Zum Operationen mit Mengen sie sind Vereinigung, Schnittmenge und Differenz. Das Ergebnis jeder dieser Operationen ist ein neuer Satz. Um die Vereinigung zwischen Mengen anzuzeigen, verwenden wir das Symbol ∪; für den Schnittpunkt das Symbol ∩; und für den Unterschied das Symbol von Subtraktion\(-\). Im Falle einer Differenz ist unbedingt die Reihenfolge zu beachten, in der der Vorgang durchgeführt wird. Mit anderen Worten: Wenn A und B Mengen sind, unterscheidet sich die Differenz zwischen A und B von der Differenz zwischen B und A.
Lesen Sie auch: Venn-Diagramm – geometrische Darstellung von Mengen und Operationen zwischen ihnen
Zusammenfassung der Operationen mit Mengen
Operationen mit Mengen sind: Vereinigung, Schnittmenge und Differenz.
Die Vereinigung (oder Begegnung) der Mengen A und B ist die Menge A ∪ B, die aus den Elementen besteht, die zu A oder zu B gehören.
\(A∪B=\{x; x∈A\ oder\ x∈B\}\)
Der Schnittpunkt der Mengen A und B ist die Menge A ∩ B, die aus den Elementen besteht, die zu A und zu B gehören.
\(A∩B=\{x; x∈A\ und\ x∈B\}\)
Der Unterschied zwischen den Mengen A und B ist die Menge A – B, die aus den Elementen besteht, die zu A gehören und nicht zu B gehören.
\(A -B =\{x; x∈A\ e\ x ∉B\}\)
Wenn U (bekannt als Universumsmenge) eine Menge ist, die alle Mengen in einem bestimmten Kontext enthält, dann wird die Differenz U – A mit A ⊂ U das Komplement von A genannt. Das Komplement von A wird durch Elemente gebildet, die nicht zu A gehören, und wird durch dargestellt Aw.
\(A^c=U-A=\{x; x∉A\}\)
Videolektion zu Operationen mit Sets
Was sind die drei Operationen mit Mengen?
Die drei Operationen mit Sets sind: Vereinigung, Schnittmenge und Differenz.
Vereinigung von Mengen
Die Vereinigung (oder Begegnung) der Mengen A und B ist die Menge A ∪ B (lesen Sie „Die Vereinigung B“). Diese Menge besteht aus allen Elementen, die zur Menge A gehören oder gehören zur Menge B, also der Elemente, die zu mindestens einer der Mengen gehören.
Wir stellen die Elemente von A ∪ B durch x dar und schreiben
\(A∪B=\{x; x∈A\ oder\ x∈B\}\)
Im Bild unten ist der orangefarbene Bereich der Satz A ∪B.
Es scheint schwierig? Schauen wir uns zwei Beispiele an!
Beispiel 1:
Was ist die Menge A ∪ B, wenn A = {7, 8} und B = {12, 15}?
Die Menge A ∪ B wird durch die Elemente gebildet, die zu A gehören oder gehören zu B. Da die Elemente 7 und 8 zur Menge A gehören, müssen beide zur Menge A ∪ B gehören. Da außerdem die Elemente 12 und 15 zur Menge B gehören, müssen beide zur Menge A ∪ B gehören.
Daher,
A ∪ B={7, 8, 12, 15}
Beachten Sie, dass jedes der Elemente von A∪B entweder zur Menge A oder zur Menge B gehört.
Beispiel 2:
Betrachten Sie die Mengen A = {2, 5, 9} und B = {1, 9}. Was ist die Menge A ∪ B?
Da die Elemente 2, 5 und 9 zur Menge A gehören, müssen sie alle zur Menge A∪B gehören. Da außerdem die Elemente 1 und 9 zur Menge B gehören, müssen sie alle zur Menge A ∪ B gehören.
Beachten Sie, dass wir 9 zweimal erwähnt haben, da dieses Element zu Menge A und Menge B gehört. Man sagt: „Die Menge A ∪ B wird durch die Elemente gebildet, die zu A gehören.“ oder gehören zu B“ schließt Elemente nicht aus, die gleichzeitig zu den Mengen A und B gehören.
In diesem Beispiel haben wir also
A ∪ B={1, 2, 5, 9}
Beachten Sie, dass wir Element 9 nur einmal schreiben.
Schnittmenge von Mengen
Der Schnittpunkt der Mengen A und B ist die Menge A ∩ B (lesen Sie „Der Schnittpunkt B“). Diese Menge besteht aus allen Elementen, die zur Menge A gehören Es ist gehören zur Menge B. Mit anderen Worten: A ∩ B besteht aus den gemeinsamen Elementen der Mengen A und B.
Wir geben die Elemente von A ∩ B durch x an und schreiben
\(A∩B=\{x; x∈A\ und\ x∈B\}\)
Im Bild unten ist der orangefarbene Bereich der Satz A ∩B.
Lösen wir zwei Beispiele zum Schnittpunkt von Mengen!
