Summe der Terme einer arithmetischen Progression

Einer arithmetische Progression (PA) ist a Reihenfolge numerisch, wobei jeder Term die Summe des vorherigen durch eine Konstante ist, die als Verhältnis bezeichnet wird. Sie existieren mathematische Ausdrücke um den Term eines PA zu bestimmen und die Summe seiner zu berechnen Nein erste Begriffe.

Die Formel zur Berechnung des Summe der Begriffe einer endlichen PA oder die Summe der Nein Die ersten Terme einer PA lauten wie folgt:

so_Nein = beim₁ + die_Nein)
2

*n ist die Anzahl der BP-Terme; Das₁ ist der erste Term, und der_Nein ist der letzte.

Herkunft der Summe der Bedingungen des PA

Der deutsche Mathematiker Carl Friederich Gauß soll im Alter von etwa 10 Jahren mit seiner Klasse in der Schule bestraft worden sein. Der Lehrer forderte die Schüler auf, alle Zahlen zu addieren, die in der Reihenfolge von 1 bis 100.

Gauss war nicht nur der Erste, der innerhalb kürzester Zeit ins Ziel kam, er war auch der Einzige, der das Ergebnis richtig machte (5050). Darüber hinaus wurden keine Berechnungen angezeigt. Was er tat, war die folgende Immobilie zu reparieren:

Die Summe zweier Terme, die von den Extrema eines endlichen PA gleich weit entfernt sind, ist gleich der Summe der Extrema.

Es gab keine Kenntnis über PFANNE zu der Zeit, aber Gauß sah sich die Liste der Zahlen an und erkannte, dass das Addieren der ersten zur letzten zu 101 führen würde; Addiert man die zweite zum vorletzten, wäre das Ergebnis ebenfalls 101 und so weiter. Als Summe aller Termpaare gleich weit von den Extremwerten 101 ergab, musste Gauss diese Zahl nur mit der Hälfte der verfügbaren Terme multiplizieren, um das Ergebnis von 5050 zu erhalten.

Beachten Sie, dass es von der Zahl 1 bis zur Zahl 100 genau 100 Zahlen gibt. Gauß erkannte, dass er, wenn er sie zwei Mal zwei addiert, 50 Ergebnisse erhalten würde, die 101 entsprechen. Daher wurde diese Multiplikation mit der Hälfte der Gesamtterme durchgeführt.

Demonstration der Summe der Terme einer PA

Aus diesem Kunststück entstand der Ausdruck zur Berechnung der die Summe von Nein erste Amtszeiten einer PA. Die Taktik, die verwendet wird, um zu diesem Ausdruck zu gelangen, ist wie folgt:

gegeben PFANNE any, wir fügen die ersten n Terme davon hinzu. Mathematisch haben wir:

so_Nein = die₁ + die₂ + die₃ + … + die_{n – 2} + die_{n - 1} + die_Nein

Direkt darunter Summe der Begriffe, wir werden ein weiteres schreiben, mit den gleichen Begriffen wie das vorherige, aber in einem abnehmenden Sinne. Beachten Sie, dass die Summe der Terme im ersten gleich der Summe der Terme im zweiten ist. Daher wurden beide mit S. gleichgesetzt_Nein.

so_Nein = die₁ + die₂ + die₃ + … + die_{n – 2} + die_{n - 1} + die_Nein

so_Nein = die_Nein + die_{n - 1} + die_{n – 2} + … + die₃ + die₂ + die₁

Beachten Sie, dass diese beiden Ausdrücke von einem einzigen erhalten wurden PFANNE und dass die äquidistanten Terme vertikal ausgerichtet sind. Daher können wir die Ausdrücke hinzufügen, um zu erhalten:

so_Nein = die₁ + die₂ + die₃ + … + die_{n – 2} + die_{n - 1} + die_Nein

+ so_Nein = die_Nein + die_{n - 1} + die_{n – 2} + … + die₃ + die₂ + die₁

2S_Nein = (die₁ + die_Nein) + (a₂ + die_{n - 1}) + … + (a_{n - 1} + die₂) + (a_Nein + die₁)

Denken Sie daran, dass die Summe der Terme, die von den Extrema gleich weit entfernt sind, gleich der Summe der Extrema ist. Daher kann jede Klammer durch die Summe der Extreme ersetzt werden, wie wir als nächstes tun werden:

2S_Nein = (die₁ + die_Nein) + (a₁ + die_Nein) +... + (die₁ + die_Nein) + (a₁ + die_Nein)

Gauß' Idee war, die äquidistanten Terme einer Folge hinzuzufügen. Also bekam er die Hälfte der Begriffe von PFANNE im Ergebnis 101. Wir haben es so gemacht, dass jeder Term des anfänglichen BP zu seinem äquidistanten Wert addiert wurde, wobei seine Anzahl der Begriffe. Da die PA also n Terme hatte, können wir die Summe im obigen Ausdruck durch eine Multiplikation ändern und die Gleichung finden:

2S_Nein = (die₁ + die_Nein) + (a₁ + die_Nein) +... + (die₁ + die_Nein) + (a₁ + die_Nein)

2S_Nein = n (a₁ + die_Nein)

so_Nein = beim₁ + die_Nein)
2

Dies ist genau die Formel, die verwendet wird, um die hinzuzufügen Nein erste Amtszeiten einer PA.

Beispiel

Bestimmen Sie bei gegebenem P.A (1, 2, 3, 4) die Summe seiner ersten 100 Terme.

Lösung:

Wir müssen den Begriff a. finden₁₀₀. Dazu verwenden wir die allgemeine Begriffsformel einer PA:

Das_Nein = die₁ + (n – 1)r

Das₁₀₀ = 1 + (100 – 1)1

Das₁₀₀ = 1 + 99

Das₁₀₀ = 100

Nun die Formel zum Summieren der ersten n Terme:

so_Nein = beim₁ + die_Nein)
2

so₁₀₀ = 100(1 + 100)
2

so₁₀₀ = 100(101)
2

so₁₀₀ = 10100
2

so₁₀₀ = 5050

Von Luiz Paulo Moreira
Abschluss in Mathematik

Quelle: Brasilien Schule - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/soma-dos-termos-uma-progressao-aritmetica.htm