε ένα δείγμα, γι 'αυτό χρησιμοποιούμε τον τύπο του διακύμανση δείγματος:

Βαρ. δείγμα = (Χ₁ – Χ) ² + (x₂ – Χ) ² + (x₃ – Χ)² +... + (x_όχι – Χ)²
n - 1

6ο έτος → Var = (5 – 7,50)² + (8 – 7,50)² + (10 – 7,50)² + (7 – 7,50)²
4 – 1

Var = (– 2,50)² + (0,50)² + (2,50)² + (– 0,50)²
3

Var = 6,25 + 0,25 + 6,25 + 0,25
3

Var = 13,00
3
Var = 4,33

7ο έτος → Var = (8 – 8,00)² + (6 – 8,00)² + (6 – 8,00)² + (12 – 8,00)²
4 – 1

Var = (0,00)² + (– 2,00)² + (– 2,00)² + (4,00)²
3

Var = 0,00 + 4,00 + 4,00 + 16,00
3

Var = 24,00
3
Var = 8,00

8ο έτος → Var = (11 – 8,75)² + (9 – 8,75)² + (5 – 8,75)² + (10 – 8,75)²
4 – 1

Var = (2,25)² + (0,25)² + (– 3,75)² + (1,25)²
3

Var = 5,06 + 0,06 + 14,06 + 1,56
3

Var = 20,74
3
Var = 6,91

9ο έτος → Var = (8 – 8,50)² + (13 – 8,50)² + (9 – 8,50)² + (4 – 8,50)²
4 – 1

Var = (– 0,50)² + (4,50)² + (0,50)² + (– 4,50)²
3

Var = 0,25 + 20,25 + 0,25 + 20,25
3

Var = 41,00
3
Var = 13.66

Μόλις γίνει γνωστή η διακύμανση κάθε τάξης, ας υπολογίσουμε τώρα την τυπική απόκλιση:

6ο έτος dp = √var dp = √4.33 ​dp ≈ 2,08

7ο έτος dp = √var dp = √8,00 ​dp ≈ 2,83

8ο έτος dp = √var dp = √6.91 ​dp ≈ 2,63

9ο έτος dp = √var dp = √13.66 ​dp ≈ 3,70

Για να ολοκληρώσει την ανάλυσή της, ο διευθυντής μπορεί να παρουσιάσει τις ακόλουθες τιμές που δείχνουν τον μέσο αριθμό μαθητών πάνω από το μέσο όρο ανά τάξη που ερωτήθηκε:

6ο έτος: 7,50 ± 2,08 μαθητές άνω του μέσου όρου ανά περίοδο ·
7ο έτος: 8,00 ± 2,83 μαθητές πάνω από το μέσο όρο ανά δύο μήνες.
8ο έτος: 8,75 ± 2,63 μαθητές πάνω από το μέσο όρο ανά δύο μήνες.
9ο έτος: 8,50 ± 3,70 μαθητές πάνω από το μέσο όρο ανά δύο μήνες.

Ένα άλλο μέτρο διασποράς είναι το συντελεστής διακύμανσης. Κοίτα εδώ πώς να το υπολογίσετε!

Από την Amanda Gonçalves
Αποφοίτησε στα Μαθηματικά

Πηγή: Σχολείο της Βραζιλίας - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/medidas-dispersao-variancia-desvio-padrao.htm