A wissenschaftliche Notation ist eine Darstellung von Zahlen mit Potenzen der Basis 10. Diese Art der Darstellung ist unerlässlich, um Zahlen mit vielen Ziffern einfacher und objektiver schreiben zu können. Denken Sie daran, dass Ziffern in unserem Dezimalsystem die Symbole von 0 bis 9 sind: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9.
Lesen Sie auch: Potenzierung – wie geht man mit Zahlen um, die Potenzen haben?
Zusammenfassung zur wissenschaftlichen Notation
- Unter wissenschaftlicher Notation versteht man das Schreiben einer Zahl mit Potenzen der Basis 10.
- Eine in wissenschaftlicher Notation dargestellte Zahl hat das folgende Format: Wo 1 ≤ bis <10 Es ist N ist eine ganze Zahl:
\(a\times{10}^n\)
- Die Eigenschaften der Potenzierung sind für das Schreiben einer Zahl in wissenschaftlicher Notation von grundlegender Bedeutung.
Videolektion zur wissenschaftlichen Notation
Was ist wissenschaftliche Notation?
Wissenschaftliche Notation ist die Darstellung einer Zahl im folgenden Format:
\(a\times{10}^n\)
Auf was:
- Der ist eine rationale Zahl (in Dezimaldarstellung) größer oder gleich 1 und kleiner als 10, d. h. 1 ≤ bis <10 ;
- Es ist N ist eine ganze Zahl.
Beispiele:
Dezimaldarstellung |
Darstellung in wissenschaftlicher Notation |
0,35 |
3,5×10-1 |
407 |
4,07×102 |
120.000 |
1,2×105 |
Wozu dient die wissenschaftliche Notation?
Wissenschaftliche Notation ist Wird zur Darstellung von Zahlen mit vielen Ziffern verwendet. Dies ist bei sehr großen Zahlen (z. B. dem Abstand zwischen Himmelskörpern) und bei sehr kleinen Zahlen (z. B. der Größe von Molekülen) der Fall.
Beispiele für Zahlen mit vielen Ziffern:
- Die ungefähre Entfernung zwischen Sonne und Erde beträgt 149.600.000.000 Meter.
- Der Durchmesser eines Kohlenstoffatoms beträgt etwa 0,000000015 Zentimeter.
Schauen wir uns an, wie man jede dieser Zahlen in wissenschaftlicher Notation schreibt.
Wie wandelt man eine Zahl in wissenschaftliche Notation um?
Um eine Zahl in wissenschaftliche Notation umzuwandeln, müssen wir sie in der Form schreiben:
\(a\times{10}^n\)
Mit 1 ≤ bis <10 Es ist N ganz.
Dafür, Es ist wichtig zu wissen die Eigenschaften der Potenzierung, hauptsächlich in Bezug auf die Kommaverschiebung wenn wir eine Zahl mit einer Potenz zur Basis 10 und im Verhältnis zum Vorzeichen des jeweiligen Exponenten multiplizieren.
Beispiel: Stellen Sie jede Zahl unten in wissenschaftlicher Notation dar.
- 3.700.000
Diese Zahl kann als 3.700.000,0 geschrieben werden. Beachten Sie, dass in diesem Fall Der sollte gleich 3,7 sein. Daher ist es notwendig, den Dezimalpunkt um sechs Stellen nach links zu verschieben.
Bald,\( 3,7\times{10}^6\) ist die Darstellung in wissenschaftlicher Notation von 3.700.000, das heißt:
\(3.700.000=3,7\times{10}^6\)
Überwachung: Um zu überprüfen, ob die Darstellung korrekt ist, lösen Sie einfach die Multiplikation \(3,7\times{10}^6\) und beachten Sie, dass das Ergebnis 3.700.000 beträgt.
- 149.600.000.000
Diese Zahl kann als 149.600.000.000,0 geschrieben werden. Beachten Sie, dass in diesem Fall Der sollte gleich 1,496 sein. Daher ist es notwendig, den Dezimalpunkt um 11 Stellen nach links zu verschieben.
