DAS Injektorfunktion, auch als injektive Funktion bekannt, ist ein Sonderfall der Funktion. Damit eine Funktion als injizierend betrachtet wird, müssen wir folgendes Vorkommen haben: gegeben zwei Elemente, x1 und x2, zur Domänenmenge gehörend, mit x1 anders als x2, Bilder f(x1) und f(x2) sind immer verschieden, d. h. f(x1) ≠ f(x2). Diese Funktion hat spezifische Eigenschaften, die die Identifizierung ihres Graphen und auch die Analyse des Bildungsgesetzes ermöglichen.
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Was ist eine Injektionsfunktion?
Um einige Beispiele für Injektorfunktionen zu erstellen, ist es wichtig, die Definition dieses Funktionstyps zu verstehen. Eine Funktion f: A → B wird nur dann als injizierend klassifiziert, wenn Elemente, die sich von Satz A unterscheiden, haben unterschiedliche Bilder in Satz B, d.h.:
Beispiel 1:
Unten ist ein Beispiel für die Injektorfunktion in dve DiagrammNeinNein:
Beispiel 2:
Unten ist ein Beispiel für eine nicht injizierende Funktion. Beachten Sie, dass im einstellen A, es gibt zwei verschiedene Elemente, die das gleiche Bild in Satz B haben, was der Definition der Injektorfunktion widerspricht.
Wie berechnet man eine Injektorfunktion?
Um zu überprüfen, ob eine Funktion injiziert oder nicht, ist es notwendig, das Verhalten des Bildungsgesetzes sowie den Bereich und den Gegenbereich, in dem die Funktion definiert ist, zu analysieren.
Beispiel:
gegeben die Funktion f: R → R, mit dem Bildungsgesetz f(x) = 2x, prüfen Sie, ob es sich um einen Injektor handelt.
Aus dem Bildungsgesetz können wir sehen, dass es a reelle Zahl der Domäne und macht sie zu ihrem Double. Zwei unterschiedliche reelle Zahlen ergeben, wenn sie mit zwei multipliziert werden, unterschiedliche Ergebnisse. DAS Besetzungf, Wie wir sehen, handelt es sich um eine Injektorfunktion, da für zwei beliebige Werte von x1 und x2,der Wert von f(x1) ≠ f(x2).
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Beispiel 2:
gegeben die Funktion f: R → R, mit Bildungsgesetz f(x) = x², prüfen Sie, ob es sich um einen Injektor handelt.
Wir können beobachten, dass diese Funktion für diesen Bereich nicht injizierend ist, da das Bild einer beliebigen Zahl gleich dem Bild ihres Gegenteils ist, zum Beispiel:
f( 2) = 2² = 4
f( --2 ) = (– 2) ² = 4
beachten Sie, dass f(2) = f ( – 2), was der Definition einer Injektorfunktion widerspricht.
Beispiel 3:
gegeben die Funktion f:R+ → R, mit Bildungsgesetz f(x) = x², prüfen Sie, ob es sich um einen Injektor handelt.
Beachten Sie, dass der Bereich jetzt die positiven reellen Zahlen und Null ist. Die Funktion verwandelt die reelle Zahl in ihr Quadrat; in diesem Fall, wenn der Bereich die Menge positiver reeller Zahlen ist, ist diese Funktion injektiv, da das Quadrat zweier unterschiedlicher positiver Zahlen immer unterschiedliche Ergebnisse liefert. Es ist also sehr wichtig, sich daran zu erinnern, dass wir zusätzlich zum Funktionsbildungsgesetz dessen Domäne und Gegendomäne analysieren müssen.
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Einspritzfunktionstabelle
Um festzustellen, ob der Graph eine Injektionsfunktion ist oder nicht, überprüfen Sie einfach, ob es zwei unterschiedliche x-Werte, die den gleichen y-Korrespondenten erzeugend.h. die Gültigkeit der Definition der Injektorfunktion überprüfen.
