Bei der Untersuchung von Kreisen ist ein wichtiges zu untersuchendes Konzept das der Tangentiallinien an einen Kreis. Um diese Studie durchführen zu können, ist es notwendig, die relativen Positionen eines Punktes in Bezug auf einen Kreis zu verstehen. Wenn Sie etwas zu diesem Thema noch nicht studiert haben, lesen Sie den Artikel Relative Positionen zwischen einem Punkt und einem Kreis.
Wenn wir die Position eines Punktes in Bezug auf einen Kreis beobachten, können wir einige Tatsachen in Bezug auf Tangentenlinien schließen. Es ist bekannt, dass es drei relative Positionen von einem Punkt zu einem Kreis gibt. Für jede dieser Positionen können wir etwas über die Tangente schließen, die durch diesen Punkt verläuft.
• Punkt innerhalb des Kreises: Durch diesen Punkt kann keine Tangente gezogen werden.
• Zum Kreis gehörender Punkt: Durch diesen Punkt können wir nur eine Tangente haben, da es der Tangentialpunkt ist.
• Punkt außerhalb des Kreises: Von diesem Punkt aus können wir zwei tangentiale Linien zum Kreis ziehen.
Um die Gleichung der Tangente an einen Kreis durch einen gegebenen Punkt zu bestimmen, müssen wir daher unbedingt die relative Position dieses Punktes bestimmen. Diese Position hängt von der Entfernung vom Punkt zum Mittelpunkt des Kreises ab.
Wir müssen uns einige wichtige Fakten zur analytischen Geometrie merken:
• Die kürzeste Entfernung von einem Punkt zu einer Linie ist ein Segment senkrecht zu dieser Linie;
• Die Tangente steht an seinem Tangentenpunkt immer senkrecht zum Strahl.
In Verbindung mit den beiden vorherigen Tatsachen kann festgestellt werden, dass der Abstand von der Tangente zum Mittelpunkt gleich dem Radius sein muss.
Um die Tangentengleichung zu bestimmen, müssen wir daher die Position des Punktes analysieren, den wir zeichnen werden zur Linie und berechne damit den Abstand der Linie, die diesen Punkt enthält, in Bezug auf den Mittelpunkt des Umfang.
Für ein besseres Verständnis all dieser Konzepte werden wir mit Beispielen arbeiten, die diese Reflexionen benötigen.
1) Bestimmen Sie die Gleichung(en) der Tangente(n) an den gegebenen Kreis, gezeichnet durch den Punkt P.
a) Gl. Umfang: x2+ ja2 - 6x - 8y = 0 P (0,0)
Damit können wir die notwendigen Informationen für unser Problem extrahieren:
C(3,4), r=5.
Wir müssen nun die relative Lage des Punktes P(0,0) ermitteln:
Daher ist Punkt P der Tangentialpunkt.
Bestimmen wir die Gleichung der Geraden durch den Punkt P.
Um die Geradengleichung tatsächlich zu bestimmen, müssen wir noch herausfinden, welche Steigung diese Gerade hat. Eine der Tatsachen, die wir zu Beginn dieses Artikels gesehen haben, war die Rechtwinkligkeit der Tangente zum Radius des Kreises. Punkt P ist ein Tangentialpunkt, daher muss die Steigung der Linie, die durch den Punkt P und den Mittelpunkt verläuft, senkrecht zur Tangentiallinie stehen. Dafür haben wir eine Beziehung zwischen senkrechten Steigungen.
Mit anderen Worten, das Produkt der Steigungen senkrechter Linien ist gleich -1.
Um die Steigung des PC-Segments zu bestimmen, müssen wir den folgenden Ausdruck verwenden:
Damit erhalten wir die Tangentengleichung:
Eine andere Möglichkeit, den Wert von m zu bestimmen, besteht darin, den Abstand von der Mitte zur Linie zu berechnen. Dieser Abstand ist gleich dem Radius. Wir werden sehen:
Wenn der Punkt außerhalb des Kreises liegt, sollten wir den Tangentialpunkt anhand des Abstands vom Mittelpunkt des Kreises zum. finden Tangentenlinie, also bestimmen wir den Wert des Winkelkoeffizienten der Tangentenlinie, der wiederum die Gleichung der Linie bestimmt Tangente.
Von Gabriel Alessandro de Oliveira
Abschluss in Mathematik
Brasilianisches Schulteam
Quelle: Brasilien Schule - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/tangencia-circunferencia.htm
