Polyeder (aus dem Lateinischen poly – viele – und Polyeder — Gesicht) sind Zahlendreidimensional gebildet durch die Vereinigung regelmäßiger Vielecke, in denen die Polyederwinkel alle kongruent sind. Die Vereinigung dieser Polygone bildet Elemente, aus denen das Polyeder besteht, sie sind: Scheitelpunkte, Kanten und Gesichter. Allerdings ist nicht jede dreidimensionale Figur ein Polyeder, ein Beispiel dafür sind Figuren mit gekrümmten Flächen, genannt runde Körper.
Es gibt eine mathematische Formel, die die Elemente eines Polyeders namens Eulers Beziehung. Darüber hinaus werden Polyeder in zwei Gruppen unterteilt: die sogenannten Polyeder konvex und der nicht konvex. Einige Polyeder verdienen besondere Aufmerksamkeit, sie heißen Platons Polyeder: Tetraeder, Hexaeder, Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder.
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konvexe Polyeder
Ein Polyeder ist konvex, wenn es gebildet wird durch Polygone konvex, damit die folgenden Bedingungen akzeptiert werden:
- zwei der Polygone noch nie sie sind koplanar, das heißt, sie gehören nicht zur selben Ebene.
- Jede Seite eines dieser Polygone gehört nur zu zwei Polygonen.
- Die Ebene, die eines dieser Polygone enthält, lässt die anderen Polygone im gleichen Halbraum.
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Elemente eines konvexen Polyeders
Betrachten Sie dieses konvexe Polyeder:
Sie Vierecke in der Abbildung heißen Gesichter des Polyeders.
Sie Fünfecke sind die Gesichter und die Basis des Polyeders, das heißt fünfeckiges Grundpolyeder.
Die Segmente, die jedes der Gesichter bilden, heißen Kanten des Polyeders.
Die Punkte, an denen sich die Kanten treffen, heißen Scheitelpunkte.
Das Liniensegment JC heißt Diagonale des Polyeders, bezeichnet durch:
JC ist eine der Diagonalen, wir verstehen Diagonale des Polyeders als das Liniensegment, das zwei Scheitelpunkte verbindet, die nicht zur gleichen Fläche gehören.
Wir haben auch den Polyederwinkel, der zwischen den Kanten gebildet wird, bezeichnet durch:
Ein Polyederwinkel heißt a dreiflächig Wann drei Kanten gehen von einem Scheitel aus. Ebenso heißt es tetraedrisch, Fall vier Kanten gehen von einem Scheitelpunkt aus usw.
Von nun an werden wir einige Notationen festlegen, sie sind:
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Eigenschaften eines konvexen Polyeders
Eigenschaft 1
Die Summe der Kanten aller Flächen ist gleich der doppelten Anzahl der Kanten des Polyeders.
Beispiel
Ein Polyeder hat 6 quadratische Flächen. Bestimmen wir die Anzahl der Kanten.
Multiplizieren Sie gemäß der Eigenschaft einfach die Anzahl der Kanten einer Fläche mit der Anzahl der Flächen, und dies ist gleich der doppelten Anzahl der Kanten. So:
Eigenschaft 2
Die Summe der Scheitelpunkte aller Flächen ist gleich der Summe der Kanten aller Flächen, die gleich der doppelten Anzahl der Kanten ist.
Beispiel
Ein Polyeder mit 5 Tetraederwinkeln und 4 Hexaederwinkeln. Bestimmen wir die Anzahl der Kanten.
Analog zum vorherigen Beispiel besagt die zweite Eigenschaft, dass die Summe der Kanten aller Flächen gleich der doppelten Anzahl der Kanten ist. Die Anzahl der Kanten ergibt sich aus dem Produkt von 5 mal 4 und 4 mal 6, da es sich um 5 tetraedrische und 4 hexaedrische Winkel handelt. So:
Konkave (nicht konvexe) Polyeder
Ein Polyeder ist nicht konvex oder konkav, wenn wir zwei Punkte auf verschiedenen Flächen nehmen und die Gerade r das diese Punkte enthält, ist nicht alles im Polyeder enthalten.
