Αλγεβρα Είναι ο κλάδος των μαθηματικών που γενικεύει την αριθμητική. Αυτό σημαίνει ότι οι έννοιες και οι λειτουργίες από την αριθμητική (προσθήκη, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός, διαίρεση θα δοκιμαστεί και η αποτελεσματικότητά τους θα αποδειχθεί για όλους τους αριθμούς που ανήκουν σε συγκεκριμένα σύνολα αριθμητικός.
Λειτουργεί η λειτουργία "προσθήκη", για παράδειγμα, σε όλους τους αριθμούς που ανήκουν στο σύνολο φυσικών αριθμών; Ή μήπως υπάρχει κάποιος πολύ μεγάλος φυσικός αριθμός, κοντά στο άπειρο, που συμπεριφέρεται διαφορετικά από τους άλλους όταν προστίθεται μαζί; Η απάντηση σε αυτήν την ερώτηση δίνεται από άλγεβρα: Πρώτον, ορίζεται το σύνολο των φυσικών αριθμών και η λειτουργία προσθέτει. τότε αποδεικνύεται ότι η λειτουργία προσθήκης λειτουργεί για οποιονδήποτε φυσικό αριθμό.
ΜΑΣ μελέτες άλγεβρας, τα γράμματα χρησιμοποιούνται για την αναπαράσταση αριθμών. Αυτά τα γράμματα είτε αντιπροσωπεύουν άγνωστους αριθμούς είτε οποιονδήποτε αριθμό ανήκει σε ένα αριθμητικό σύνολο. Εάν το x είναι ένας ζυγός αριθμός, για παράδειγμα, τότε το x μπορεί να είναι 2, 4, 6, 8, 10,... Με αυτόν τον τρόπο, το x είναι οποιοσδήποτε αριθμός ανήκει στο σύνολο των ζυγών αριθμών και είναι σαφές τι είδους αριθμός x είναι: πολλαπλάσιο των 2.
Ιδιότητες μαθηματικών λειτουργιών
Γνωρίζοντας ότι οποιοσδήποτε αριθμός που ανήκει σε ένα σύνολο μπορεί να αναπαρασταθεί με ένα γράμμα, θεωρήστε τους αριθμούς x, y και z ότι ανήκουν στο σύνολο των αριθμών. πραγματικός και τις λειτουργίες πρόσθεση και πολλαπλασιασμός αντιπροσωπεύονται από "+" και "·", αντίστοιχα. Έτσι, οι ακόλουθες ιδιότητες ισχύουν για τα x, y και z:
1 - Συνεργασία
(x + y) + z = x + (y + z)
(x · y) · z = x · (y · z)
2 - Μεταγωγικότητα
x + y = y + x
x · y = y · x
3 - Ύπαρξη ουδέτερου στοιχείου (1 για πολλαπλασιασμό και 0 για προσθήκη)
x + 0 = x
x · 1 = x
4 - Ύπαρξηαντίθετου (ή συμμετρικού) στοιχείου.
x + (–x) = 0
Χ· 1 = 1
Χ
5 - Διανομή (ονομάζεται επίσης η διανεμητική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού πέρα από την προσθήκη)
x · (y + z) = x · y + x · z
Αυτά τα πέντε ιδιότητες ισχύουν για όλους τους πραγματικούς αριθμούς x, y και z, καθώς αυτά τα γράμματα χρησιμοποιήθηκαν για να αντιπροσωπεύουν οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό. Ισχύουν επίσης για εργασίες προσθήκης και πολλαπλασιασμού.
αλγεβρικές εκφράσεις
Στα Μαθηματικά, έκφραση είναι μια ακολουθία μαθηματικών πράξεων που εκτελούνται με ορισμένους αριθμούς. Για παράδειγμα: 2 + 3 - 7 είναι μια αριθμητική έκφραση. Όταν αυτή η έκφραση περιλαμβάνει άγνωστους αριθμούς (άγνωστους), καλείται αλγεβρική παράσταση. Μια αλγεβρική έκφραση που έχει μόνο έναν όρο ονομάζεται monomium. Οποιος αλγεβρική παράσταση Αυτό είναι το αποτέλεσμα της προσθήκης ή της αφαίρεσης μεταξύ δύο μονόμωνια ονομάζεται πολυώνυμο.
αλγεβρικές εκφράσεις, τα monomials και τα πολυώνυμα είναι παραδείγματα στοιχείων που ανήκουν στην άλγεβρα, καθώς αποτελούνται από λειτουργίες που εκτελούνται με άγνωστους αριθμούς. Να θυμάστε ότι ένας άγνωστος αριθμός μπορεί να αντιπροσωπεύει οποιονδήποτε αριθμό σε ένα σύνολο αριθμών.
Μην σταματάς τώρα... Υπάρχουν περισσότερα μετά τη διαφήμιση;)
Εξισώσεις
Εξισώσεις αυτοί είναι αλγεβρικές εκφράσεις που έχουν ισότητα. Ετσι, εξίσωση Είναι ένα περιεχόμενο των Μαθηματικών που σχετίζεται αριθμούς με άγνωστα μέσα από μια ισότητα.
