Für die Berechnung von Determinanten von quadratischen Matrizen der Ordnung kleiner oder gleich 3 (n≤3) haben wir einige praktische Regeln, um diese Berechnungen durchzuführen. Wenn die Ordnung jedoch größer als 3 ist (n>3), sind viele dieser Regeln nicht anwendbar.
Wir werden also den Satz von Laplace sehen, der mit dem Konzept des Kofaktors die Berechnung von Determinanten zu Regeln führt, die für beliebige quadratische Matrizen gelten.
Der Satz von Laplace besteht darin, eine der Zeilen (Zeile oder Spalte) der Matrix auszuwählen und die Produkte der Elemente dieser Zeile mit ihren jeweiligen Kofaktoren zu addieren.
Algebraische Darstellung:
Schauen wir uns ein Beispiel an:
Berechnen Sie die Determinante der Matrix C mit dem Satz von Laplace:
Nach dem Satz von Laplace müssen wir eine Zeile (Zeile oder Spalte) auswählen, um die Determinante zu berechnen. Verwenden wir die erste Spalte:
Wir müssen die Kofaktorwerte finden:
Somit ist nach dem Satz von Laplace die Determinante der Matrix C durch den folgenden Ausdruck gegeben:
Beachten Sie, dass es nicht notwendig war, den Kofaktor des Matrixelements, der gleich Null war, zu berechnen, denn wenn wir den Kofaktor multiplizieren, wäre das Ergebnis sowieso Null. Wenn wir also auf Matrizen stoßen, die viele Nullen in einer ihrer Zeilen haben, ist die Die Verwendung des Satzes von Laplace wird interessant, da nicht mehrere berechnet werden müssen Kofaktoren.
Schauen wir uns ein Beispiel für diese Tatsache an:
Berechnen Sie die Determinante der Matrix B mit dem Satz von Laplace:
Beachten Sie, dass die zweite Spalte die Zeile mit den meisten Nullen ist. Daher werden wir diese Zeile verwenden, um die Matrixdeterminante durch den Satz von Laplace zu berechnen.
Um also die Determinante von Matrix B zu bestimmen, muss man nur den Cofaktor A22 finden.
Daher können wir die Berechnungen der Determinante vervollständigen:
det B = (- 1). (- 65) = 65
Von Gabriel Alessandro de Oliveira
Abschluss in Mathematik
Brasilianisches Schulteam
Quelle: Brasilien Schule - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-laplace.htm