Bald,\( 1.496\times{10}^{11}\) ist die Darstellung in wissenschaftlicher Notation von 149.600.000.000, das heißt:
\(149.600.000.000=1.496\times{10}^{11}\)
Überwachung: Um zu überprüfen, ob die Darstellung korrekt ist, lösen Sie einfach die Multiplikation \(1.496\times{10}^{11}\) und beachten Sie, dass das Ergebnis 149.600.000.000 ist.
- 0,002
Beachten Sie, dass für diese Nummer Der muss gleich 2 sein. Daher ist es notwendig, den Dezimalpunkt um drei Dezimalstellen nach rechts zu verschieben.
Bald,\(2,0\times{10}^{-3}\) ist die Darstellung in wissenschaftlicher Notation von 0,002, das heißt:
\(0,002=2,0\times{10}^{-3}\)
Überwachung: Um zu überprüfen, ob die Darstellung korrekt ist, lösen Sie einfach die Multiplikation \(2,0\times{10}^{-3}\) und beobachten Sie, dass das Ergebnis gleich 0,002 ist.
- 0,000000015
Beachten Sie, dass für diese Nummer Der sollte gleich 1,5 sein. Daher ist es notwendig, den Dezimalpunkt um acht Dezimalstellen nach rechts zu verschieben.
Bald, \(1,5\times{10}^{-8}\) ist die Darstellung in wissenschaftlicher Notation von 0,000000015, das heißt:
\(0,000000015=1,5\times{10}^{-8}\)
Überwachung: Um zu überprüfen, ob die Darstellung korrekt ist, lösen Sie einfach die Multiplikation 1,5×10-8 und beachten Sie, dass das Ergebnis gleich 0,000000015 ist.
Operationen mit wissenschaftlicher Notation
Addition und Subtraktion in wissenschaftlicher Notation
Bei Additions- und Subtraktionsoperationen mit Zahlen in wissenschaftlicher Notation müssen wir darauf achten, dass die jeweiligen Zehnerpotenzen in jeder Zahl den gleichen Exponenten haben und diese hervorheben.
Beispiel 1: Berechnung \(1,4\times{10}^7+3,1\times{10}^8\).
Der erste Schritt besteht darin, beide Zahlen mit der gleichen Zehnerpotenz zu schreiben. Schreiben wir zum Beispiel die Zahl um \(1,4\times{10}^7\). Beachten Sie, dass:
\(1,4\times{10}^7=0,14\times{10}^8\)
Daher:
\(\color{red}{\mathbf{1},\mathbf{4}\times{\mathbf{10}}^\mathbf{7}}+3,1\times{10}^8=\color{ red}{\ \mathbf{0},\mathbf{14}\times{\mathbf{10}}^\mathbf{8}}+3,1\times{10}^8\)
Die Kraft einsetzen \({10}^8\) Als Beweis haben wir Folgendes:
\(0,14\times{10}^8+3,1\times{10}^8=\left (0,14+3,1\right)\times{10}^8\)
\(=3,24\times{10}^8\)
Beispiel 2: Berechnung \(9,2\times{10}^{15}-6,0\times{10}^{14}\).
Der erste Schritt besteht darin, beide Zahlen mit der gleichen Zehnerpotenz zu schreiben. Schreiben wir zum Beispiel die Zahl um \(6,0\times{10}^{14}\). Beachten Sie, dass:
\(6,0\times{10}^{14}=0,6\times{10}^{15}\)
Daher:
\(9.2\times{10}^{15}-\color{red}{\mathbf{6},\mathbf{0}\times{\mathbf{10}}^{\mathbf{14}}} =9.2 \times{10}^{15}-\color{red}{\mathbf{0},\mathbf{6}\times{\mathbf{10}}^{\mathbf{15}}}\ )
Die Kraft einsetzen 1015 Als Beweis haben wir Folgendes:
\(9,2\times{10}^{15}-0,6\times{10}^{15}=\left (9,2-0,6\right)\times{10}^{15} \)
\(=8,6\times{10}^{15}\)
Multiplikation und Division in wissenschaftlicher Notation
Um zwei in wissenschaftlicher Schreibweise geschriebene Zahlen zu multiplizieren und zu dividieren, müssen wir die Zahlen, die den Zehnerpotenzen folgen, miteinander verknüpfen und die Zehnerpotenzen miteinander verknüpfen.
