DAS Faktorisierung von algebraischen Ausdrücken besteht darin, einen algebraischen Ausdruck in zu schreiben Produkt Form. In praktischen Fällen, d. h. bei der Lösung einiger Probleme, die mit algebraische Ausdrücke, Faktorisierung ist äußerst nützlich, da sie in den meisten Situationen den bearbeiteten Ausdruck vereinfacht.
Um die Faktorisierung algebraischer Ausdrücke durchzuführen, verwenden wir ein sehr wichtiges Ergebnis in der Mathematik namens mathematics Grundsatz der Arithmetik, die besagt, dass jede ganze Zahl größer als 1 als Produkt von. geschrieben werden kann Primzahlen, Aussehen:
121 = 11 · 11
60 = 5 · 4 · 3
Wir haben gerade die Zahlen 121 und 60 herausgerechnet.
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Methoden zur Faktorisierung algebraischer Ausdrücke
Jetzt werden wir die wichtigsten Faktorisierungsmethoden sehen, die am häufigsten verwendeten, und wir werden eine kurze geometrische Begründung vornehmen. Aussehen:
Beweisfaktoring
Betrachten Sie das Rechteck:
Notiere dass der
Rechteck blau plus die Fläche des grünen Rechtecks ergibt das größere Rechteck. Schauen wir uns jeden dieser Bereiche an:DASBLAU = b · x
DASGRÜN = b · y
DASGRÖSSER = b · (x + y)
Wir müssen also:
DASGRÖSSER = ABLAU + AGRÜN
b (x + y) = bx + by
Beispiele
Das) Um den Ausdruck zu faktorisieren: 12x + 24y.
Beachten Sie, dass 12 der Beweisfaktor ist, da er in beiden Parzellen vorkommt. Um also die Zahlen innerhalb der Klammern zu bestimmen, reicht es aus Teilen jedes Paket durch den Faktor in Beweis.
12x: 12 = x
24 Jahre: 12 = 2 Jahre
12x + 24y = 12 · (x + 2 Jahre)
B) Um den Ausdruck 21ab zu faktorisieren2 – 702B.
Ebenso wird zunächst der Faktor in Evidenz bestimmt, also der Faktor, der sich in den Parzellen wiederholt. Sehen Sie, dass wir aus dem numerischen Teil die 7 als gemeinsamer Faktor, da er beide Zahlen teilt. Bezüglich des wörtlichen Teils sehen Sie nun, dass nur der Faktor wiederholt wird ab, daher ist der Beweisfaktor: 7ab.
21ab2 – 702b = 7ab (3b - 10Das)
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Factoring nach Gruppierung
Die Faktorisierung durch Gruppierung ist aus Factoring durch Beweise, der einzige Unterschied besteht darin, dass wir anstelle eines Monomiums als gemeinsamen Faktor oder als Beweisfaktor a Polynom, siehe Beispiel:
Betrachten Sie den Ausdruck (a + b) · xy + (a + b) · wz2
Beachten Sie, dass der gemeinsame Faktor das Binomial ist (a + b),Daher lautet die faktorisierte Form des vorherigen Ausdrucks:
(a + b) · (xy + wz2)
Unterschied zwischen zwei Quadraten
Betrachten Sie zwei Zahlen a und b, wenn wir a Unterschied des Quadrats dieser Zahlen, d. h. die2 - B2, damit wir sie schreiben können als Produkt der Summe für die Differenz, d.h.:
Das2 - B2 = (a + b) · (a - b)
Beispiele
Das) Um den Ausdruck x. zu faktorisieren2 - ja2.
Wir können die Differenz zwischen zwei Quadraten verwenden, also:
x2 - ja2 = (x + y) · (x - y)
B) Zum Faktor 20202 – 2.0192.
Wir können die Differenz zwischen zwei Quadraten verwenden, also:
2.0202 – 2.0192 = (2.020 + 2.019) · (2.020 – 2.019)
2.0202 – 2.0192 = 4.039 · 1
2.0202 – 2.0192 = 4.039
Trinom des perfekten Quadrats
Nehmen Sie das nächste Quadrat von der Seite (a + b) und notieren Sie die Flächen der darin gebildeten Quadrate und Rechtecke.
