Sinus, Cosinus und Tangens sind die namen gegeben trigonometrische Verhältnisse. Die meisten Probleme bei der Entfernungsberechnung werden mit dem Trigonometrie. Und dafür ist es sehr wichtig, seine Grundlagen zu verstehen, beginnend mit dem rechtwinkliges Dreieck.
Trigonometrische Verhältnisse sind ebenfalls sehr wichtig, da sie die Messungen auf beiden Seiten des Dreieck mit einem der spitzen Winkel, assoziieren diese Beziehung mit a reelle Zahl.
Mehr sehen: Identifizieren der Quadranten des trigonometrischen Zyklus
Merkmale des rechtwinkligen Dreiecks
Das rechtwinklige Dreieck wird gebildet durch a Winkel 90° (geraden Winkel). Die anderen Winkel sind kleiner als 90º, also spitz, und außerdem wissen wir, dass die größten Seiten immer den größten Winkeln gegenüberliegen. Im rechtwinkligen Dreieck heißt die größte Seite Hypotenuse und liegt "vor" dem rechten Winkel, die anderen Seiten heißen Pekaris.
Im obigen Dreieck haben wir, dass die Seiten, die c und b messen, die Beine sind und die Seite, die a misst, die Hypotenuse. In jedem rechtwinkligen Dreieck war die Beziehung bekannt als
Satz des Pythagoras ist gültig.Das2 = b2 + c2
Auch das Halsbandpekari erhält ab sofort besondere Namen. Die Nomenklaturen der Beine hängen vom Referenzwinkel ab. In Anbetracht des blauen Winkels im obigen Bild haben wir, dass die Seite, die b misst, die ist gegenüberliegendes Bein, und die Seite, die neben dem Winkel liegt, d. h. die c misst, ist die benachbartes Bein.
Sinus
Bevor wir eine Formel für den Sinus eines Winkels definieren, wollen wir die Idee des Sinus verstehen. Stellen Sie sich eine Rampe vor, auf der wir die Grund zwischen Höhe und Kurs, oder? Dieses Verhältnis wird als Sinus des Winkels α bezeichnet.
So,
sinα = Höhe
Route
Kosinus
Analog zur Idee des Sinus haben wir den Kosinussinn, jedoch ist bei einer Rampe der Kosinus das Verhältnis zwischen dem Abstand vom Boden und dem Weg entlang der Rampe.
So:
cosα = Entfernung
Route
Tangente
Ähnlich wie bei Sinus und Cosinus ist die Tangente das Verhältnis zwischen der Höhe und dem Abstand einer Rampe.
So:
tgα = Höhe
Entfernung
Die Tangente gibt uns die Steigrate.
Lesen Sie auch: Trigonometrie in jedem Dreieck
Zusammenhang zwischen Sinus, Cosinus und Tangens
Im Allgemeinen können wir dann Sinus, Cosinus und Tangens in jedem rechtwinkligen Dreieck mit den vorherigen Ideen definieren. Siehe unten:
Nehmen Sie zuerst die Winkel α als referenz haben wir:
sinα = gegenüberliegende Seite = ç
Hypotenuse zu
cosα = benachbarte catet = B
Hypotenuse zu
tgα = gegenüberliegende Seite = ç
Benachbarte catet b
Nehmen wir nun den Winkel β als Referenz, so haben wir:
sin β = gegenüberliegende Seite = B
Hypotenuse zu
cos β = benachbarte catet = ç
Hypotenuse zu
tgβ = gegenüberliegende Seite = B
benachbarte Kathete c
Trigonometrische Tabellen
Es gibt drei Winkelwerte, die wir kennen müssen. Sind sie:
Die anderen Werte sind in den Anweisungen der Übungen angegeben oder können in der folgenden Tabelle überprüft werden, aber keine Sorge, es ist nicht erforderlich, sie sich zu merken (außer denen in der vorherigen Tabelle).
