der trigonometrische Kreis ist ein Kreis mit Radius 1 im Kartesische Ebene. Darin ist die horizontale Achse die Kosinusachse und die vertikale Achse die Sinusachse. Es kann auch als trigonometrischer Zyklus bezeichnet werden.
Es wird verwendet, um die Untersuchung trigonometrischer Verhältnisse durchzuführen. Damit ist es möglich, die wichtigsten trigonometrischen Gründe für besser zu verstehen Winkel größer als 180º, nämlich: Sinus, Kosinus und Tangens.
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Schritt für Schritt zum Bau des trigonometrischen Kreises
Um den trigonometrischen Kreis zu konstruieren, wir verwenden zwei achsen, eine vertikale und eine horizontale, wie eine kartesische Ebene. Die horizontale Achse ist bekannt als Kosinusachse, und die vertikale Achse ist bekannt als Sinusachse.
Zeichnen wir mit der Konstruktion der Achsen den Graphen eines Kreises mit Radius 1.
Trigonometrische Verhältnisse im Kreis
Wir verwenden den Kreis, um den Wert von zu finden Sinus, Cosinus und Tangens, entsprechend dem Winkelwert. in haben vertikale Achse der Sinuswert und auf der horizontalen Achse der Kosinuswert, durch Bestimmung eines Winkels auf dem trigonometrischen Kreis ist es möglich, den Wert von Sinus und Cosinus durch Analyse der Koordinaten des Punktes, an dem das Liniensegment den Mittelpunkt des Kreises und den Umfang verbindet, dargestellt durch P im Bild a Folgen. Wenn wir im Punkt (1.0) die Tangente an den Kreis ziehen, können wir auch die Tangente dieses Winkels analytisch nach dem Bild berechnen:
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Trigonometrischer Kreis im Bogenmaß
Wir wissen, dass ein Bogen mit zwei verschiedenen Maßeinheiten gemessen werden kann: das Maß in Grad und das Maß in Bogenmaß. Wir wissen das der Umfang beträgt 360º und dass die Länge Ihres Bogens 2π beträgt:
Quadranten des trigonometrischen Kreises
Ob im Bogenmaß oder in Grad, es ist möglich, den Quadranten zu definieren, in dem sich ein bestimmter Bogen entsprechend seiner Messung befindet.
Um den Zyklus zu analysieren, müssen wir:
erster Quadrant: Winkel, die zwischen 0 und 90° oder 0 und π/2 im Bogenmaß liegen;
zweiter Quadrant: Winkel, die zwischen 90° und 180° oder π/2 und Radiant liegen;
dritter Quadrant: Winkel zwischen 180º und 270º oder π und 3 π/2 im Bogenmaß;
vierter Quadrant: Winkel, die zwischen 270° und 360° oder 3π/2 und 2π Radiant liegen.
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Bemerkenswerte Winkel im trigonometrischen Kreis
Zu Beginn des Studiums von Trigonometrie, haben wir gelernt, dass die bemerkenswerten Winkel die Winkel von 30º, 45º und 60º sind, die den Wert des bekannten Sinus, Cosinus und Tangens haben. Aufgrund der Symmetrie des trigonometrischen Zyklus es ist möglich, die Sinus- und Cosinuswerte für diese Winkel und die symmetrischen Winkel zu finden ihm in jedem der Quadranten.
Trigonometrische Kreiszeichen
Um zu verstehen, was das Vorzeichen jedes der trigonometrischen Verhältnisse im Zyklus ist, reicht es aus, die Achsenwerte in der kartesischen Ebene zu analysieren.
Beginnen wir mit dem Kosinus. Da es sich um die horizontale Achse handelt, ist der Kosinus von Winkeln, die rechts von der vertikalen Achse eingeschlossen sind, positiv, und der Kosinus von Winkeln, die links von der vertikalen Achse eingeschlossen sind, ist negativ.
Um das Sinuszeichen eines Winkels zu verstehen, denken Sie einfach daran, dass die vertikale Achse die Sinusachse ist, also ist der Sinus eines Winkels, der über der horizontalen Achse liegt, positiv; aber wenn der Winkel unterhalb der horizontalen Achse liegt, ist der Sinus dieses Winkels negativ, wie in der folgenden Abbildung gezeigt:
Wir wissen das der Tangens ist das Verhältnis zwischen Sinus und Cosinus, um das Vorzeichen der Tangente für jeden der Quadranten zu finden, spielen wir das Vorzeichenspiel, das den Tangens in den ungeraden Quadranten positiv und in den geraden Quadranten negativ macht:
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Symmetrie im Kreis
Analyse des trigonometrischen Zyklus, es ist möglich, einen Weg zu konstruieren, um Sinus, Cosinus und Tangens an den ersten Quadranten zu reduzieren. Diese Reduktion bedeutet, im ersten Quadranten einen Winkel zu finden, der symmetrisch zu einem Winkel der anderen Quadranten ist, denn wenn wir mit einem symmetrischen Winkel arbeiten, ist der Wert der trigonometrischen Verhältnisse gleich und ändert sich nur seine Signal.