Beispiel 1:
Betrachten Sie A = {-1, 6, 13} und B = {0, 1, 6, 13}. Was ist die Menge A ∩ B?
Die Menge A ∩ B wird durch alle Elemente gebildet, die zur Menge A gehören Es ist gehören zur Menge B. Beachten Sie, dass die Elemente 6 und 13 gleichzeitig zu den Mengen A und B gehören.
So was,
A ∩ B={6, 13}
Beispiel 2:
Was ist der Schnittpunkt zwischen den Mengen A = {0,4} und \(B={-3,\frac{1}2,5,16,44}\)?
Beachten Sie, dass es zwischen den Mengen A und B kein gemeinsames Element gibt. Somit ist der Durchschnitt eine Menge ohne Elemente, also eine leere Menge.
Daher,
\(\)A ∩ B={ } = ∅
Unterschied zwischen Sätzen
Der Unterschied zwischen den Sätzen A und B ist der Satz A – B (sprich „Unterschied zwischen A und B“). Dieses Set besteht aus alle Elemente, die zur Menge A gehören und nicht zur Menge B gehören.
Wir stellen die Elemente A – B durch x dar und schreiben
\(A-B=\{x; x∈A\ und\ x∉B\}\)
Im Bild unten ist der orangefarbene Bereich der SetA – B.
Aufmerksamkeit: Der Unterschied zwischen den Mengen A und B ist nicht der Unterschied zwischen den Mengen B und A, da B – A durch alle Elemente gebildet wird, die zur Menge B gehören und nicht zur Menge A gehören.
Betrachten Sie die beiden folgenden Beispiele zum Unterschied zwischen Mengen.
Beispiel 1:
Wenn A = {-7, 2, 100} und B = {2, 50}, was ist dann die Menge A – B? Was ist mit der Menge B – A?
Der SatzA-B besteht aus allen Elementen, die zur Menge A gehören Es istNEIN gehören zur Menge B. Beachten Sie, dass 2 das einzige Element in Menge A ist, das auch zu Menge B gehört. Somit gehört 2 nicht zur Menge A – B.
Daher,
A – B = {-7, 100}
Darüber hinaus wird die Menge B – A durch alle Elemente gebildet, die zur Menge B gehören Es istNEIN gehören zur Menge A. Daher,
B – A = {50}
Beispiel 2:
Was ist der Unterschied zwischen der Menge A = {–4, 0} und der Menge B = {–3}?
Beachten Sie, dass keines der Elemente von A zu B gehört. Somit ist die Differenz A – B die Menge A selbst.
\(A - B = \{-4,0\} = A\)
Überwachung: Bedenken Sie, dass U (Universumsmenge genannt) eine Menge ist, die alle anderen Mengen in einer bestimmten Situation enthält. So was, der Unterschied U–A, mit A⊂U, ist eine Menge namens komplementär zu A und dargestellt als \(B.C\).
\(A^c=U-A=\{x; x∉A\}\)
Im folgenden Bild ist das Rechteck die Universumsmenge und der orangefarbene Bereich die Universumsmenge \(B.C\).
Mehr wissen: Schritt für Schritt, wie man eine Division durchführt
Übungen zu Mengenoperationen gelöst
Frage 1
Betrachten Sie die Mengen A = {–12, –5, 3} und B = {–10, 0, 3, 7} und klassifizieren Sie jede der folgenden Aussagen als T (wahr) oder F (falsch).
ICH. A ∪ B = {–12, –10, –5, 3, 7}
II. A ∩ B = {3}
III. A – B = {–12, –5}
Die richtige Reihenfolge, von oben nach unten, ist
A) V-V-V
B) F-V-V
C) V-F-V
D) F-F-V
E) F-F-F
Auflösung
ICH. FALSCH.
Element 0 muss zur Vereinigung von A und B gehören, da 0 ∈ B. Somit ist A ∪ B = {–12, –10, –5, 0, 3, 7}
II. WAHR.
III. WAHR.
Alternative B.
Frage 2
Betrachten Sie A = {4, 5}, B = {6,7} und C = {7,8}. Dann ist die Menge A ∪ B ∩ C
A) {7}.
B) {8}.
C) {7, 8}.
D) {6,7,8}.
E) {4, 5, 6, 7, 8}.
Auflösung
Beachten Sie, dass A ∪ B = {4, 5, 6, 7}. Daher ist die Menge A ∪ B ∩ C der Schnittpunkt zwischen A ∪ B = {4, 5, 6, 7} und C = {7,8}. Bald,
A ∪ B ∩ C = {7}
Alternative A.
Quellen
LIMA, Elon L.. Analysekurs. 7. Aufl. Rio de Janeiro: IMPA, 1992. v.1.
LIMA, Elon L. et al. Mathematik an weiterführenden Schulen. 11. Hrsg. Sammlung für Mathematiklehrer. Rio de Janeiro: SBM, 2016. v.1.