Winkel (°) |
Sinus |
Kosinus |
Tangente |
Winkel (°) |
Sinus |
Kosinus |
Tangente |
1 |
0,017452 |
0,999848 |
0,017455 |
46 |
0,71934 |
0,694658 |
1,03553 |
2 |
0,034899 |
0,999391 |
0,034921 |
47 |
0,731354 |
0,681998 |
1,072369 |
3 |
0,052336 |
0,99863 |
0,052408 |
48 |
0,743145 |
0,669131 |
1,110613 |
4 |
0,069756 |
0,997564 |
0,069927 |
49 |
0,75471 |
0,656059 |
1,150368 |
5 |
0,087156 |
0,996195 |
0,087489 |
50 |
0,766044 |
0,642788 |
1,191754 |
6 |
0,104528 |
0,994522 |
0,105104 |
51 |
0,777146 |
0,62932 |
1,234897 |
7 |
0,121869 |
0,992546 |
0,122785 |
52 |
0,788011 |
0,615661 |
1,279942 |
8 |
0,139173 |
0,990268 |
0,140541 |
53 |
0,798636 |
0,601815 |
1,327045 |
9 |
0,156434 |
0,987688 |
0,158384 |
54 |
0,809017 |
0,587785 |
1,376382 |
10 |
0,173648 |
0,984808 |
0,176327 |
55 |
0,819152 |
0,573576 |
1,428148 |
11 |
0,190809 |
0,981627 |
0,19438 |
56 |
0,829038 |
0,559193 |
1,482561 |
12 |
0,207912 |
0,978148 |
0,212557 |
57 |
0,838671 |
0,544639 |
1,539865 |
13 |
0,224951 |
0,97437 |
0,230868 |
58 |
0,848048 |
0,529919 |
1,600335 |
14 |
0,241922 |
0,970296 |
0,249328 |
59 |
0,857167 |
0,515038 |
1,664279 |
15 |
0,258819 |
0,965926 |
0,267949 |
60 |
0,866025 |
0,5 |
1,732051 |
16 |
0,275637 |
0,961262 |
0,286745 |
61 |
0,87462 |
0,48481 |
1,804048 |
17 |
0,292372 |
0,956305 |
0,305731 |
62 |
0,882948 |
0,469472 |
1,880726 |
18 |
0,309017 |
0,951057 |
0,32492 |
63 |
0,891007 |
0,45399 |
1,962611 |
19 |
0,325568 |
0,945519 |
0,344328 |
64 |
0,898794 |
0,438371 |
2,050304 |
20 |
0,34202 |
0,939693 |
0,36397 |
65 |
0,906308 |
0,422618 |
2,144507 |
21 |
0,358368 |
0,93358 |
0,383864 |
66 |
0,913545 |
0,406737 |
2,246037 |
22 |
0,374607 |
0,927184 |
0,404026 |
67 |
0,920505 |
0,390731 |
2,355852 |
23 |
0,390731 |
0,920505 |
0,424475 |
68 |
0,927184 |
0,374607 |
2,475087 |
24 |
0,406737 |
0,913545 |
0,445229 |
69 |
0,93358 |
0,358368 |
2,605089 |
25 |
0,422618 |
0,906308 |
0,466308 |
70 |
0,939693 |
0,34202 |
2,747477 |
26 |
0,438371 |
0,898794 |
0,487733 |
71 |
0,945519 |
0,325568 |
2,904211 |
27 |
0,45399 |
0,891007 |
0,509525 |
72 |
0,951057 |
0,309017 |
3,077684 |
28 |
0,469472 |
0,882948 |
0,531709 |
73 |
0,956305 |
0,292372 |
3,270853 |
29 |
0,48481 |
0,87462 |
0,554309 |
74 |
0,961262 |
0,275637 |
3,487414 |
30 |
0,5 |
0,866025 |
0,57735 |
75 |
0,965926 |
0,258819 |
3,732051 |
31 |
0,515038 |
0,857167 |
0,600861 |
76 |
0,970296 |
0,241922 |
4,010781 |
32 |
0,529919 |
0,848048 |
0,624869 |
77 |
0,97437 |
0,224951 |
4,331476 |
33 |
0,544639 |
0,838671 |
0,649408 |
78 |
0,978148 |
0,207912 |
4,70463 |
34 |
0,559193 |
0,829038 |