Η παρουσία του άγνωστου είναι αυτό που ταξινομεί το εξίσωση ως αλγεβρική έκφραση. Η παρουσία της ισότητας επιτρέπει την εξεύρεση λύσης μιας εξίσωσης, δηλαδή την αριθμητική τιμή του άγνωστου.
Παραδείγματα
1) 2x + 4 = 0
2) 4x - 4 = 19 - 8x
3) 2x2 + 8x - 9 = 0
Ρόλοι
Ο επίσημος ορισμός της λειτουργίας έχει ως εξής: κατοχή Είναι ένας κανόνας που συνδέει κάθε στοιχείο ενός συνόλου με ένα στοιχείο ενός δεύτερου συνόλου.
Αυτός ο κανόνας αντιπροσωπεύεται μαθηματικά από μια αλγεβρική έκφραση που έχει μια ισότητα, αλλά που συνδέει το άγνωστο με το άγνωστο. Αυτή είναι η διαφορά μεταξύ συνάρτησης και εξίσωσης: η εξίσωση σχετίζεται άγνωστο με σταθερό αριθμό. στο κατοχή, το άγνωστο αντιπροσωπεύει ένα ολόκληρο αριθμητικό σύνολο. Για το λόγο αυτό, μέσα σε συναρτήσεις, άγνωστα ονομάζονται μεταβλητές, καθώς μπορούν να πάρουν οποιαδήποτε τιμή στο σύνολο που αντιπροσωπεύουν.
Καθώς περιλαμβάνει αλγεβρικές εκφράσεις, κατοχή Είναι επίσης ένα περιεχόμενο που ανήκει στην Άλγεβρα, καθώς τα γράμματα αντιπροσωπεύουν οποιονδήποτε αριθμό ανήκει σε οποιοδήποτε σύνολο αριθμών.
Παραδείγματα:
1) Εξετάστε τη συνάρτηση y = x2, όπου το x είναι οποιοδήποτε πραγματικός αριθμός.
Σε αυτό κατοχή, η μεταβλητή x μπορεί να λάβει οποιαδήποτε τιμή εντός του συνόλου των πραγματικών αριθμών. Δεδομένου ότι ο κανόνας που συνδέει τους αριθμούς που αντιπροσωπεύονται από το x με τους αριθμούς που αντιπροσωπεύονται από το y είναι μια βασική μαθηματική λειτουργία, έτσι το y αντιπροσωπεύει επίσης τους πραγματικούς αριθμούς. Η μόνη λεπτομέρεια σχετικά με αυτό είναι ότι το y δεν μπορεί να αντιπροσωπεύει έναν αρνητικό πραγματικό αριθμό σε αυτήν τη συνάρτηση, αφού το y είναι το αποτέλεσμα μιας εκθετικής ισχύος 2, η οποία θα έχει πάντα θετικό αποτέλεσμα.
2) Εξετάστε τη συνάρτηση y = 2x, όπου x είναι a φυσικός αριθμός.
Σε αυτό κατοχή, η μεταβλητή x μπορεί να λάβει οποιαδήποτε τιμή εντός του συνόλου των φυσικών αριθμών. Αυτοί οι αριθμοί είναι οι θετικοί ακέραιοι αριθμοί, οπότε οι τιμές που μπορούν να ληφθούν είναι φυσικοί αριθμοί πολλαπλασιάζονται του 2. Με αυτόν τον τρόπο, το y είναι αντιπροσωπευτικό του συνόλου των ζυγών αριθμών.
Από την κλασική άλγεβρα στην αφηρημένη άλγεβρα
Οι έννοιες που αναφέρονται μέχρι στιγμής αποτελούν το κλασική άλγεβρα. Αυτό το μέρος της άλγεβρας συνδέεται περισσότερο με σύνολα φυσικών, ακέραιων, ορθολογικών, παράλογων, πραγματικών και σύνθετων αριθμών και μελετάται τόσο στην πρωτοβάθμια όσο και στην τριτοβάθμια εκπαίδευση. Το άλλο μέρος της άλγεβρας, γνωστό ως αφηρημένο, μελετά αυτές τις ίδιες δομές, αλλά για οποιοδήποτε σύνολο.
Έτσι, δεδομένου οποιουδήποτε συνόλου, με στοιχεία (αριθμοί ή όχι), είναι δυνατό να οριστεί μια λειτουργία "προσθήκη", μια λειτουργία "πολλαπλασιασμός" και επαλήθευση της ύπαρξης ή όχι των ιδιοτήτων αυτών των λειτουργιών, καθώς και της εγκυρότητας των "εξισώσεων", "συναρτήσεων", "πολυωνύμων" και τα λοιπά.
Του Luiz Paulo Moreira
Αποφοίτησε στα Μαθηματικά
