Sie irrationale Zahlen hat bei Mathematikern lange Zeit große Verunsicherung ausgelöst. Heute kennen wir, bereits gut definiert, als irrationale Zahl diejenige, deren Dezimaldarstellung ist immer eine nicht periodische Dezimalzahl. Das Hauptmerkmal von Irrationalen und was sie von rationalen Zahlen unterscheidet, ist, dass sie kann nicht durch a dargestellt werden Fraktion.
Das Studium irrationaler Zahlen wurde vertieft, als bei der Berechnung von Problemen mit dem Satz des Pythagoras nicht exakte Wurzeln gefunden wurden. Die Suche nach einer Lösung für diese ungenauen Wurzeln machte die Existenz von ungenauen Zehnten bemerkenswert periodisch, d. h. von Zahlen, deren Dezimalteil unendlich ist und keine gute Folge hat. definiert. Die wichtigsten irrationalen Zahlen sind nicht periodische Dezimalzahlen, nicht exakte Wurzeln und .
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Satz irrationaler Zahlen
Vor dem Studium der irrationalen Zahlen wurden Zahlenmengen untersucht
natürlich, ganze Zahlen und rationale Zahlen. Beim tieferen Eintauchen in das Studium des Rechteckdreiecks wurde klar, dass Es gibt einige Wurzeln, die keine genaue Lösung haben., insbesondere konnte man sehen, dass ungenaue Wurzellösungen Zahlen sind bekannt als nicht periodischer Zehnter.Inmitten dieser Unruhe haben viele Mathematiker erfolglos versucht zu beweisen, dass ungenaue Wurzeln rationale Zahlen sind und was als Bruch dargestellt werden kann, aber es wurde erkannt, dass diese Zahlen in diesem nicht dargestellt werden können bilden. Da diese Zahlen bisher nicht in der Menge der rationalen Zahlen enthalten waren, entstand die Notwendigkeit, eine neue Menge zu schaffen, die als Menge der irrationalen Zahlen bekannt ist.
Eine Zahl ist irrational, wenn ihre Dezimaldarstellung eine nicht periodische Dezimalzahl ist. |
Was sind irrationale Zahlen?
Um eine irrationale Zahl zu sein, muss sie die Definition erfüllen, d seine dezimale Darstellung ist eine nichtperiodische Dezimalzahl. Das Hauptmerkmal nichtperiodischer Dezimalzahlen ist, dass sie nicht durch einen Bruch dargestellt werden können, was zeigt, dass irrationale Zahlen das Gegenteil von rationalen Zahlen sind.
Die Hauptnummern mit dieser Funktion sind die Wurzeln nicht genau.
Beispiele:
a) 2
b) 5
c) 7
d) √13
Bei der Suche nach nicht genauen Wurzellösungen, d. h. bei der dezimalen Darstellung dieser Zahlen, immer Wir werden eine nichtperiodische Dezimalzahl finden, die diese Zahlen zu Elementen der Menge von macht irrational.
Neben nicht genauen Wurzeln gibt es selbst nicht periodische Dezimalzahlen. Wenn wir beispielsweise nicht exakte Wurzeln berechnen, finden wir eine nicht periodische Dezimalstelle.
√2 = 1,41421356...
√5= 2,23606797...
Irrationale Zahlen werden üblicherweise durch griechische Buchstaben dargestellt, da nicht alle Nachkommastellen geschrieben werden können.
Der erste ist der π (sprich: pi), vorhanden bei der Berechnung von Fläche und Umfang von Kreisen. Hat einen Wert gleich 3,1415926535…
Neben π ist eine weitere sehr häufige Zahl ϕ (sprich: fi). Er findet sich bei Problemen mit dem Anteil golden. Es hat einen Wert von 1,618033...
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rationale und irrationale Zahl
Bei der Analyse der Zahlensätze, Es ist wichtig, zwischen rationalen Zahlen und irrationalen Zahlen zu unterscheiden. Die Vereinigung dieser beiden Mengen bildet eine der am meisten untersuchten Mengen in der Mathematik, die Menge der reellen Zahlen, d. h. die Menge der reale Nummern es ist die Verbindung von Zahlen, die als Brüche (rational) dargestellt werden können, mit Zahlen, die nicht als Brüche dargestellt werden können (irrational).
Im Set von Rationale Zahlen, gibt es die ganzen Zahlen, die natürlichen, die exakten Dezimalzahlen und die periodischen Dezimalzahlen.
