Ö Venn-Diagramm, auch als Venn-Euler-Diagramm bekannt, ist a Möglichkeit, eine Menge grafisch darzustellen, dazu verwenden wir eine geschlossene Gerade, die keinen Selbstschnitt hat, und wir stellen die Elemente der Menge innerhalb dieser Geraden dar. Die Idee des Diagramms ist es, das Verständnis in der zu erleichtern Grundlegende Operationen, wie: Inklusions- und Zugehörigkeitsbeziehung, Vereinigung und Schnittmenge, Differenz und Komplementärmenge.
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Venn-Diagrammdarstellungen
Wie gezeigt, besteht das Venn-Diagramm aus einer geschlossenen (nicht ineinander verschlungenen) Geraden, auf der wir die Elemente der fraglichen Menge „platzieren“, damit wir we repräsentieren einen oder mehrere Sätze gleichzeitig. Siehe die Beispiele:
• Einzelset
Wir können Sie vertreten mit eine einzelne geschlossene Linie, stellen wir zum Beispiel die Menge A = {1, 3, 5, 7, 9} dar:
• Zwischen zwei Sätzen
Wir müssen zwei Graphen wie den für die Darstellung der einzelnen Menge erstellen. Aus Operationen mit Mengen wissen wir jedoch Folgendes: Wenn zwei Mengen gegeben sind, können sie sich überschneiden oder nicht. Wenn sich die beiden Mengen nicht schneiden, werden sie benannt
disjunkte Mengen.Beispiel 1
Zeichnen Sie mithilfe des Venn-Diagramms die Mengen A = {a, b, c, d, e, f} und B = {d, ef, g, h, i}.
Beachten Sie, dass der Schnittpunkt der Teil des Diagramms ist, der zu den beiden Mengen gehört, genau wie in der Definition.
A ∩ B = {d, e, f}
Beispiel 2
Zeichnen Sie die Mengen C = {a, b, c, d} und D = {e, f, g, h}.
Beachten Sie, dass die Schnittmenge dieser Mengen leer ist, da sie kein Element hat, das gleichzeitig zu beiden gehört, d. h.:
C ∩ D = { }
• Zwischen drei Sätzen
Die Idee hinter der Darstellung mit dem Venn-Diagramm für drei Mengen ist ähnlich der Darstellung zwischen zwei Mengen. In diesem Sinne können Mengen einzeln disjunkt sein, dh sie haben keinen Schnittpunkt; oder sie können zwei-mal-zwei disjunkt sein, dh nur zwei von ihnen schneiden sich; oder alle überschneiden sich.
Beispiel
Darstellung mit dem Venn-Diagramm der Mengen A = {a, b, c, d}, B = {d, e, f, g} und C = {d, e, c, h}.
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Mitgliedschaftsverhältnis
Die Zugehörigkeitsbeziehung ermöglicht es uns zu sagen, ob ein Element zu einer bestimmten Menge gehört oder nicht. Dazu verwenden wir die Symbole:
Betrachten Sie die Menge A = {a, b, c, d}. Bei der Analyse stellen wir fest, dass G, zum Beispiel, gehört ihm nicht, also haben wir im Venn-Diagramm:
Inklusionsbeziehung
Die Inklusionsbeziehung lässt uns sagen ob eine Menge in einer anderen Menge enthalten ist oder nicht. Wenn eine Menge in einer anderen enthalten ist, sagen wir, sie sei a Teilmenge. Dazu verwenden wir die Symbole:
Ein Beispiel dafür ist die Beziehung zwischen der Menge von natürliche Zahlen und Satz von ganze Zahlen. Wir wissen, dass die Menge der natürlichen Zahlen eine Teilmenge der Menge der ganzen Zahlen ist, d.h. die Menge der natürlichen Zahlen ist in der Menge der ganzen Zahlen enthalten.
Operationen zwischen Sätzen
Die grundlegenden Operationen zwischen zwei oder mehr Sätzen sind: Einheit, Überschneidung und Unterschied zwischen zwei Sätzen.
