Ο όγκος πυραμίδας υπολογίζεται πολλαπλασιάζοντας την επιφάνεια βάσης και το ύψος, διαιρώντας με τρία. Για τον υπολογισμό του όγκου της πυραμίδας, είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε ποιο πολύγωνο αποτελεί τη βάση αυτού πυραμίδα, να γιατί, Για σε κάθε βάση, χρησιμοποιούμε έναν διαφορετικό τύπο για να βρείτε το τα δικα σου περιοχή. Μπορούμε να συσχετίσουμε τον όγκο του πρίσματος με τον όγκο μιας πυραμίδας του ίδιου ύψους και περιοχής με τη βάση, καθώς ο όγκος της πυραμίδας είναι ίσος με το ένα τρίτο του όγκου του πρίσματος.
Διαβάστε επίσης: Τι είναι τα γεωμετρικά σχήματα;
Πώς υπολογίζεται ο όγκος της πυραμίδας;
Ο όγκος της πυραμίδας μπορεί να υπολογιστεί με έναν τύπο που εξαρτάται άμεσα από το πολύγωνο που αποτελεί τη βάση. Για τον υπολογισμό του όγκου οποιασδήποτε πυραμίδας, χρησιμοποιούμε τον ακόλουθο τύπο:
V → ένταση
Οσι → περιοχή στη βάση της πυραμίδας
Η → ύψος πυραμίδας
Η βάση μιας πυραμίδας μπορεί να σχηματιστεί από οποιοδήποτε πολύγωνο., έτσι μπορούμε να έχουμε μια πυραμίδα με τριγωνική βάση, πυραμίδα με τετραγωνική βάση και πυραμίδα με εξαγωνική βάση. Τέλος πάντων, οποιοδήποτε πολύγωνο μπορεί να είναι η βάση της πυραμίδας, και καθώς είναι πολύγωνο, για τον υπολογισμό της περιοχής της βάσης του, υπάρχει ένας συγκεκριμένος τύπος.
Διαβάστε επίσης: Ποια είναι τα στερεά του Πλάτωνα;
τετράγωνη βάση πυραμίδα
Σε μια πυραμίδα με βάση το τετράγωνο, γνωρίζουμε ότι η περιοχή του τετράγωνο υπολογίζεται από το μήκος της τετραγωνικής πλευράς, δηλαδή, A = εκεί². Έτσι, για να υπολογίσουμε τον όγκο μιας τετραγωνικής πυραμίδας, υπολογίζουμε το προϊόν του τετραγώνου της βάσης και το ύψος της πυραμίδας και διαιρούμε με τρία. Δείτε ένα παράδειγμα παρακάτω.
Παράδειγμα:
Υπολογίστε τον όγκο της πυραμίδας παρακάτω, γνωρίζοντας ότι η βάση της σχηματίζεται από ένα τετράγωνο:
Στην πυραμίδα, το ύψος h μετρά 6 cm και η άκρη της βάσης της είναι 3 cm.
Επειτα, θα υπολογίσουμε πρώτα την επιφάνεια της βάσης Ασι. Το εμβαδόν της πλατείας είναι ίσο με εκεί², οπότε πρέπει:
Οσι = εκεί²
Οσι = 3²
Οσι = 9 cm²
Τώρα που γνωρίζουμε την τιμή της περιοχής βάσης, αντικαταστήστε απλώς τη μέτρηση ύψους και τη μέτρηση της περιοχής βάσης στον τύπο όγκου πυραμίδας:
Πυραμίδα με τριγωνική βάση
Όταν η βάση της πυραμίδας είναι τριγωνική, για να υπολογίσουμε την επιφάνεια της βάσης, χρησιμοποιούμε τον τύπο του περιοχή ενός τριγώνου, το οποίο είναι ίσο με το προϊόν της βάσης και το ύψος διαιρούμενο με δύο.
Παράδειγμα:
Γνωρίζοντας ότι η ακόλουθη πυραμίδα έχει ύψος 9 cm, υπολογίστε τον όγκο της:
Καθώς η βάση είναι α τρίγωνο, θα υπολογίσουμε πρώτα το εμβαδόν της βάσης, το οποίο είναι το μήκος της βάσης επί το μήκος του ύψους του τριγώνου που σχηματίζει τη βάση, διαιρούμενο με δύο.
Τώρα που γνωρίζουμε την τιμή της βασικής έκτασης, καθίσταται δυνατό να υπολογιστεί ο όγκος αυτής της πυραμίδας:
Παράδειγμα 2:
Όταν η βάση της πυραμίδας είναι α ισόπλευρο τρίγωνο, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για την περιοχή του ισόπλευρου τριγώνου για να υπολογίσουμε την επιφάνεια της βάσης.
Θα υπολογίσουμε τον όγκο μιας πυραμίδας της οποίας η βάση είναι ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρές διαστάσεων 8 cm και ύψος 15 cm.
Πρώτα υπολογίζουμε την επιφάνεια της βάσης, καθώς είναι ένα ισόπλευρο τρίγωνο, θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για την περιοχή ενός ισόπλευρου τριγώνου.