Beispiele für rationale Zahlen:
-60 → ganze Zahl
2.5 → exakte Dezimalzahl
5.1111111… → periodische Dezimalzahl
Die irrationalen Zahlen sind nichtperiodische Dezimalzahlen, es gibt also keine Zahl, die gleichzeitig rational und irrational ist.
Beispiel für irrationale Zahlen:
1,123149… → nicht periodischer Zehnter
2.769235… → nicht periodischer Zehnter
Operationen mit irrationalen Zahlen
Addition und Subtraktion
DAS Zusatz und der Subtraktion von zwei irrationalen Zahlen ist normalerweise gerade vertreten, es sei denn, es wird eine dezimale Näherung dieser Zahlen verwendet, zum Beispiel:
a) 6 + √5
b) 6 – √5
c) 1.414213… + 3.1415926535…
Wir können die Werte wegen der Radikale nicht addieren oder subtrahieren, also haben wir die Operation einfach angegeben.
Bei dezimalen Darstellungen ist es auch nicht möglich, die exakte Summe zu bilden, also Um zwei irrationale Zahlen zu addieren, benötigen wir eine rationale Approximation., und diese Darstellung wird entsprechend dem Bedarf an Genauigkeit dieser Daten gewählt. Je mehr Nachkommastellen wir berücksichtigen, desto näher kommen wir der exakten Summe.
Überwachung:die Menge der irrationalen Zahlen ist nicht durch Addition oder Subtraktion abgeschlossen, das bedeutet, dass die Summe zweier irrationaler Zahlen eine Zahl ergeben kann, die nicht rational ist. Wenn wir zum Beispiel die Differenz einer irrationalen Zahl durch ihr Gegenteil berechnen, müssen wir:
a) √2 – √2 = 0
b) + (-π) = 0
Wir wissen, dass 0 keine irrationale Zahl ist.
Multiplikation und Division
Die Multiplikation und Einteilung von irrationalen Zahlen ist möglich, wenn die Darstellung a. ist Strahlung, jedoch ist in dezimaler Darstellung, also beim Multiplizieren oder Dividieren zweier Dezimalstellen, wie bei der Addition eine rationale Approximation dieser Zahl erforderlich.
a) 7 · √5 = √35
b) 32: √2 = √16 = 4
Beachten Sie auch, dass in Beispiel b 4 eine rationale Zahl ist, was bedeutet, dass die Multiplikation und Division zweier irrationaler Zahlen nicht abgeschlossen ist, dh ein rationales Ergebnis haben kann.
gelöste Übungen
Frage 1 - Überprüfen Sie die folgenden Zahlen:
Ich) 3.1415926535
II) 4,1234510….
III) 2π
IV) 1.123123123...
V) 36
VI) 12
Das sind irrationale Zahlen:
A) Nur I, IV und V
B) Nur II, III und VI
C) Nur II, IV und VI
D) Nur I, II, III und VI
E) Nur III, IV, V und VI
Auflösung
Alternative B
I → die Zahl ist exakt dezimal, rational.
II → die Zahl ist eine nicht periodische, irrationale Dezimalzahl.
III → π ist irrational, und sein Double, also 2π, ist ebenfalls irrational.
IV → die Zahl ist eine periodische, rationale Dezimalzahl.
V → exakte, rationale Wurzel.
VI → Wurzel nicht exakt, irrational.
Frage 2 - Bitte beurteilen Sie folgende Aussagen:
I – Die Menge der reellen Zahlen ist die Vereinigung von Rationalem und Irrationalem;
II – Die Summe zweier irrationaler Zahlen kann eine rationale Zahl sein;
III – Zehnte sind irrationale Zahlen.
Wenn wir die Aussagen analysieren, können wir Folgendes sagen:
A) Nur Aussage I ist wahr.
B) Nur Aussage II ist wahr.
C) Nur Aussage III ist wahr.
D) Nur die Aussagen I und II sind wahr.
E) Alle Aussagen sind wahr.
Auflösung
Alternative D
I → Richtig, denn die Definition der Menge der reellen Zahlen ist die Vereinigung von rational und irrational.
II → Richtig, wenn wir dem Gegenteil davon eine Zahl hinzufügen, erhalten wir als Ergebnis die Zahl 0, die rational ist.
III → Falsche, nicht periodische Zehnten sind irrational.
Von Raul Rodrigues de Oliveira
Mathematiklehrer
Quelle: Brasilien Schule - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-irracionais.htm