Ö Punktprodukt zwischen zwei Vektoren ist eine reelle Zahl, die die Größe dieser Vektoren, dh ihre Länge, und den Winkel zwischen ihnen in Beziehung setzt. Um sie zu berechnen, ist es daher notwendig, ihre Längen und den Winkel, den sie bilden, zu kennen.
Ausgehend von der Ebene gibt ein Vektor einen Ort, eine Intensität, eine Richtung und eine Richtung an. Daher wird es in den Studien der Mechanik (Physik) als Repräsentant einer auf ein Objekt ausgeübten Kraft verwendet.
Die übliche Darstellung des Vektors ist ein Pfeil, der in einem Punkt endet. Die Koordinaten dieses Punktes heißen die Koordinaten des Vektors ausgehend von Punkt O (0,0). Wir schreiben v = (a, b), um es darzustellen. Damit wird der Vektor v = (1,2) wie folgt gezeichnet:
Vektorbeispiel ausgehend vom Ursprung
Um die Länge dieses Vektors zu berechnen, betrachten Sie das von ihm gebildete rechtwinklige Dreieck und seine Projektion auf die x-Achse (oder y-Achse), wie in der folgenden Abbildung gezeigt:
Länge des Vektors v
Die Länge eines Vektors v heißt
v Vektornorm oder Vektormodul v und wird durch |v| dargestellt. Beachten Sie, dass die Norm des Vektors v = (a, b) genau das Maß der Hypotenuse des in der obigen Abbildung dargestellten Dreiecks ist. Um dieses Maß zu berechnen, verwenden wir den Satz des Pythagoras:|v|2 = die2 + b2
|v| = √(a2 + b2 )
Produkt mit zwei Vektorpunkten
Gegeben zwei Vektoren u und v wird das innere Produkt zwischen ihnen dargestellt durch und ist definiert als:
= |u||v|·cosθ
Dies ist eine Art Multiplikation zwischen zwei Vektoren, wird jedoch nicht als Produkt bezeichnet, da es sich nicht um eine gemeinsame Multiplikation handelt, da es sich um den von diesen beiden Vektoren gebildeten Winkel handelt.
Winkel zwischen zwei Vektoren
Das erste Ergebnis der obigen Definition ist der Winkel zwischen zwei Vektoren. Mit den reellen Zahlen „Punktprodukt“, „u-Vektornorm“ und „v-Vektornorm“ lässt sich der Winkel zwischen den Vektoren u und v berechnen. Führen Sie dazu einfach die Berechnungen durch:
= |u||v|·cosθ
= cosθ
|u||v|
Wenn wir also das innere Produkt durch die Normen der Vektoren u und v dividieren, finden wir die reelle Zahl, die sich auf den Kosinus zwischen diesen beiden Vektoren und damit auf den Winkel zwischen ihnen bezieht.
Beachten Sie, dass cosθ gleich Null ist, wenn der Winkel zwischen zwei Vektoren gerade ist. Daher hat das obige Produkt das folgende Ergebnis:
= 0
Daraus kann geschlossen werden, dass bei zwei Vektoren u und v diese orthogonal sind, wenn = 0.
Inneres Produkt berechnet aus Vektorkoordinaten
Unter Berücksichtigung der beiden Vektoren u = (a, b) und v = (c, d) ergibt sich für das Skalarprodukt zwischen u und v:
= = a·c + b·d
Interne Produkteigenschaften
Gegeben seien die Vektoren u, v und w und die reelle Zahl α, beachte:
ich) =
Das bedeutet, dass das innere Produkt von Vektoren „kommutativ“ ist.
ii) = +
Diese Eigenschaft ist vergleichbar mit der Distributivität der Multiplikation über die Addition.
iii) = = α
Die Berechnung des inneren Produkts zwischen u und v multipliziert mit der reellen Zahl α entspricht der Berechnung des inneren Produkts zwischen αv und u oder zwischen v und αu.
iv)
Das innere Produkt von v mit v ist nur dann null, wenn v der Nullvektor ist.
v)
Das innere Produkt von v mit v ist immer größer oder gleich Null.
Von Luiz Paulo Moreira
Abschluss in Mathematik
Quelle: Brasilien Schule - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/produto-interno-entre-dois-vetores.htm