Τώρα ας υπολογίσουμε τον όγκο:
Δείτε επίσης: Διαφορές μεταξύ επίπεδων και χωρικών μορφών
Εξαγωνική πυραμίδα βάσης
Στην εξαγωνική πυραμίδα βάσης, για τον υπολογισμό της περιοχής βάσης, χρησιμοποιούμε τον τύπο εξάγωνης περιοχής.
Παράδειγμα:
Υπολογίστε τον όγκο της πυραμίδας γνωρίζοντας ότι η βάση της είναι ένα κανονικό εξάγωνο:
Πρώτα θα υπολογίσουμε την περιοχή του εξαγώνου:
Τώρα ας υπολογίσουμε τον όγκο:
Σχέση μεταξύ όγκου πυραμίδας και όγκου πρίσματος
δοθεί ένα πρίσμα και μια πυραμίδα της ίδιας βάσης, γνωρίζουμε ότι το όγκος πρισμάτων είναι ίσο με το προϊόν της περιοχής βάσης και του ύψους, και ο όγκος της πυραμίδας είναι το προϊόν της περιοχής βάσης και το ύψος διαιρούμενο με τρία, οπότε εάν η περιοχή βάσης είναι η ίδια, ο όγκος της πυραμίδας θα είναι ίσο με το 1/3 του όγκου του πρίσματος.
λύσεις ασκήσεις
Ερώτηση 1 - Επιδιώκοντας να καινοτομήσει στη σχεδίαση συσκευασιών, μια βιομηχανία καλλυντικών αποφάσισε να παράγει συσκευασίες σε σχήμα πυραμίδας με τετραγωνική βάση για τη νέα ενυδατική κρέμα. Η βάση αυτής της πυραμίδας έχει σχήμα τετραγώνου πλευρών διαστάσεων 6 cm. Γνωρίζοντας ότι αυτή η ενυδατική κρέμα πρέπει να περιέχει 200 ml, το ύψος της πυραμίδας πρέπει να είναι περίπου:
Α) 15,2 εκ
Β) 15,8 εκ
Γ) 16,4 εκ
Δ) 16,7 εκ
Ε) 17,2 εκ
Ανάλυση
Εναλλακτική Δ
Γνωρίζουμε ότι 200 ml ισούται με 200 cm³, οπότε έχουμε V = 200. Έτσι, υπολογίζοντας τη βασική έκταση, η οποία είναι ένα τετράγωνο, πρέπει:
Οσι = l²
Οσι = 6²
Οσι = 36 cm²
Ας κάνουμε τον όγκο ίσο με 200 cm 200, οπότε πρέπει:
Ερώτηση 2 - (Enem) Ένα εργοστάσιο παράγει κανονικά τετραγωνικά κεριά παραφίνης σε σχήμα πυραμίδας με ύψος 19 cm και άκρο βάσης 6 cm. Αυτά τα κεριά σχηματίζονται από 4 μπλοκ του ίδιου ύψους - 3 κορμούς πυραμίδας με παράλληλες βάσεις και 1 πυραμίδα στην κορυφή - σε απόσταση 1 cm, ότι η άνω βάση κάθε μπλοκ είναι ίση με την κάτω βάση του υπερτιθέμενου μπλοκ, με μια σιδερένια ράβδο να διέρχεται από το κέντρο κάθε μπλοκ, ενώνοντας τους, όπως φαίνεται στο σχήμα.
Εάν ο ιδιοκτήτης του εργοστασίου αποφασίσει να διαφοροποιήσει το μοντέλο, αφαιρώντας την πυραμίδα στην κορυφή, η οποία είναι 1,5 cm άκρη στη βάση, αλλά διατηρώντας το ίδιο καλούπι, πόσο θα ξοδέψει στην παραφίνη για την κατασκευή α κερί?
Α) 156 cm³
Β) 189 cm³
C) 192 cm³
Δ) 216 cm³
Ε) 540 cm³
Ανάλυση
Εναλλακτική Β
Ας υπολογίσουμε τη διαφορά μεταξύ της μεγαλύτερης πυραμίδας (V) και της μικρότερης πυραμίδας (V)2).
Γνωρίζουμε ότι υπάρχει απόσταση 1 cm μεταξύ των μπλοκ, επομένως το ύψος της μεγαλύτερης πυραμίδας είναι 19 - 3 = 16 cm. Η μεγαλύτερη πυραμίδα απέχει 6 cm από τη βάση, καθώς η βάση είναι τετράγωνο, έτσι Ασι = l² = 6² = 36.
Έτσι, ο όγκος της μεγαλύτερης πυραμίδας είναι:
Για να βρούμε το ύψος της μικρότερης πυραμίδας, ας διαιρέσουμε το συνολικό ύψος με 4, έτσι 16: 4 = 4 cm. Κάνοντας το ίδιο με το άκρο, έχουμε 6: 4 = 1,5.
Έτσι, η επιφάνεια της βάσης της μικρότερης πυραμίδας είναι 1,52 = 2,25. Υπολογίζοντας τον όγκο, πρέπει:
Τώρα βρίσκουμε τη διαφορά μεταξύ τόμων:
192 - 3 = 189 cm³
Του Raul Rodrigues de Oliveira
Καθηγητής μαθηματικών
Πηγή: Σχολείο της Βραζιλίας - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/volume-piramide.htm