• Gewerkschaft
Die Vereinigung zweier Mengen wird durch das Verbinden der in jeder Menge enthaltenen Elemente gebildet, mit anderen Worten: Es werden alle Elemente der beiden Mengen berücksichtigt. Aussehen:
Betrachten Sie die Mengen A = {1, 2, 3, 4} und B = {3, 4, 5, 6, 7}. Die Vereinigung zwischen ihnen ist gegeben durch:
AUB = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Im Venn-Diagramm haben wir den Vereinigungsteil schattiert, dh beide Mengen, überprüfen Sie:
• Kreuzung
Der Schnittpunkt ist eine neue numerische Menge, die von Elementen gebildet wird, die gleichzeitig zu anderen Mengen gehören. Im Allgemeinen wird der Schnittpunkt zwischen den Mengen im Venn-Diagramm durch den gemeinsamen Teil der beteiligten Grafiken gegeben. Aussehen:
Betrachtet man wieder die Mengen A = {1, 2, 3, 4} und B = {3, 4, 5, 6, 7}, so gilt, dass die Elemente, die gleichzeitig zur Menge A und zur Menge B gehören, :
A B = {3,4}
• Unterschied zwischen zwei Sätzen
Betrachten Sie zwei Mengen C und D, die Differenz zwischen ihnen (C – D) ist eine neue Menge, die aus Elementen besteht, die zu C gehören und nicht zu D gehören. Allgemein können wir diesen Unterschied anhand des Venn-Diagramms wie folgt darstellen:
gelöste Übungen
Frage 1 – (Ufal) In der folgenden Abbildung sind die nicht disjunkten Mengen A, B und C dargestellt. Der farbige Bereich stellt die Menge dar:
a) C – (A B)
b) (A B) – C
c) (A U B) - C
d) A U B U C
e) A ∩ B ∩ C
Lösung
Alternative b.
Wenn wir uns an die Operationen mit Mengen erinnern, wissen wir, dass der Schnittpunkt zwischen zwei Mengen im Venn-Diagramm durch den ihnen gemeinsamen Teil gegeben ist. Betrachtet man die Mengen A, B und C und färbt den Mengenschnittpunkt A ∩ B ein, so gilt:
Titel: Lösungsfrage1 - Teil 1
Beachten Sie, dass wir, wenn wir die Elemente aus der Menge C entfernen, den von der Übung angeforderten farbigen Teil erhalten, d. h. wir müssen zunächst den Schnittpunkt markieren und dann die Elemente aus C entfernen.
(A ∩ B) – C
Frage 2 – (Uerj) Kinder einer Schule nahmen an einer Impfkampagne gegen Kinderlähmung und Masern teil. Nach der Kampagne wurde festgestellt, dass 80 % der Kinder die Lähmungsimpfung, 90 % die Masernimpfung und 5 % keines von beiden erhielten.
Bestimmen Sie den Prozentsatz der Kinder an dieser Schule, die beide Impfstoffe erhalten haben.
Lösung
Da der Prozentsatz der Kinder, die beide Impfstoffe erhalten haben, nicht bekannt ist, nennen wir ihn zunächst x. Denken Sie daran, dass wir nicht mit dem %-Symbol arbeiten dürfen, sondern die Übungsprozentsätze in ihrer Dezimal- oder Bruchform schreiben.
80 % → 0,8
90% → 0,9
5% → 0,05
100% → 1
Um die Gesamtzahl der Kinder zu ermitteln, die nur den Lähmungsimpfstoff einnahmen, haben wir den verifizierten Prozentsatz (80%) abgezogen. des Prozentsatzes derer, die beide einnahmen (x), und dasselbe sollte für Kinder erfolgen, die nur den Impfstoff gegen die Masern. So:
Zusammen mit allen Kindern beträgt der Prozentsatz 100 %, daher:
0,9 - x + x + 0,8 - x + 0,05 = 1
1,75 - x = 1
– x = 1 – 1,75
(–1) · – x = – 0,75 · (–1)
x = 0,75
x = 75%
Daher hatten 75 % der Kinder in der Schule beide Impfstoffe.
Von L.do Robson Luiz
Mathematiklehrer
Quelle: Brasilien Schule - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/diagrama-de-venn.htm