Inverse Matrix: Was ist das, wie findet man Übungen?

Das Konzept von inverse Matrix kommt dem Konzept der Umkehrung einer Zahl sehr nahe. Denken wir daran, dass die Umkehrung einer Zahl Nein ist die Zahl Nein^-1, wobei das Produkt zwischen den beiden gleich dem neutralen Element der Multiplikation, also die Nummer 1. Bereits die Inverse der Matrix M ist die Matrix M^-1, wobei das Produkt M · M^-1 ist gleich der Identitätsmatrix I_Nein, was nichts anderes ist als das neutrale Element der Matrixmultiplikation.

Damit die Matrix eine Inverse hat, muss sie quadratisch sein und außerdem muss ihre Determinante von Null verschieden sein, sonst gibt es keine Inverse. Um die inverse Matrix zu finden, verwenden wir die Matrixgleichung.

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Damit eine Matrix eine Inverse hat, muss sie quadratisch sein.

Identitätsmatrix

Um zu verstehen, was die inverse Matrix ist, ist es zunächst notwendig, die Identitätsmatrix zu kennen. Als Identitätsmatrix kennen wir die quadratische Matrix I_Nein wobei alle Elemente der Hauptdiagonalen gleich 1 sind und die anderen Terme gleich 0 sind.

DAS Identitätsmatrix ist das neutrale Element der Multiplikation zwischen Matrizen., das heißt gegeben a Hauptquartier M der Ordnung n, das Produkt zwischen Matrix M und Matrix I_Nein ist gleich Matrix M.

M · ich_Nein = M

So berechnen Sie die inverse Matrix

Um die inverse Matrix von M zu finden, muss eine Matrixgleichung gelöst werden:

 M · M^-1 = ich_Nein

Beispiel

Finden Sie die inverse Matrix von M.

Da wir die inverse Matrix nicht kennen, stellen wir diese Matrix algebraisch dar:

Wir wissen, dass das Produkt zwischen diesen Matrizen gleich I. sein muss₂:

Lösen wir nun die Matrixgleichung:

Es ist möglich, das Problem in zwei Teile zu trennen Systeme von Gleichungen. Die erste verwendet die erste Spalte der Matrix M ·M^-1 und die erste Spalte der Identitätsmatrix. Wir müssen also:

Um das System zu lösen, isolieren wir die₂₁ in Gleichung II und ersetzen in Gleichung I.

Einsetzen in Gleichung I müssen wir:

Wie finden wir den Wert von a₁₁, dann finden wir den Wert von a₂₁:

Den Wert von a. kennen₂₁ und der₁₁, jetzt finden wir den Wert der anderen Terme, indem wir das zweite System aufstellen:

das isolieren₂₂ in Gleichung III müssen wir:

3.₁₂ + 1.₂₂ = 0

Das₂₂ = – 3.₁₂

Einsetzen in Gleichung IV:

5.₁₂ + 2.₂₂ =1

5.₁₂ + 2·( - 3.₁₂) = 1

5.₁₂ – 6.₁₂ = 1

- ein₁₂ = 1 ( – 1)

Das₁₂ = – 1

Den Wert von a. kennen₁₂, finden wir den Wert von a₂₂ :

Das₂₂ = – 3.₁₂

Das₂₂ = – 3 · ( – 1)

Das₂₂ = 3

Da wir nun alle Terme der Matrix M. kennen^-1, ist es möglich, es darzustellen:

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Eigenschaften der inversen Matrix

Es gibt Eigenschaften, die sich aus der Definition einer inversen Matrix ergeben.

• 1. Eigenschaft: die Inverse der Matrix M^-1 ist gleich Matrix M. Die Inverse einer inversen Matrix ist immer die Matrix selbst, also (M^-1)^-1 = M, weil wir wissen, dass M^-1 · M = I_Nein, also M^-1 ist die Umkehrung von M und auch M ist die Umkehrung von M^-1.
• 2. Eigenschaft: die Inverse einer Identitätsmatrix ist selbst: I^-1 = I, denn das Produkt der Identitätsmatrix allein ergibt die Identitätsmatrix, also I_Nein · ICH_Nein = ich_Nein.
• 3. Eigenschaft: die Umkehrung von Produkt von zwei Matrixbist du ist gleich dem Produkt der Umkehrungen:

(M×H)^-1 = M^-1 · EIN^-1.

• 4. Eigenschaft: eine quadratische Matrix ist genau dann invers, wenn sie bestimmend ist von 0 verschieden, d. h. det(M) 0.

gelöste Übungen

1) Gegeben Matrix A und Matrix B, wissend, dass sie invers sind, dann ist der Wert von x+y:

a) 2.

b) 1.

c) 0.

d) -1.

e) -2.

Auflösung:

Alternative d.

Aufbau der Gleichung:

A · B = I 

In der zweiten Spalte, die den Begriffen entspricht, müssen wir:

3x + 5y = 0 → (I)

2x + 4y = 1 → (II)

x in I isolieren:

Ersetzen in Gleichung II, wir müssen:

Wenn wir den Wert von y kennen, finden wir den Wert von x:

Jetzt berechnen wir x + y:

Frage 2

Eine Matrix hat nur dann eine Inverse, wenn ihre Determinante von 0 verschieden ist. Wenn man sich die Matrix unten ansieht, was sind x-Werte, die dazu führen, dass die Matrix keine Inverse unterstützt?

a) 0 und 1.

b) 1 und 2.

c) 2 und – 1.

d) 3 und 0.

e) – 3 und – 2.

Auflösung:

Alternative b.

Wenn wir die Determinante von A berechnen, wollen wir Werte mit det(A) = 0.

det (A) = x ·(x – 3) – 1 · ( – 2)

det (A) = x² - 3x + 2

det (A) = x² - 3x + 2 = 0

das lösen Gleichung 2. Grades, Wir müssen:

• a = 1
• b = – 3
• c = 2

= b² - 4ac

Δ = (– 3) ² – 4·1·2

Δ= 9 – 8

Δ = 1

Von Raul Rodrigues de Oliveira
Mathematiklehrer

Quelle: Brasilien Schule - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-inversa.htm