Ενας πολυωνυμική εξίσωση χαρακτηρίζεται από το ότι έχει ένα πολυώνυμος ίσο με μηδέν. Μπορεί να χαρακτηριστεί από τον βαθμό του πολυωνύμου, και όσο μεγαλύτερος είναι αυτός ο βαθμός, τόσο μεγαλύτερος είναι ο βαθμός δυσκολίας στην εύρεση της λύσης ή της ρίζας του.
Είναι επίσης σημαντικό, σε αυτό το πλαίσιο, να κατανοήσουμε ποιο είναι το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας, το οποίο το αναφέρει κάθε πολυωνυμική εξίσωση έχει τουλάχιστον μία πολύπλοκη λύσηΜε άλλα λόγια: μια εξίσωση του βαθμού θα έχει τουλάχιστον μία λύση, μια εξίσωση του βαθμού δύο θα έχει τουλάχιστον δύο λύσεις και ούτω καθεξής.
Διαβάστε επίσης: Ποιες είναι οι τάξεις των πολυωνύμων;
Τι είναι μια πολυωνυμική εξίσωση
Μια πολυωνυμική εξίσωση χαρακτηρίζεται από το ότι έχει ένα πολυώνυμο ίσο με μηδέν, επομένως, κάθε έκφραση τύπου P (x) = 0 είναι μια πολυωνυμική εξίσωση, όπου το P (x) είναι ένα πολυώνυμο. Δείτε παρακάτω τη γενική περίπτωση μιας πολυωνυμικής εξίσωσης και μερικά παραδείγματα.
Σκεψου τοόχι, έναn -1, ένα n -2, …, Ο1, ένα0 και x
πραγματικοί αριθμοί, και το η είναι θετικός ακέραιος, η ακόλουθη έκφραση είναι μια πολυωνυμική εξίσωση του βαθμού n.
- Παράδειγμα
Οι ακόλουθες εξισώσεις είναι πολυώνυμα.
α) 3x4 + 4χ2 – 1 = 0
β) 5x2 – 3 = 0
γ) 6x - 1 = 0
δ) 7χ3 - Χ2 + 4x + 3 = 0
Όπως τα πολυώνυμα, οι πολυωνυμικές εξισώσεις έχουν το βαθμό τους. Για να προσδιορίσετε τον βαθμό μιας πολυωνυμικής εξίσωσης, απλώς βρείτε την υψηλότερη ισχύ της οποίας ο συντελεστής είναι διαφορετικός από το μηδέν. Επομένως, οι εξισώσεις των προηγούμενων στοιχείων είναι, αντίστοιχα:
α) Η εξίσωση είναι από τέταρτος βαθμός:3Χ4+ 4χ2 – 1 = 0.
β) Η εξίσωση είναι από Λύκειο:5Χ2 – 3 = 0.
γ) Η εξίσωση είναι από πρώτου βαθμού:6Χ – 1 = 0.
δ) Η εξίσωση είναι από τρίτου βαθμού: 7Χ3- Χ2 + 4x + 3 = 0.
Μην σταματάς τώρα... Υπάρχουν περισσότερα μετά τη διαφήμιση.)
Πώς να λύσετε μια πολυωνυμική εξίσωση;
Η μέθοδος επίλυσης μιας πολυωνυμικής εξίσωσης εξαρτάται από τον βαθμό της. Όσο μεγαλύτερος είναι ο βαθμός μιας εξίσωσης, τόσο πιο δύσκολο είναι να το λύσει. Σε αυτό το άρθρο, θα δείξουμε τη μέθοδο επίλυσης για πολυωνυμικές εξισώσεις του πρώτος βαθμός, δεύτερος βαθμός και μπισκότα.
Πολυωνυμική εξίσωση του πρώτου βαθμού
Μια πολυωνυμική εξίσωση του πρώτου βαθμού περιγράφεται από το a πολυώνυμο βαθμού 1. Έτσι μπορούμε να γράψουμε μια εξίσωση του πρώτου βαθμού, γενικά, ως εξής.
