Polygone sind bilder flache Geometrie und geschlossen gebildet durch gerade Segmente. Die Polygone sind in zwei Gruppen unterteilt, die konvex und der nicht konvex. Wenn bei einem Polygon alle Seiten gleich sind und folglich alle Winkel intern gleich, es ist ein Polygon regulär. Regelmäßige Polygone können nach der Anzahl ihrer Seiten benannt werden.
Auch sehen: Konstruktion von umschriebenen Polygonen
Elemente eines Polygons
Ein Polygon ist eine flache, geschlossene Figur, die durch die Vereinigung einer endlichen Anzahl gerader Liniensegmente gebildet wird. Betrachten Sie also ein beliebiges Polygon:
Die Punkte A, B, C, D, E, F, G und H sind die Scheitelpunkte des Polygons und werden durch das Zusammentreffen der Segmente AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH und HA gebildet, genannt Seiten des Polygons.
Die Segmente AF, AE, AD und BG sind die Diagonalen des Polygons. (Beachten Sie, dass dies einige Beispiele für Diagonalen sind, im vorherigen Polygon haben wir mehr davon.) Diagonalen sind Liniensegmente, die die Eckpunkte des Polygons "verbinden".
Nomenklatur eines Polygons
Wir können die Polygone nach ihrer benennen Anzahl der Seiten. Siehe die Namen der Hauptpolygone in der Tabelle unten.
Anzahl der Seiten (n) |
Nomenklatur |
3 |
Dreieck |
4 |
Viereck |
5 |
Pentagon |
6 |
Hexagon |
7 |
Heptagon |
8 |
Achteck |
9 |
Enneagon |
10 |
Zehneck |
11 |
Undekagon |
12 |
Zwölfeck |
15 |
Fünfzehneck |
20 |
Icosagon |
Beachten Sie, dass es nicht notwendig ist, den Tisch zu dekorieren, sondern ihn zu verstehen. Mit Ausnahme des Dreiecks und des Vierecks lautet die Wortbildung:
Anzahl der Seiten + Gono
Wenn wir zum Beispiel das Polygon von haben fünf Seiten, Merken Sie sich automatisch das Präfix Penta plus das Suffix gono: Pentagon.
Beispiel
Bestimmen Sie den Namen des folgenden Polygons:
Polygonklassifizierung
Polygone werden klassifiziert nach Maß deiner Winkel angle und Seiten. Ein Polygon heißt gleichseitig, wenn es kongruente Seiten hat, dh alle Seiten sind gleich; und es heißt Gleichwinkel, wenn es kongruente Winkel hat, dh alle gleichen Winkel.
Wenn ein Polygon gleichseitig und gleichwinklig ist, ist es a regelmäßiges Vieleck.
In jedem regelmäßigen Vieleck hat der Mittelpunkt den gleichen Abstand von den Seitend.h. er ist von den Seiten gleich weit entfernt. Der Mittelpunkt des Polygons ist auch der Mittelpunkt des in das Polygon einbeschriebenen Kreises, d Umfang die "innerhalb" des Umfangs ist.
Weiterlesen: Polygon-Ähnlichkeit: Sehen Sie, was die Bedingungen sind
Summe der Innenwinkel eines Polygons
Sei derich einem Innenwinkel eines regelmäßigen n-seitigen Polygons, werden wir die Summe dieser Innenwinkel durch S. darstellenich.
Somit ist die Summe der Innenwinkel gegeben durch:
soich = (n - 2) · 180°
Um den Wert jedes Innenwinkels zu berechnen, nehmen Sie einfach die Summe der Innenwinkel und dividieren Sie durch die Anzahl der Seiten, dh:
Dasich = soich
Nein
Beispiel 1
Bestimmen Sie die Summe der Innenwinkel und dann das Maß jedes Innenwinkels eines Ikosagons.