Beachten Sie, dass die gerade Linie (in Blau) im Polyeder nicht vollständig ist, sodass das Polyeder (in Rosa) konkav oder nicht konvex ist.
regelmäßige Polyeder
Wir sagen, dass ein Polyeder regelmäßig ist, wenn deine Gesichter sind regelmäßige Polygone gleich und mit polyedrischen Winkeln alle gleich.
Sehen Sie einige Beispiele:
Beachten Sie, dass alle Ihre Gesichter regelmäßige Polygone sind. Seine Flächen werden durch Quadrate gebildet und die Kanten sind alle deckungsgleich, dh sie haben das gleiche Maß.
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Eulers Beziehung
Auch bekannt als Satz von Euler, das Ergebnis wurde von Leonhard Euler (1707 - 1783) bewiesen und garantiert, dass in alle geschlossenen konvexen Polyeder gilt folgende Beziehung:
Platons Polyeder
Jedes Polyeder, das die folgenden Bedingungen erfüllt, wird als Polyeder von Platon bezeichnet:
Die Euler-Beziehung gilt
Alle Flächen haben die gleiche Anzahl von Kanten
Alle Polyederwinkel haben die gleiche Anzahl von Kanten
Es ist bewiesen, dass es nur fünf regelmäßige und konvexe Polyeder oder Platons Polyeder gibt, sie sind:
regelmäßiges Tetraeder
der Tetraeder hat 4 dreieckige Gesichter kongruent und 4 Dreiflächenwinkel kongruent.
regelmäßiges Hexaeder
das Hexaeder hat 6 quadratische Gesichter kongruent und 8 Dreiflächenwinkel kongruent.
regelmäßiges Oktaeder
das Oktaeder hat 8 dreieckige Gesichter kongruent und 6 Tetraederwinkel kongruent.
regelmäßiges Dodekaeder
das Dodekaeder hat 12 fünfeckige Gesichter kongruent und 20 Winkeldreiflächig kongruent.
regelmäßiges Ikosaeder
Das Ikosaeder hat 20 dreieckige Gesichter kongruent und 12 Pentaederwinkel kongruent.
gelöste Übungen
1) (Gegner) Ein Juwel wurde in Form eines konvexen Polyeders mit 32 Flächen geschliffen, von denen 20 Hexaeder und der Rest fünfeckig sind. Dieses Juwel ist ein Geschenk für eine Dame, die ihren Geburtstag feiert und ein Alter vollendet, dessen Anzahl der Anzahl der Scheitelpunkte dieses Polyeders entspricht. Diese Dame absolviert:
a) 90 Jahre
b) 72 Jahre alt
c) 60 Jahre alt
d) 56 Jahre alt
e) 52 Jahre alt
Lösung:
Gibt Eigenschaft 1 konvexer Polyeder wissen wir:
Nun wie wir kennen die Anzahl der Kanten es ist das Anzahl der Gesichter, Wir können die Euler-Beziehung verwenden.
Da das Alter, das Sie abschließen, der Anzahl der Scheitelpunkte entspricht, sind dies 60 Jahre. Alternative c.
2) (PUC-SP) Wie viele Kanten hat ein konvexes Polyeder mit dreieckigen Flächen, bei denen die Anzahl der Ecken drei Fünftel der Anzahl der Flächen beträgt?
a) 60
b) 30
c) 25
d) 20
e) 15
Lösung:
Aus den Eigenschaften eines konvexen Polyeders und der Übungsaussage ergibt sich:
Wenn wir diese Werte in die Euler-Beziehung einsetzen, haben wir Folgendes:
Organisieren Sie die vorherige Gleichung und lösen Sie die Gleichung in F, dann folgt:
Wenn wir den Wert der Anzahl der in der Kantengleichung gefundenen Flächen einsetzen, erhalten wir:
Alternative b
von Robson Luis
Mathematiklehrer