Reduzierung eines Winkels, der im 2. Quadranten liegt, auf den 1. Quadranten
Beginnend mit den Winkeln, die im 2. Quadranten liegen, müssen wir:
Wie wir wissen, ist der Sinus im 1. und 2. Quadranten positiv. Um also die Sinusreduktion vom 2. Quadranten zum 1. Quadranten zu berechnen, verwenden wir die Formel:
Sünde x= Sünde (180º - x)
Kosinus und Tangens im 2. Quadranten sind negativ. Um den Kosinus vom 2. Quadranten auf den 1. Quadranten zu reduzieren, verwenden wir die Formel:
cosx = – cos (180º – x)
tg x = – tg (180º – x)
Beispiel:
Welchen Wert haben Sinus und Cosinus bei einem Winkel von 120°?
Der 120°-Winkel ist ein zweiter Quadrantenwinkel, da er zwischen 90° und 180° liegt. Um diesen Winkel auf den 1. Quadranten zu reduzieren, berechnen wir:
sin 120° = sin (180° – 120°)
Sünde 120º = Sünde 60º
Der 60°-Winkel ist ein bemerkenswerter Winkel, daher ist sein Sinuswert bekannt, also:
Lassen Sie uns nun Ihren Kosinus berechnen:
cos 120º = – cos (180 – 120)
cos 120º = - cos 60º
Da wir den Kosinus von 60º kennen, müssen wir:
Reduzierung eines Winkels, der im 3. Quadranten liegt, auf den 1. Quadranten
Wie im 2. Quadranten besteht Symmetrie zwischen Winkeln im 3. Quadranten und Winkeln im 1. Quadranten.
Sinus und Kosinus im dritten Quadranten sind negativ. Um also Sinus und Cosinus vom 3. Quadranten auf den 1. Quadranten zu reduzieren, verwenden wir die Formel:
sin x = – sin (x – 180º)
cosx = – cos (x – 180º)
Die Tangente im 3. Quadranten ist positiv. Um es zu reduzieren, verwenden wir die Formel:
tg x = tg (x – 180º)
Beispiel:
Berechnen Sie Sinus, Kosinus und Tangens von 225º.
Sünde 225º = – Sünde (225º – 180º)
Sünde 225º = – Sünde 45º
Da 45º ein bemerkenswerter Winkel ist, müssen wir beim Betrachten der Tabelle:
Wenn wir nun den Kosinus berechnen, müssen wir:
tg 225º = tg (225º - 180º)
tg 225º = tg 45º
Wir wissen, dass tg45º = 1 ist, also:
tg 225º = 1
Reduzierung eines Winkels, der im 4. Quadranten liegt, auf den 1. Quadranten
Mit der gleichen Begründung wie bei den vorherigen Reduktionen besteht eine Symmetrie zwischen dem 4. und 1. Quadranten:
Die Sinus- und Tangenswerte im 4. Quadranten sind negativ. Um die Reduktion vom 4. auf den 1. Quadranten vorzunehmen, verwenden wir die Formel:
sin x = – sin (360º – x)
tg x = – tg (360º – x)
Der Kosinus im 4. Quadranten ist positiv. Um auf den 1. Quadranten zu reduzieren, lautet die Formel:
cos x = cos (360º - x)
Beispiel:
Berechnen Sie den Wert von Sinus und Cosinus von 330º.
Beginnend mit dem Sinus:
Berechnen Sie nun den Kosinus:
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Trigonometrischer Kreis gelöste Übungen
Frage 1 - Während der Untersuchung des Kreismoments analysierte ein Physiker ein Objekt, das sich um sich selbst drehte und einen Winkel von 15.240º bildete. Bei der Analyse dieses Winkels ist der von ihm gebildete Bogen in:
A) Quadrant I.
B) Quadrant II.
C) Quadrant III.
D) Quadrant IV.
E) oben auf einer der Achsen.
Auflösung
Alternative B.
Wir wissen, dass dieses Objekt alle 360° einen Kreis um sich selbst geschlossen hat. Bei der Durchführung der Einteilung von 15.240 x 360, finden wir heraus, wie viele vollständige Drehungen dieses Objekt um sich selbst gemacht hat, aber unser Hauptinteresse gilt dem Rest, der den Winkel darstellt, in dem es aufgehört hat.
15.240: 360 = 42,333…
Das Ergebnis zeigt, dass er 42 Umdrehungen um sich selbst gemacht hat, aber 360 · 42 = 15.120, also hat er einen Winkel von:
15.240 – 15.120 = 120º
Wir wissen, dass 120° ein zweiter Winkel des Quadranten ist.
Frage 2 - Bitte beurteilen Sie folgende Aussagen:
I → Bei der Berechnung von tg 140º ist der Wert negativ.
II → Der 200°-Winkel ist ein Winkel des 2. Quadranten.
III → Sen 130º = sin 50º.
Markieren Sie die richtige Alternative:
A) Nur ich bin falsch.
B) Nur II ist falsch.
C) Nur III ist falsch.
D) Alle sind wahr.
Auflösung
Alternative B.
I → Richtig, da der 140°-Winkel zum 2. Quadranten gehört, in dem die Tangente immer negativ ist.
II → Falsch, da der 200°-Winkel ein Winkel des 3. Quadranten ist.
III → Richtig, denn um einen Winkel vom 2. zum 1. Quadranten zu reduzieren, berechnen Sie einfach die Differenz von 180° – x, dann:
sin 130° = sin (180° – 130°)
Sünde 130. = Sünde 50.
Von Raul Rodrigues de Oliveira
Mathematiklehrer
Quelle: Brasilien Schule - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/simetria-no-circulo-trigonometrico.htm
