Alle existierenden Zahlen wurden zum Zeitpunkt der Erstellung nach menschlichen Bedürfnissen geschaffen, wie es bei den natürlichen Zahlen der Fall ist, die wurden geschaffen, um "Bestände" zu zählen und zu kontrollieren, und irrationale Zahlen, die erstellt wurden, um Probleme in Bezug auf Wurzeln. Es waren genau die Probleme mit Wurzeln, die das Wissen um die komplexe Zahlen.
Die quadratische Gleichung x2 + 4x + 5 = 0 hat keine echten Wurzeln. Dies bedeutet, dass es innerhalb der Menge der reellen Zahlen unmöglich ist, Werte für x zu finden, die dem ersten Term dieser Gleichung dem zweiten entsprechen. Wir beobachten dieses Phänomen am Anfang von Bhaskaras Formel:
Δ = 42 – 4·1·5
Δ = 16 – 20
Δ = – 4
Sobald ein negativer Wert für Δ gefunden wird, wird es unmöglich, mit der Bhaskara-Formel fortzufahren, da sie erfordert, dass √Δ (Wurzel von Delta) berechnet wird. Nun wissen wir, dass √– 4 nicht berechnet werden kann, da es keine reelle Zahl gibt, die mit sich selbst multipliziert – 4 ergibt.
Komplexe Zahlen wurden geschaffen, um diese Anforderungen zu erfüllen. Aus seiner Entstehung lässt sich die √– 4 wie folgt entwickeln:
√– 4 = √(– 1·4) = √(– 1)·22 = 2√(– 1)
Ein √(– 1) wird als neuer Zahlentyp verstanden. Die Menge all dieser Zahlen wird als Menge der komplexen Zahlen bezeichnet, und jeder Vertreter dieser neuen Menge wird wie folgt definiert: Sei A eine komplexe Zahl, dann gilt:
A = Das + BIch wo Dasund B sind reelle Zahlen und i = √(– 1)
In dieser Definition ist Das Es ist bekannt als realer Teil von A und B Es ist bekannt als Imaginärteil von A.
Eigenschaften komplexer Zahlen
Reelle Zahlen stellen in ihrer Gesamtheit und geometrisch eine Linie dar. Komplexe Zahlen wiederum repräsentieren eine ganze Ebene. Die kartesische Ebene, die zur Darstellung der komplexen Zahlen verwendet wird, ist als Argand-Gauss-Ebene bekannt.
Jede komplexe Zahl lässt sich auf der Argand-Gauss-Ebene als Koordinatenpunkt (a, b) darstellen. Der Abstand von dem eine komplexe Zahl darstellenden Punkt zum Punkt (0,0) wird als Modul der komplexen Zahl bezeichnet., die definiert ist:
Sei A = a + bi eine komplexe Zahl, ihr Modul ist |A| = a2 + b2
Komplexe Zahlen haben auch ein inverses Element, das als Konjugierte bezeichnet wird. Es ist definiert als:
Sei A = a + bi eine komplexe Zahl,
Ā = a – bi ist die Konjugierte dieser Zahl.
Ausstattung 1: Das Produkt einer komplexen Zahl und ihrer Konjugierten ist gleich der Summe der Quadrate des Realteils und des Imaginärteils der komplexen Zahl. Mathematisch:
AĀ = a2 + b2
Beispiel: Was ist das Produkt von A = 2 + 5i durch seine Konjugierte?
Machen Sie einfach die Rechnung: a2 + b2 = 22 + 52 = 4 + 25 = 29. Wenn wir uns dafür entscheiden, die Konjugierte von A zu schreiben und danach die Multiplikation AĀ durchzuführen, haben wir:
AĀ = (2 + 5i) (2 - 5i)
AĀ = 4 – 10i + 10i + 25
AĀ = 4 + 25
AĀ = 29
Das heißt, mit der vorgeschlagenen Eigenschaft ist es möglich, eine lange Berechnung sowie Fehler bei diesen Berechnungen zu vermeiden.