Wir wissen, dass ein Ikosagon zwanzig Seiten hat, also n = 20. In den Beziehungen ersetzend haben wir:
soich = (n - 2) · 180°
soich = (20 - 2) · 180°
soich = 18 · 180°
soich = 3240°
Um nun den Wert jedes Innenwinkels zu bestimmen, teilen Sie einfach den gefundenen Wert durch die Anzahl der Seiten:
Dasich = 3240°
20
Dasich = 162°
Beispiel 2
Die Summe der Innenwinkel eines regelmäßigen Polygons beträgt 720°, finden Sie das Polygon.
Ersetzen der Aussageinformationen in der Formel haben wir:
720° = (n - 2) · 180°
720° = 180n - 360°
180n = 720° + 360°
180n = 1080°
n = 1080°
180°
n = 6 Seiten
Somit ist das gewünschte Polygon das Sechseck.
Summe der Außenwinkel eines Polygons
Die Summe der Außenwinkel eines Polygons ist immer gleich 360°.
sound = 360°
Dasund = sound
Nein
Dasund = 360°
Nein
Polygondiagonalen
Betrachten Sie ein n-seitiges Polygon. Um die Anzahl der Diagonalen (d) zu bestimmen, verwenden wir die folgende Beziehung:
d = n · (n - 3)
2
Beispiel
Bestimmen Sie die Anzahl der Diagonalen in einem Fünfeck und zeichnen Sie diese auf.
Wir wissen, dass ein Fünfeck fünf Seiten hat, also n = 5. Den Ausdruck ersetzend müssen wir:
d = 5 · (5 - 3)
2
d = 5 · 2
2
d = 5
Fläche und Umfang von Polygonen
Ö Umfang von Polygonen ist definiert durch die Summe von allen Seiten. Die Fläche eines Polygons wird berechnet, indem das Polygon in Zahlen unterteilt wird, mit denen die Fläche einfacher zu berechnen ist, z. B. das Dreieck und das Quadrat.
DASΔ = Sockel · Höhe
2
DASQuadrat = Basis · Höhe
Beispiel
Bestimmen Sie einen mathematischen Ausdruck, der die Fläche eines regelmäßigen Sechsecks darstellt.
Lösung:
Betrachten Sie zunächst ein regelmäßiges Sechseck und alle geraden Liniensegmente, die den Mittelpunkt des Polygons mit jedem Scheitelpunkt verbinden. So:
Beachten Sie, dass wir beim Teilen des Sechsecks sechs. finden, da das Sechseck regelmäßig ist Dreiecke gleichseitig, also ist die Fläche des Sechsecks sechsmal so groß wie die Fläche des gleichseitigen Dreiecks, das heißt:
DASHexagon = 6 · AΔ
DASHexagon = 6 · l2 · √3
4
DASHexagon = 3 · l2 · √3
2
DASHexagon = 3 · l2·√3
2
Lesen Sie auch:gleichseitige Dreiecksfläche
gelöste Übungen
Frage 1 – (Enem) Ein Pool hat die Form eines regelmäßigen Vielecks, dessen Innenwinkel das Dreieinhalbfache des Außenwinkels beträgt. Wie groß ist die Summe der Innenwinkel des Polygons, dessen Form die gleiche ist wie dieser Pool?
a) 1800°
b) 1620.
c) 1440°
d) 1260°
e) 1080°
Lösung
Da wir die Anzahl der Seiten des Polygons nicht kennen, stellen wir uns nur einen der Eckpunkte dieses Polygons vor.
Aus dem Bild können wir das sehen:
Dasich + dieund = 180° (I)
Aus der Aussage haben wir das:
Dasich = 3,5 · aund (II)
Wenn wir Gleichung (II) in Gleichung (I) einsetzen, müssen wir:
3.5 · aund + dieund = 180°
4,5 · aund = 180°
Dasund = 180°
4,5
Dasund = 40°
Wir wissen jedoch, dass ein Innenwinkel die 360°-Teilung durch die Anzahl der Seiten des Polygons ist. So:
Dasund = 360°
Nein
40° = 360°
Nein
40n = 360°
n = 360°
40°
n = 9
Daher ist die Summe der Innenwinkel des Pools:
soich = (n - 2) · 180°
soich = (9 - 2) · 180°
soich = 7 · 180°
soich = 1260°
von Robson Luis
Mathematiklehrer