Η επίλυση εξισώσεων είναι μια καθημερινή δραστηριότητα. Διαισθητικά επιλύουμε εξισώσεις στην καθημερινή μας ζωή και δεν το συνειδητοποιούμε καν. Κάνοντας την ακόλουθη ερώτηση: "Τι ώρα πρέπει να σηκωθώ για να πάω στο σχολείο ώστε να μην το κάνω είμαι αργοπορημένος?" και παίρνουμε την απάντηση, στην πραγματικότητα λύσαμε μια εξίσωση όπου το άγνωστο είναι το χρόνος. Αυτές οι καθημερινές ερωτήσεις πάντα υποκινούσαν μαθηματικούς όλων των εποχών στην αναζήτηση λύσεων και μεθόδων επίλυσης εξισώσεων.
Ο τύπος του Baskara είναι μια από τις πιο διάσημες μεθόδους επίλυσης μιας εξίσωσης. Είναι μια «συνταγή», ένα μαθηματικό μοντέλο που παρέχει, σχεδόν αμέσως, τις ρίζες μιας εξίσωσης 2ου βαθμού. Είναι ενδιαφέρον ότι δεν υπάρχουν τόσοι τύποι για την επίλυση εξισώσεων όσο νομίζετε. Οι εξισώσεις τρίτου και τέταρτου βαθμού είναι πολύ περίπλοκες για επίλυση και υπάρχουν τύποι επίλυσης για τις απλούστερες περιπτώσεις αυτών των τύπων εξισώσεων.
Είναι ενδιαφέρον να γνωρίζουμε ότι ο βαθμός της εξίσωσης καθορίζει πόσες ρίζες έχει. Γνωρίζουμε ότι η εξίσωση 2ου βαθμού έχει δύο ρίζες. Επομένως, μια εξίσωση 3ου βαθμού θα έχει τρεις ρίζες, και ούτω καθεξής. Τώρα ας δούμε τι συμβαίνει με κάποιες εξισώσεις.
Παράδειγμα. Λύστε τις εξισώσεις:
α) x2 + 3x - 4 = 0
Λύση: Εφαρμόζοντας τον τύπο της Baskara για επίλυση εξίσωσης 2ου βαθμού, αποκτούμε:
Γνωρίζουμε ότι a = 1, b = 3 και c = - 4. Ετσι,
Δεδομένου ότι επιλύουμε μια εξίσωση 2ου βαθμού, έχουμε δύο ρίζες.
β) x3 – 8 = 0
Λύση: Σε αυτήν την περίπτωση, έχουμε μια ατελή εξίσωση τρίτου βαθμού με απλή ανάλυση. 
Λύση: Σε αυτήν την περίπτωση, έχουμε μια ατελή εξίσωση 4ου βαθμού, που ονομάζεται επίσης εξίσωση δύο τετραγώνων. Η λύση σε αυτόν τον τύπο εξίσωσης είναι επίσης απλή. Κοίτα:
η εξίσωση x4 + 3x2 - 4 = 0 μπορεί να ξαναγραφεί ως εξής:
(Χ2)2 + 3x2 – 4 =0
κάνοντας x2 = t και αντικαθιστώντας την παραπάνω εξίσωση λαμβάνουμε:
τ2 + 3t - 4 = 0 → που είναι εξίσωση 2ου βαθμού.
Μπορούμε να λύσουμε αυτήν την εξίσωση χρησιμοποιώντας τον τύπο του Baskara.
Αυτές οι τιμές δεν είναι οι ρίζες της εξίσωσης, καθώς το άγνωστο είναι x και όχι t. Αλλά πρέπει:
Χ2 = τ
Επειτα,
Χ2 = 1 ή x2 = – 4
του x2 = 1, λαμβάνουμε ότι x = 1 ή x = - 1.
του x2 = - 4, καταλαβαίνουμε ότι δεν υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί που ικανοποιούν την εξίσωση.
Επομένως, S = {- 1, 1}
Σημειώστε ότι στην εναλλακτική λύση ο είχαμε μια εξίσωση 2ου βαθμού και βρήκαμε δύο ρίζες. Εναλλακτικά σι επιλύουμε μια εξίσωση 3ου βαθμού και βρίσκουμε μόνο μία ρίζα. Και η εξίσωση των στοιχείων ντο, ήταν μια εξίσωση του 4ου βαθμού και βρήκαμε μόνο δύο ρίζες.
Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, ο βαθμός της εξίσωσης καθορίζει πόσες ρίζες έχει:
Βαθμός 2 → δύο ρίζες
Βαθμός 3 → τρεις ρίζες
Βαθμός 4 → τέσσερις ρίζες
Αλλά τι συνέβη στις εναλλακτικές εξισώσεις σι και ντο?
Αποδεικνύεται ότι μια εξίσωση του βαθμού n ≥ 2 μπορεί να έχει πραγματικές ρίζες και σύνθετες ρίζες. Στην περίπτωση της εξίσωσης τρίτου βαθμού του στοιχείου β βρίσκουμε μόνο μία πραγματική ρίζα, οι άλλες δύο ρίζες είναι σύνθετοι αριθμοί. Το ίδιο ισχύει για την εξίσωση στο στοιχείο γ: βρίσκουμε δύο πραγματικές ρίζες, οι άλλες δύο είναι περίπλοκες.
Σχετικά με τις σύνθετες ρίζες, έχουμε το ακόλουθο Θεώρημα.
Εάν ο σύνθετος αριθμός a + bi, b ≠ 0, είναι η ρίζα της εξίσωσης a0Χόχι + το1Χν-1+... + τον-1x + αόχι = 0, των πραγματικών συντελεστών, οπότε το συζυγές του, a - bi, είναι επίσης η ρίζα της εξίσωσης.
Οι συνέπειες του θεωρήματος είναι:
• Εξίσωση 2ου βαθμού με πραγματικούς συντελεστές → έχει μόνο πραγματικές ρίζες ή δύο συζευγμένες σύνθετες ρίζες.
• Εξίσωση 3ου βαθμού με πραγματικούς συντελεστές → έχει μόνο πραγματικές ρίζες ή μία πραγματική ρίζα και δύο συζευγμένες σύνθετες ρίζες.
• Η εξίσωση του 4ου βαθμού με πραγματικούς συντελεστές → έχει μόνο πραγματικές ρίζες ή δύο σύνθετες ρίζες συζευγμένων και δύο πραγματικές ή μόνο τέσσερις σύνθετες ρίζες συζεύγματος, δύο προς δύο.
• Εξίσωση 5ου βαθμού με πραγματικούς συντελεστές → έχει μόνο πραγματικές ρίζες ή δύο πολύπλοκες ρίζες συζευγμένη και η άλλη πραγματική ή τουλάχιστον μία πραγματική ρίζα και οι άλλες σύνθετες ρίζες, δύο προς δύο συζευγμένος.
Το ίδιο ισχύει για εξισώσεις βαθμών μεγαλύτερων από 5.
Από τον Marcelo Rigonatto
Ειδικός στη Στατιστική και Μαθηματική Μοντελοποίηση
Σχολική ομάδα της Βραζιλίας
Σύνθετοι αριθμοί - Μαθηματικά - Σχολείο της Βραζιλίας
Πηγή: Σχολείο της Βραζιλίας - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numero-raizes-uma-equacao.htm
