Beim Lösen der Gleichung 2. Grades x2 – 6x + 9 = 0, wir finden zwei Nullstellen gleich 3. Mit dem Zerlegungssatz faktorisieren wir das Polynom und erhalten:
x2 – 6x + 9 = 0 = (x – 3)(x – 3) = (x – 3)2
In diesem Fall sagen wir, dass 3 die Wurzel der Vielfachheit 2 oder die Doppelwurzel der Gleichung ist.
Wenn also ein faktorisiertes Polynom den folgenden Ausdruck ergibt:
Wir können das sagen:
x = -5 ist Wurzel mit Multiplizität 3 oder dreifache Wurzel der Gleichung p (x) = 0
x = -4 ist Wurzel mit Vielfachheit 2 oder Doppelwurzel der Gleichung p (x) = 0
x = 2 ist Wurzel mit Vielfachheit 1 oder einfache Wurzel der Gleichung p (x) = 0
Im Allgemeinen sagen wir, dass r eine Wurzel aus der Vielfachheit n mit n 1 der Gleichung p (x) = 0 ist, wenn:
Beachten Sie, dass p(x) durch (x – r) teilbar istich und dass die Bedingung q(r) 0 bedeutet, dass r keine Wurzel von q(x) ist und garantiert, dass die Multiplizität der Wurzel r nicht größer als m ist.
Beispiel 1. Löse die x-Gleichung4 – 9x3 + 23x2 – 3x – 36 = 0, vorausgesetzt, 3 ist eine Doppelwurzel.
Lösung: Betrachten Sie p(x) als das gegebene Polynom. So:
Beachten Sie, dass q(x) durch Division von p(x) durch (x – 3) erhalten wird2.
Durch Division durch das praktische Gerät von Briot-Ruffini erhalten wir:
Nach der Division sehen wir, dass die Koeffizienten des Polynoms q(x) 1, -3 und -4 betragen. Somit ist q (x) = 0: x2 – 3x – 4 = 0
Lösen wir die obige Gleichung, um die anderen Wurzeln zu bestimmen.
x2 – 3x – 4 = 0
Δ = (-3)2 - 4*1*(-4)
Δ = 25
x = -1 oder x = 4
Daher ist S = {-1, 3, 4}
Beispiel 2. Schreiben Sie eine algebraische Gleichung minimalen Grades, so dass 2 eine Doppelwurzel ist und – 1 eine Einfachwurzel ist.
Lösung: Wir müssen:
(x – 2)(x – 2 )(x – (-1)) = 0
Oder
Von Marcelo Rigonatto
Spezialist für Statistik und mathematische Modellierung
Brasilianisches Schulteam
Polynome - Mathematik - Brasilien Schule
Quelle: Brasilien Schule - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplicidade-uma-raiz.htm