Zwei wesentliche Potenzierungseigenschaften bei diesen Operationen sind:
\(x^m\cdot x^n=x^{m+n}\)
\(x^m\div x^n=x^{m-n}\)
Beispiel 1: Berechnung \(\left (2.0\times{10}^9\right)\cdot\left (4.3\times{10}^7\right)\).
\(\left (2,0\times{10}^9\right)\cdot\left (4,3\times{10}^7\right)=\left (2,0\cdot4,3\right) \times\left({10}^9\cdot{10}^7\right)\)
\(=8,6\times{10}^{9+7}\)
\(=8,6\times{10}^{16}\)
Beispiel 2: Berechnung \(\left (5.1\times{10}^{13}\right)\div\left (3.0\times{10}^4\right)\).
\(\left (5,1\times{10}^{13}\right)\div\left (3,0\times{10}^4\right)=\left (5,1\div3,0\ rechts)\times\left({10}^{13}\div{10}^4\right)\)
\(=1,7\times{10}^{13-4}\)
\(=1,7\times{10}^9\)
Lesen Sie auch: Dezimalzahlen – Sehen Sie sich an, wie man mit diesen Zahlen Operationen durchführt
Übungen zur wissenschaftlichen Notation
Frage 1
(Enem) Influenza ist eine kurzfristige akute Atemwegsinfektion, die durch das Influenzavirus verursacht wird. Wenn dieses Virus über die Nase in unseren Körper gelangt, vermehrt es sich und breitet sich in den Rachen und andere Teile der Atemwege, einschließlich der Lunge, aus.
Das Influenzavirus ist ein kugelförmiges Partikel mit einem Innendurchmesser von 0,00011 mm.
Verfügbar unter: www.gripenet.pt. Zugriff am: 2. Nov. 2013 (angepasst).
In wissenschaftlicher Schreibweise beträgt der Innendurchmesser des Influenzavirus in mm
a) 1,1×10-1.
b) 1,1×10-2.
c) 1,1×10-3.
d) 1,1×10-4.
e) 1,1×10-5.
Auflösung
In wissenschaftlicher Schreibweise ist die Der für die Zahl 0,00011 beträgt sie 1,1. Somit muss der Dezimalpunkt um vier Dezimalstellen nach links verschoben werden, das heißt:
\(0,00011=1,1\times{10}^{-4}\)
Alternative D
Frage 2
(Enem) Forscher der Technischen Universität Wien, Österreich, stellten Miniaturobjekte mit hochpräzisen 3D-Druckern her. Bei Aktivierung strahlen diese Drucker Laserstrahlen auf eine Art Harz und formen so das gewünschte Objekt. Das fertige Druckprodukt ist eine dreidimensionale mikroskopische Skulptur, wie im vergrößerten Bild zu sehen ist.
Bei der präsentierten Skulptur handelt es sich um eine Miniatur eines Formel-1-Autos mit einer Länge von 100 Mikrometern. Ein Mikrometer ist ein Millionstel Meter.
Wie wird in wissenschaftlicher Schreibweise die Länge dieser Miniatur in Metern dargestellt?
a) 1,0×10-1
b) 1,0×10-3
c) 1,0×10-4
d) 1,0×10-6
e) 1,0×10-7
Auflösung
Laut Text ist 1 Mikrometer \(\frac{1}{1000000}=0,000001\) U-Bahn. Somit sind es 100 Mikrometer \(100\cdot0.000001=0.0001\) Meter.
In wissenschaftlicher Notation geschrieben haben wir:
\(0,0001=1,0\times{10}^{-4}\)
Alternative C
Quellen:
ANASTACIO, M. A. S.; VÖLZKE, M. A. Astronomiethemen als frühere Organisatoren beim Studium der wissenschaftlichen Notation und Maßeinheiten. Abakós, v. 10, nein. 2, S. 130-142, 29. Nov. 2022. Verfügbar in https://periodicos.pucminas.br/index.php/abakos/article/view/27417 .
NAISSINGER, M. A. Wissenschaftliche Notation: ein kontextualisierter Ansatz. Monographie (Spezialisierung auf Mathematik, digitale Medien und Didaktik) – Bundesuniversität Rio Grande do Sul, Porto Alegre, 2010. Verfügbar in http://hdl.handle.net/10183/31581.
