Satz von D'Alembert

Der Satz von D'Alembert ist eine unmittelbare Konsequenz des Restsatzes, der sich mit der Division des Polynoms durch das Binomial vom Typ x – a beschäftigt. Der Restsatz besagt, dass ein Polynom G(x) dividiert durch ein Binomial x – a einen Rest R gleich P(a) hat, für
x = ein. Der französische Mathematiker D'Alembert hat unter Berücksichtigung des oben zitierten Satzes bewiesen, dass ein Polynom jedes Q(x) ist durch x – a teilbar, d. h. der Rest der Division ist gleich Null (R = 0) falls P(a) = 0.
Dieser Satz machte es einfacher, die Division von Polynom durch Binomial (x – a) zu berechnen, sodass es nicht notwendig ist, die gesamte Division zu lösen, um zu wissen, ob der Rest gleich oder verschieden von Null ist.
Beispiel 1
Berechnen Sie den Rest der Division (x² + 3x – 10): (x – 3).
Wie der Satz von D'Alembert sagt, ist der Rest (R) dieser Division gleich:
P(3) = R
3² + 3 * 3 – 10 = R
9 + 9 - 10 = R
18 - 10 = R
R = 8
Der Rest dieser Division wird also 8 sein.
Beispiel 2
Überprüfen Sie, ob x⁵ – 2x

⁴ + x³ + x – 2 ist teilbar durch x – 1.
Nach D’Alembert ist ein Polynom durch ein Binomial teilbar, wenn P(a) = 0.
P(1) = (1)⁵ – 2*(1)⁴ + (1)³ + (1) – 2
P(1) = 1 - 2 + 1 + 1 - 2
P(1) = 3 - 4
P(1) = – 1
Da P(1) nicht null ist, ist das Polynom nicht durch das Binomial x – 1 teilbar.
Beispiel 3
Berechnen Sie den Wert von m so, dass der Rest der Division des Polynoms
P(x) = x⁴ – mx³ + 5x² + x – 3 mal x – 2 ist 6.
Wir haben das, R = P(x) → R = P(2) → P(2) = 6
P(2) = 2⁴ – m*2³ + 5*2² + 2 – 3
2⁴ – m*2³ + 5*2² + 2 – 3 = 6
16 – 8m + 20 + 2 – 3 = 6
– 8m = 6 – 38 + 3
– 8m = 9 – 38
– 8m = – 29
m = 29/8
Beispiel 4
Berechnen Sie den Rest der Division des 3x-Polynoms³ + x² – 6x + 7 mal 2x + 1.
R = P(x) → R = P(– 1/2)
R = 3*(–1/2)³ + (–1/2)² – 6*(–1/2) + 7
R = 3*(–1/8) + 1/4 + 3 + 7
R = –3/8 + 1/4 + 10 (mmc)
R = –3/8 + 2/8 + 80/8
R = 79/8

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von Mark Noah
Abschluss in Mathematik
Brasilianisches Schulteam

Polynome - Mathematik - Brasilien Schule

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SILVA, Marcos Noé Pedro da. "Theorem von D'Alembert"; Brasilien Schule. Verfügbar in: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-dalembert.htm. Zugriff am 29. Juni 2021.