In dem Bereich, in dem wir den Graphen betrachten, muss die Funktion ausschließlich steigend oder ausschließlich fallend sein. Grafiken wie die Gleichnis oder die Sinusfunktion sind keine Graphen von Injektorfunktionen.
Beispiel 1:
Die ansteigende Linie ist der Graph einer Injektionsfunktion. Beachten Sie, dass er immer ansteigt und dass es keinen y-Wert gibt, der zwei verschiedene Korrespondenten hat.
Beispiel 2:
Der Graph von a Exponentialfunktion es ist auch der Graph einer Injektorfunktion.
Beispiel 3:
Der Graph von a quadratische Funktion es ist immer ein Gleichnis. Wenn die Domäne die reellen Zahlen umfasst, kann man sehen, dass es verschiedene x-Werte gibt, die die haben gleiches Entsprechen in y, wie in den Punkten F und G, was diesen Graphen einer Funktion macht, die nicht ist Injektor.
Zusammenfassend reicht es aus, zu prüfen, ob die Definition einer Injektorfunktion für diese Funktion gültig ist oder nicht, um zu wissen, ob der Graph eine Injektorfunktion ist oder nicht.
gelöste Übungen
Frage 1 - (Enem 2017 – PPL) Im ersten Jahr des Gymnasiums an einer Schule ist es üblich, dass die Schüler beim Junifest Square Dance tanzen. In diesem Jahr sind 12 Mädchen und 13 Jungen in der Klasse, und für die Gang wurden 12 verschiedene Paare gebildet, bestehend aus einem Mädchen und einem Jungen. Angenommen, Mädchen sind die Elemente, aus denen die Menge A besteht, und die Jungen die Menge B, sodass die gebildeten Paare eine Funktion f von A nach B darstellen.
Basierend auf diesen Informationen ist die Klassifizierung des Funktionstyps, der in dieser Beziehung vorhanden ist,
A) f ist injizierend, weil für jedes Mädchen aus der Gruppe A ein anderer Junge aus der Gruppe B zugeordnet ist.
B) f ist surjektiv, da jedes Paar aus einem Mädchen der Menge A und einem Jungen der Menge B gebildet wird, so dass ein ungepaarter Junge übrig bleibt.
C) f ist Injektion, um alle Schüler in der Klasse einzubeziehen, da zwei beliebige Mädchen, die zu Gruppe A gehören, mit demselben Jungen, der zu Gruppe B gehört, paaren.
D) f ist bijektiv, da zwei beliebige Jungen aus der Menge B ein Paar mit demselben Mädchen aus der Menge A bilden.
E) f ist surjektiv, da es für ein Mädchen aus Menge A genügt, mit zwei Jungen aus Menge B ein Paar zu bilden, so dass kein Junge ohne Paar dasteht.
Auflösung
Alternative A.
Diese Funktion ist injektiv, weil es für jedes Element von Menge A einen einzigen Korrespondenten in Menge B gibt. Beachten Sie, dass es nicht möglich ist, dass zwei Mädchen mit demselben Paar tanzen, daher ist diese Beziehung injizierend.
Frage 2 - (IME - RJ) Betrachten Sie die Mengen A = {(1,2), (1,3), (2,3)} und B = {1, 2, 3, 4, 5} und lassen Sie die Funktion f: A → B mit f(x, y) = x + y.
Man kann sagen, dass f eine Funktion ist:
A) Injektor.
B) surjektiv.
C) Bijektor.
D) Abschn.
E) ungerade.
Auflösung
Alternative A.
Um die Domäne zu analysieren, müssen wir:
f (1.2) = 1 + 2 = 3
f (1,3) = 1 + 3 = 4
f(2,3) = 2 + 3 = 5
Beachten Sie, dass zwei beliebige unterschiedliche Terme in der Domäne mit unterschiedlichen Termen in der Gegendomäne verbunden sind, was diese Funktion zu einem Injektor macht.
Von Raul Rodrigues de Oliveira
Mathematiklehrer