Εξετάστε δύο πραγματικούς αριθμούς ο και σι με ≠ 0, η ακόλουθη έκφραση είναι μια πολυωνυμική εξίσωση του πρώτου βαθμού:
ax + b = 0
Για να λύσουμε αυτήν την εξίσωση, πρέπει να χρησιμοποιήσουμε το αρχή της ισοδυναμίας, δηλαδή, ό, τι λειτουργεί από τη μία πλευρά της ισότητας πρέπει επίσης να λειτουργεί από την άλλη πλευρά. Για να προσδιορίσουμε τη λύση μιας εξίσωσης του πρώτου βαθμού, πρέπει απομονώστε το άγνωστο. Για αυτό, το πρώτο βήμα είναι η εξάλειψη του σι στην αριστερή πλευρά της ισότητας και μετά αφαιρώκουπιά β και στις δύο πλευρές της ισότητας.
ax + b - Β = 0 - Β
ax = - β
Σημειώστε ότι η τιμή του άγνωστου x δεν είναι απομονωμένη, ο συντελεστής που πρέπει να εξαλειφθεί από την αριστερή πλευρά της ισότητας και για αυτό, ας χωρίσουμε και τις δύο πλευρές με ο.
- Παράδειγμα
Λύστε την εξίσωση 5x + 25 = 0.
Για να λύσουμε το πρόβλημα, πρέπει να χρησιμοποιήσουμε την αρχή της ισοδυναμίας. Προκειμένου να διευκολυνθεί η διαδικασία, θα παραλείψουμε το γράψιμο της λειτουργίας στην αριστερή πλευρά της ισότητας ισοδύναμο με το να πούμε ότι πρόκειται να «περάσουμε» τον αριθμό στην άλλη πλευρά, αλλάζοντας το σύμβολο (αντίστροφη λειτουργία).
Μάθετε περισσότερα σχετικά με την επίλυση αυτού του τύπου εξίσωσης με πρόσβαση στο κείμενό μας: Εξίσωση πρώτου βαθμού με άγνωστο.
Πολυωνυμική εξίσωση του δεύτερου βαθμού
Μια πολυωνυμική εξίσωση του δεύτερου βαθμού έχει το χαρακτηριστικό του a βαθμός δύο πολυώνυμο. Λοιπόν, σκεφτείτε τους πραγματικούς αριθμούς a, b και c με ≠ 0. Μια εξίσωση δεύτερου βαθμού δίνεται από:
τσεκούρι2 + bx + c = 0
Η λύση σας μπορεί να προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Μπασκάρα ή με factoring. Αν θέλετε να μάθετε περισσότερα για εξισώσεις αυτού του τύπου, διαβάστε: Εξδράση του μικρόδεύτερος σολΡαου.
→ Μέθοδος Bhaskara
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Bhaskara, οι ρίζες της δίνονται με τον ακόλουθο τύπο:
- Παράδειγμα
Προσδιορίστε τη λύση της εξίσωσης x2 - 3x + 2 = 0.
Σημειώστε ότι οι συντελεστές της εξίσωσης είναι, αντίστοιχα, a = 1, b = - 3 και c = 2. Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές στον τύπο, πρέπει:
→ Παραγοντοποίηση
Σημειώστε ότι είναι δυνατόν να συντελεστεί η έκφραση x2 - 3x + 2 = 0 χρησιμοποιώντας την ιδέα του πολυωνυμική παραγοντοποίηση.
Χ2 - 3x + 2 = 0
(x - 2) · (x - 1) = 0
Παρατηρήστε τώρα ότι έχουμε ένα προϊόν ίσο με μηδέν και ένα προϊόν ισούται με μηδέν μόνο εάν ένας από τους παράγοντες ισούται με μηδέν, οπότε πρέπει:
x - 2 = 0
x = 2
ή
x - 1 = 0
x = 1
Δείτε ότι βρήκαμε τη λύση στην εξίσωση χρησιμοποιώντας δύο διαφορετικές μεθόδους.
εξίσωση δύο τετραγώνων
Ο εξίσωση bisquare είναι ένα συγκεκριμένη περίπτωση μιας πολυωνυμικής εξίσωσης του τέταρτου βαθμού, συνήθως μια εξίσωση τέταρτου βαθμού θα γράφτηκε με τη μορφή:
τσεκούρι4 + bx3 + κουτί2 + dx + e = 0
όπου οι αριθμοί Α Β Γ Δ και και είναι πραγματικό με ≠ 0. Μια εξίσωση τέταρτου βαθμού θεωρείται bisquare όταν οι συντελεστές b = d = 0, δηλαδή, η εξίσωση έχει τη μορφή:
τσεκούρι4 + κουτί2 + και = 0
Δείτε, στο παρακάτω παράδειγμα, πώς να λύσετε αυτήν την εξίσωση.