Sehen Sie den Bereich von Quadrat größer ist gegeben durch (a + b)2, aber andererseits kann die Fläche des größten Quadrats erhalten werden, indem die darin enthaltenen Quadrate und Rechtecke wie folgt addiert werden:
(a + b)2 = die2+ ab + ab + b2
(a + b)2 = die2+ 2b + b2
(a + b)2 = die2 + 2ab + b2
Ebenso müssen wir:
(a-b)2 = die2 – 2ab + b2
Beispiel
Betrachten Sie den Ausdruck x2 + 12x + 36.
Um einen solchen Ausdruck zu faktorisieren, identifizieren Sie einfach den Koeffizienten der Variablen x und den unabhängigen Koeffizienten und vergleichen Sie mit der angegebenen Formel, siehe:
x2 + 12x + 36
Das2 + 2ab + b2
Machen Sie die Vergleiche und sehen Sie, dass x = a, 2b = 12 und b2 = 36; der Gleichheiten gilt b = 6, der faktorisierte Ausdruck lautet also:
x2 + 12x + 36 = (x + 6)2
High School Trinomial
Betrachten Sie das Axttrinom2 + bx + c. Seine faktorisierte Form kann gefunden werden mit deine Wurzeln, d. h. die Werte von x, die diesen Ausdruck auf Null setzen. Um die Werte zu bestimmen, die diesen Ausdruck zu Null machen, lösen Sie einfach die Gleichung ax2 + bx + c = 0 mit jeder geeigneten Methode. Hier stellen wir die bekannteste Methode vor: Bhaskara-Methode.
Die faktorisierte Form des Axtrinoms2 + bx + c ist:
Axt2 + bx + c = a · (x – x1) · (x - x2)
Beispiel
Betrachten Sie den Ausdruck x2 + x – 20.
Der erste Schritt besteht darin, die Wurzeln der x-Gleichung zu bestimmen.2 + x – 20 = 0.
Die faktorisierte Form des Ausdrucks x2 + x – 20 ist:
(x – 4) · (x + 5)
Würfel der Differenz zweier Zahlen
Die Kubik der Differenz zweier Zahlen a und b ist gegeben durch:
(a-b)3 = (a – b) · (a-b)2
(a-b)3 = (a – b) · (a2 – 2ab + b2)
Würfel der Summe zweier Zahlen
In ähnlicher Weise haben wir (a + b)3 = (a + b) · (a + b)2 , bald:
(a + b)3 = (a + b) · (a2 + 2ab + b2)
gelöste Übungen
Frage 1 – (Cefet-MG) Wobei die Zahl n = 6842 – 6832, die Summe der Ziffern von n ist:
a) 14
b) 15
c) 16
d) 17
e) 18
Auflösung
Alternative d. Um die Summe der Ziffern von n zu bestimmen, faktorisieren wir zuerst den Ausdruck, da das Berechnen der Quadrate und das anschließende Subtrahieren unnötige Arbeit sind. Wenn wir den Ausdruck mit der Differenz zwischen zwei Quadraten faktorisieren, erhalten wir:
n = 6842 – 6832
n = (684 + 683) · (684 - 683)
n = 1.367 · 1
n = 1.367
Daher ist die Summe der Ziffern von n gegeben durch 1 + 3 + 6 + 7 = 17
Frage 2 - (Modifiziertes Insper-SP) Bestimmen Sie den Wert des Ausdrucks:
Auflösung
Um die Notation zu erleichtern, nennen wir a = 2009 und b = 2. Denken Sie daran, dass 22 = 4, also müssen wir:
Beachten Sie, dass wir im Zähler des Bruchs die Differenz zwischen zwei Quadraten haben, also können wir schreiben write2 - B2 = (a + b) (a – b). Bald:
a – b = 2009 – 2 = 2007.
von Robson Luis
Mathematiklehrer
Quelle: Brasilien Schule - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/fatoracao-expressao-algebrica.htm
