Determinanten: Berechnung, Eigenschaften, Beispiele

Ö bestimmend von a Hauptquartier hat derzeit mehrere Anwendungen. Wir verwenden die Determinante, um zu überprüfen, ob drei Punkte in der kartesischen Ebene ausgerichtet sind, zu Berechnen von Flächen von Dreiecken, zum Lösen von linearen Systemen, unter anderem in Mathematik. Das Studium der Determinanten nicht auf Mathe beschränkt, gibt es einige Anwendungen in der Physik, wie zum Beispiel das Studium elektrischer Felder.

Wir berechnen nur Determinanten quadratischer Matrizen, also Matrizen, bei denen die Anzahl der Spalten und die Anzahl der Zeilen gleich sind. Um die Determinante einer Matrix zu berechnen, müssen wir ihre Ordnung analysieren, d.h. wenn sie 1x1 ist. 2x2, 3x3 usw. Je höher Ihre Bestellung, desto schwieriger wird es, die zu finden bestimmend. Es gibt jedoch wichtige Methoden zur Durchführung der Übung, wie z Sarrus' Regel, verwendet, um Determinanten von 3x3-Matrizen zu berechnen.

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Berechnung der Determinante einer Matrix der Ordnung 2.

Matrixdeterminante der Ordnung 1

Ein Array wird als Ordnung 1 bezeichnet, wenn es genau eine Zeile und eine Spalte. In diesem Fall hat die Matrix ein einzelnes Element, die a₁₁. In diesem Fall stimmt die Matrixdeterminante mit ihrem einzigen Term überein.

A = (a₁₁)

det(A) = | Das₁₁ | = die₁₁

Beispiel:

A = [2]

det(A) = |2| = 2

Um Determinanten von Matrizen 1. Ordnung zu berechnen, muss man nur ihr einzelnes Element kennen.

Determinanten der Ordnung 2 Matrizen

Die quadratische 2x2-Matrix, auch Matrix der Ordnung 2 genannt, hat vier ElementeUm die Determinante zu berechnen, muss man in diesem Fall wissen, was die Hauptdiagonale und der sekundäre Diagonale.

Um die Determinante einer Matrix 2. Ordnung zu berechnen, berechnen wir dieUnterschied Geben Sie das Produkt der Terme von ein Hauptdiagonale und die Bedingungen von Sekundärdiagonale. Unter Verwendung des von uns erstellten algebraischen Beispiels lautet det (A):

Beispiel:

Matrixdeterminante der Ordnung 3

Die Matrix dritter Ordnung ist mühsamer Um die Determinante zu erhalten als die vorherigen, wird diese Arbeit umso schwieriger, je höher die Ordnung einer Matrix ist. Darin ist notwendig benutze das, was wir kennen Sarrus' Regel.

• Sarrus' Regel

Die Sarrus-Regel ist eine Methode zur Berechnung von Determinanten von Matrizen der Ordnung 3. Es ist notwendig, ein paar Schritte zu befolgen, da Sie der Erste sind Duplizieren Sie die ersten beiden Spalten am Ende der Matrix, wie im folgenden Beispiel gezeigt.

Lass uns jetzt gehen multipliziere die Terme jeder der drei Diagonalen die in die gleiche Richtung wie die Hauptdiagonale verlaufen.

Wir werden einen ähnlichen Vorgang mit der sekundären Diagonale und den anderen beiden Diagonalen, die in die gleiche Richtung weisen, durchführen.

beachten Sie, dass die Terme der Nebendiagonale werden immer vom Minuszeichen begleitet., das heißt, wir ändern immer das Vorzeichen des Ergebnisses der Multiplikation der Terme der sekundären Diagonale.

Beispiel:

Auch sehen: Satz von Binet – praktischer Prozess zur Matrixmultiplikation

Determinante Eigenschaften

• 1. Eigenschaft

Wenn eine der Zeilen der Matrix gleich 0 ist, ist ihre Determinante gleich 0.

Beispiel:

• 2. Eigenschaft

Seien A und B zwei Matrizen, det (A·B) = det (A) · det (B).

Beispiel:

Bei der Berechnung der einzelnen Determinanten müssen wir:

det (A) = 2 · (-6) – 5 · 3
det (A) = -12 – 15 = -27

det (B) = 4 · 1 – 2 · (-2)
det (B) = 4 + 4 = +8

Also det (A) · det (B) = -27 · 8 = -216

Berechnen wir nun det (A·B)

• 3. Eigenschaft

Sei A eine Matrix und A’ eine neue Matrix, die durch Vertauschen der Zeilen der Matrix A konstruiert wird, dann det (A’) = -det (A), oder das heißt, wenn die Position der Zeilen einer Matrix umgekehrt wird, hat ihre Determinante den gleichen Wert, aber mit einem Vorzeichen getauscht.

Beispiel:

• 4. Eigenschaft

gleiche Linien oder proportional mache die Matrixdeterminante gleich 0.

Beispiel:

Beachten Sie, dass in Matrix A die Terme in Zeile zwei doppelt so groß sind wie die Terme in Zeile eins.

Auch zugreifen:Anwendung von Matrizen bei Aufnahmeprüfungen

Übungen gelöst

Frage 1 - (Vunesp) Bestimmen Sie den Wert von det (A·B) unter Berücksichtigung der Matrizen A und B:

bis 1

b) 6

c) 10

d) 12

e) 14

Auflösung

Alternative E

Wir wissen, dass det (A·B) = det (A) · det (B):

det (A) = 1· 4 – 2 · 3 = 4 – 6 = -2
det (B) = -1 · 1 – 3 · 2 = -1 – 6 = -7

Also müssen wir:
det (A·B) = det (A) · det (B)
det (A·B) = -2 (-7) = 14

Frage 2 - Welchen Wert muss x bei gegebener Matrix A haben, damit det(A) gleich 0 ist?

a) 1/2

b) 1/3

c) 1/9

d) 3
e) 9

Auflösung

Alternative B

Um die Determinante von A zu berechnen, müssen wir:

Von Raul Rodrigues de Oliveira
Mathematiklehrer

Quelle: Brasilien Schule - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/determinantes-1.htm