trigonometrisches Verhältnis - auch genannt trigonometrische Beziehung – ist grob gesagt das Ergebnis der Division der Maße von zwei Seiten von a rechtwinkliges Dreieck. Trigonometrische Verhältnisse können die Seiten mit den Winkeln eines rechtwinkligen Dreiecks in Beziehung setzen. Ohne sie wäre es nur möglich, das aufzubauen, was wir kennen metrische Beziehungen.
Vor der Definition der trigonometrischen Verhältnisse ist es wichtig, die Nomenklatur der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks zu kennen.
Rechteck Dreieck
In jedem rechtwinkligen Dreieck heißt die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite – die längste Seite des Dreiecks – Hypotenuse. Die anderen beiden sind benannt nach Pekaris.
Wenn man außerdem den spitzen Winkel θ eines rechtwinkligen Dreiecks festlegt, heißt die diesem Winkel gegenüberliegende Seite gegenüberliegendes Bein, und die Seite, die diesen Winkel berührt, heißtbenachbartes Bein.
Trigonometrische Verhältnisse
Die trigonometrischen Verhältnisse wurden aus der folgenden Beobachtung gebildet: Zwei rechtwinklige Dreiecke, die einen zweiten kongruenten Winkel haben, sind ähnlich. Das bedeutet, dass zwischen diesen beiden Dreiecken die Seitenmaße proportional und die Winkelmaße deckungsgleich sind. Auf diese Weise ergibt das Verhältnis zwischen seinen Seiten das gleiche Ergebnis, wenn man einen spitzen Winkel von einem rechtwinkligen Dreieck nimmt.
Diese Information ist für die Trigonometrie wichtig, da ein trigonometrisches Verhältnis bezogen auf einen gegebenen Winkel einen festen Wert für hat jedes Dreieck, unabhängig von der Größe seiner Seiten, denn da sie proportional sind, ist das Verhältnis der entsprechenden Seiten gleich.
Das heißt, wir definieren die trigonometrische Verhältnisse Sinus, Kosinus und Tangente:
Senθ = Kathete gegenüber θ
Hypotenuse
Cosθ = Kathet neben θ
Hypotenuse
Tgθ = Kathete gegenüber θ
Kathet neben θ
Ein Wert für jeden Winkel
Der Sinus eines Winkels ist unabhängig vom Maß der Seite des Dreiecks, von der dieser Winkel genommen wurde, invariant. Das folgende Dreieck wurde im Computer so konstruiert, dass es einen rechten Winkel und einen 30º-Winkel hatte, dargestellt durch den griechischen Buchstaben θ. Die erhaltenen Messwerte waren:
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Wenn wir den Sinus von 30° berechnen, erhalten wir:
Sen30 = Kathete gegenüber θ = 2,31 = 0,5
Hypotenuse 4.62
Der Wert 0,5 ist der 30°-Sinus für jedes Dreieck. Dies liegt daran, dass alle Dreiecke mit zwei kongruenten Winkeln proportional sind. In diesem Beispiel ist 0,5 nur das Verhältnis, das in rechtwinkligen Dreiecken mit einem Winkel von 30° gefunden wird.
trigonometrische Tabelle
Die obigen Berechnungen können für alle „ganzen“ Winkel durchgeführt werden – ein Winkel kann auch fraktioniert werden. „Dezimal“-Brüche werden als Minuten bezeichnet und „Centesimal“ als Sekunden. Aus den Verhältnissen von Sinus, Cosinus und Tangens ließe sich folgende Wertetabelle aufbauen:
praktische Anwendungen
Aus trigonometrischen Gründen ist es möglich, die Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Werten seiner Seiten in Beziehung zu setzen. Daher ist es möglich, das Maß einer Seite eines rechtwinkligen Dreiecks zu finden, indem nur die Maße eines seiner spitzen Winkel und einer seiner Seiten vorliegen. Schau dir das Beispiel an:
Berechnen Sie den Wert der Längsseite Das im folgenden Dreieck:
In diesem Dreieck möchten wir den Wert der dem 60°-Winkel gegenüberliegenden Seite vom Wert der angrenzenden Seite ermitteln. schauen die... an trigonometrische Verhältnisse Wie oben definiert, beobachten wir, dass die einzige Tangente die gegenüberliegende Seite mit der benachbarten Seite in Beziehung setzt. Daher verwenden wir diesen Grund, um den Wert von „a“ zu ermitteln. Wenn wir in der vorherigen Tabelle nach dem 60°-Tangens suchen, finden wir den Wert: 1,732. Sehen Sie sich die Berechnungen an, die verwendet wurden, um das Maß auf Seite a zu finden:
Tg60 = Cateto gegenüber 60 = Das
Kathete neben 60 2
Tg60 = Das
2
1,732 = Das
2
a = 1,732·2
a = 3,464
Von Luiz Paulo Moreira
Abschluss in Mathematik
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SILVA, Luiz Paulo Moreira. "Was ist das trigonometrische Verhältnis?"; Brasilien Schule. Verfügbar in: https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-razao-trigonometrica.htm. Zugriff am 27. Juni 2021.