Ausstattung 2: Wenn eine komplexe Zahl A gleich ihrer Konjugierten ist, dann ist A eine reelle Zahl.
Sei A = a + bi. Wenn A = Ā, dann:
a + bi = a - bi
bi = - bi
b = - b
Daher ist b = 0
Daher ist es zwingend erforderlich, dass jede komplexe Zahl, die ihrer Konjugierten entspricht, auch eine reelle Zahl ist.
Ausstattung 3: Die Konjugierte der Summe zweier komplexer Zahlen ist gleich der Summe der Konjugierten dieser Zahlen., das ist:
_____ _ _
A + B = A + B
Beispiel: Was ist die Konjugierte der Summe von 7 + 9i und 2 + 4i?
____ ____
7 + 9i + 2 + 4i = 7 – 9i + 2 – 4i = 9 – 13i
Sie können zuerst addieren und dann die Konjugierte des Ergebnisses berechnen, oder zuerst die Konjugate durchführen und dann die Ergebnisse später hinzufügen.
Ausstattung 4: Das Konjugierte des Produkts zweier komplexer Zahlen ist gleich dem Produkt ihrer Konjugierten, d.h.:
__ _ _
AB = A·B
Beispiel: Was ist das Produkt der Konjugate von A = 7i + 10 und B = 4 + 3i?
(10 + 7i)·(4 + 3i) = (10 – 7i)·(4 – 3i) = 40 – 30i – 28i – 21 = 19 – 58i
Je nach Übungsbedarf ist es möglich, zuerst zu multiplizieren und anschließend das Konjugierte zu berechnen oder sich die Konjugierten vor der Multiplikation anzuzeigen.
Ausstattung 5: Das Produkt einer komplexen Zahl A und ihrer Konjugierten ist gleich dem Quadrat des Moduls von A, d.h.:
AĀ = |A|2
Beispiel: A = 2 + 6i, dann AĀ = |A|2 = (√a2 + b2)2 = (√22 + 62)2 = 22 + 62 = 4 + 16 = 20. Beachten Sie, dass es nicht notwendig ist, das Konjugierte zu finden und eine Multiplikation durch die Verteilungseigenschaft der Multiplikation über die Addition durchzuführen (bekannt als kleiner Schauerkopf).
Ausstattung 6: Der Modul einer komplexen Zahl ist gleich dem Modul ihrer Konjugierten. Mit anderen Worten:
|A| = |Ā|
Beispiel: Bestimme den Modul der Konjugierten der komplexen Zahl A = 3 + 4i.
Beachten Sie, dass es nicht notwendig ist, das Konjugierte zu finden, da die Module gleich sind.
|A| = √(a2 + b2)= √(32 + 42) = √(9 + 16) = √25 = 5
Wenn |Ā| berechnet würde, wäre die einzige Änderung a B negatives Quadrat, was ein positives Ergebnis hat. Das Ergebnis wäre also immer noch die Wurzel von 25.
Ausstattung 7: Wenn A und B komplexe Zahlen sind, dann ist das Modulprodukt von A und B gleich dem Modul des Produkts von A und B., d.h.:
|AB| = |A||B|
Beispiel: Seien A = 6 + 8i und B = 4 + 3i, wie viel ist |AB|?
Beachten Sie, dass es nicht notwendig ist, komplexe Zahlen vor der Berechnung des Moduls zu multiplizieren. Es ist möglich, den Modul jeder komplexen Zahl separat zu berechnen und die Ergebnisse dann einfach zu multiplizieren.
|A| = √(62 + 82) = √(36 + 64) = √100 = 10
|B| = √(42 + 32) = √(16 + 9) = √25 = 5
|AB| = |A||B| = 10,5 = 50
Von Luiz Paulo Moreira
Abschluss in Mathematik
Quelle: Brasilien Schule - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/propriedades-envolvendo-numeros-complexos.htm