- Παράδειγμα
Λύστε την εξίσωση x4 - 10x2 + 9 = 0.
Για να λύσουμε την εξίσωση, θα χρησιμοποιήσουμε την ακόλουθη άγνωστη αλλαγή και όποτε η εξίσωση είναι διπλή, θα κάνουμε αυτήν την αλλαγή.
Χ2 = σ
Από την εξίσωση bi-square, σημειώστε ότι x4 = (x2)2 και ως εκ τούτου πρέπει:
Χ4 - 10x2 + 9 = 0
(Χ2)2 – 10Χ2 + 9 = 0
Π2 - 10 p + 9 = 0
Δείτε ότι έχουμε τώρα μια πολυωνυμική εξίσωση του δεύτερου βαθμού και μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο του Bhaskara, όπως αυτή:
Ωστόσο, πρέπει να θυμόμαστε ότι, στην αρχή της άσκησης, πραγματοποιήθηκε μια άγνωστη αλλαγή, οπότε πρέπει να εφαρμόσουμε την τιμή που βρίσκεται στην αντικατάσταση.
Χ2 = σ
Για p = 9 πρέπει:
Χ2 = 9
x ’= 3
ή
x ’’ = - 3
Για p = 1
Χ2 = 1
x ’= 1
ή
x ’’ = - 1
Επομένως, το σύνολο λύσεων της εξίσωσης bisquare είναι:
S = {3, –3, 1, –1}
Διαβάστε επίσης: Η πρακτική συσκευή του Briot-Ruffini - διαίρεση πολυωνύμων
Θεμελιώδες θεώρημα της Άλγεβρας (TFA)
Το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας (TFA), που αποδείχθηκε από τον Gauss το 1799, δηλώνει ότι κάθε πολυωνυμική εξίσωση ως εξής έχει τουλάχιστον μία πολύπλοκη ρίζα.
Η ρίζα μιας πολυωνυμικής εξίσωσης είναι η λύση της, δηλαδή, η άγνωστη τιμή είναι αυτό που κάνει την ισότητα αληθινή. Για παράδειγμα, μια εξίσωση πρώτου βαθμού έχει ήδη προσδιοριστεί μια ρίζα, όπως και μια εξίσωση δεύτερου βαθμού, η οποία έχει τουλάχιστον δύο ρίζες, και ένα bisquare, το οποίο έχει τουλάχιστον τέσσερις ρίζες.
λύσεις ασκήσεις
ερώτηση 1 - Προσδιορίστε την τιμή του x που κάνει την ισότητα αληθινή.
2x - 8 = 3x + 7
Ανάλυση
Σημειώστε ότι για να επιλύσετε την εξίσωση, είναι απαραίτητο να την οργανώσετε, δηλαδή να αφήσετε όλα τα άγνωστα στην αριστερή πλευρά της ισότητας.
2x - 8 = 3x + 7
2x - 3x = 7 + 8
- x = 15
Με την αρχή της ισοδυναμίας, μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε τις δύο πλευρές της ισότητας με τον ίδιο αριθμό, και δεδομένου ότι θέλουμε να μάθουμε την τιμή του x, θα πολλαπλασιάσουμε και τις δύο πλευρές με –1.
(–1)- x = 15(–1)
x = - 15
Ερώτηση 2 - Ο Μάρκος έχει 20 R $ περισσότερα από τον João. Μαζί, κατάφεραν να αγοράσουν δύο ζευγάρια πάνινα παπούτσια, με κόστος 80 $ R κάθε ζευγάρι και χωρίς χρήματα. Πόσα reais έχουν ο John;
Ανάλυση
Ας υποθέσουμε ότι ο Mark έχει x reais, όπως ο John έχει 20 reais περισσότερο, έτσι έχει x + 20.
Σημεία → x reals
João → (x + 20) reais
πώς αγόρασαν δύο ζευγάρια πάνινα παπούτσια που κοστίζουν 80 reais το καθένα, οπότε αν βάλουμε τα μέρη του καθενός, θα πρέπει:
x + (x + 20) = 2 · 80
x + x = 160 - 20
2x = 140
Ως εκ τούτου, ο Μάρκος είχε 70 reais και João, 90 reais.
από τον Robson Luiz
Καθηγητής μαθηματικών