0,674509 |
79 |
0,981627 |
0,190809 |
5,144554 |
35 |
0,573576 |
0,819152 |
0,700208 |
80 |
0,984808 |
0,173648 |
5,671282 |
36 |
0,587785 |
0,809017 |
0,726543 |
81 |
0,987688 |
0,156434 |
6,313752 |
37 |
0,601815 |
0,798636 |
0,753554 |
82 |
0,990268 |
0,139173 |
7,11537 |
38 |
0,615661 |
0,788011 |
0,781286 |
83 |
0,992546 |
0,121869 |
8,144346 |
39 |
0,62932 |
0,777146 |
0,809784 |
84 |
0,994522 |
0,104528 |
9,514364 |
40 |
0,642788 |
0,766044 |
0,8391 |
85 |
0,996195 |
0,087156 |
11,43005 |
41 |
0,656059 |
0,75471 |
0,869287 |
86 |
0,997564 |
0,069756 |
14,30067 |
42 |
0,669131 |
0,743145 |
0,900404 |
87 |
0,99863 |
0,052336 |
19,08114 |
43 |
0,681998 |
0,731354 |
0,932515 |
88 |
0,999391 |
0,034899 |
28,63625 |
44 |
0,694658 |
0,71934 |
0,965689 |
89 |
0,999848 |
0,017452 |
57,28996 |
45 |
0,707107 |
0,707107 |
1 |
90 |
1 |
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gelöste Übungen
Frage 1 - Bestimmen Sie den Wert von x und y im folgenden Dreieck.
Lösung:
Sehen Sie im Dreieck, dass der angegebene Winkel 30° betrug. Wenn wir uns immer noch das Dreieck ansehen, haben wir die Seite, die misst x es ist das gegenüberliegendes Bein im Winkel von 30°, und die Seite, die misst ja es ist das benachbartes Bein in einem Winkel von 30°. Daher müssen wir nach einem trigonometrischen Verhältnis suchen, das das Gesuchte mit dem Gegebenen in Beziehung setzt (Hypotenuse). Bald:
sin 30° = gegenüberliegende Seite
Hypotenuse
cos 30° = benachbarte catet
Hypotenuse
Den Wert von x bestimmt:
sin 30° = gegenüberliegende Seite
Hypotenuse
sin 30° = x
2
Wenn wir uns die Tabelle ansehen, müssen wir:
sin 30° = 1
2
Setzen wir es in die Gleichung ein, erhalten wir:
1 = x
2 2
x = 1
Ebenso betrachten wir
So:
Cos 30° = √3
2
cos 30° = benachbarte catet
Hypotenuse
cos 30° = Ja
2
√3 = Ja
2 2
y = √3
Frage 2 – (PUC-SP) Welchen Wert hat x in der folgenden Abbildung?
Lösung:
Betrachten Sie das größere Dreieck und beachten Sie, dass y dem 30°-Winkel gegenüberliegt und dass 40 die Hypotenuse ist, dh wir können das trigonometrische Sinusverhältnis verwenden.
sin 30° = Ja
40
1 = Ja
2 40
2 Jahre = 40
y = 20
Betrachten Sie nun das kleinere Dreieck und sehen Sie, dass wir den Wert der gegenüberliegenden Seite haben und den Wert von x suchen, der die angrenzende Seite ist. Die trigonometrische Beziehung zwischen diesen beiden Beinen ist die Tangente. So:
tg 60° = 20
x
√3= 20
x
√3 x = 20
x = 20 · √3
√3 √3
x = 20√3
3
von Robson Luis
Mathematiklehrer
Quelle: Brasilien Schule - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/seno-cosseno-tangente-angulos.htm
