A Anteil golden oder göttliche Proportion ist eine Gleichheit, die mit Vorstellungen von Harmonie, Schönheit und Perfektion verbunden ist. Euklid von Alexandria, griechischer Mathematiker, der um 300 v. Chr. lebte. C. war einer der ersten Denker, der dieses Konzept formalisierte, das bis heute Forscher aus verschiedenen Bereichen fasziniert.
Der Grund für dieses Interesse liegt darin, dass der Goldene Schnitt in der Natur näherungsweise beobachtet werden kann, unter anderem in den Samen und Blättern von Pflanzen und im menschlichen Körper. Daher wird der Goldene Schnitt von verschiedenen Fachleuten wie Biologen, Architekten, Künstlern und Designern untersucht.
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Themen dieses Artikels
- 1 - Zusammenfassung des Goldenen Schnitts
- 2 – Wie berechnet man die goldene Zahl?
- 3 – Goldener Schnitt und die Fibonacci-Folge
- 4 – Goldener Schnitt und das goldene Rechteck
-
5 – Anwendungen des Goldenen Schnitts
- Goldener Schnitt in der Architektur
- Goldener Schnitt im menschlichen Körper
- Goldener Schnitt in der Kunst
- Goldener Schnitt in der Natur
- Goldener Schnitt im Design
- 6 – Gelöste Übungen zum Goldenen Schnitt
Zusammenfassung zum Goldenen Schnitt
Der Goldene Schnitt ist das Verhältnis für \(a>b>0\) so dass
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b\)
Unter diesen Bedingungen ist der Grund DerB wird Goldener Schnitt genannt.
Der Goldene Schnitt ist mit Vorstellungen von Gleichgewicht, Reinheit und Perfektion verbunden.
Der griechische Buchstabe ϕ (sprich: fi) stellt die Goldene Zahl dar, die die aus dem Goldenen Schnitt ermittelte Konstante ist.
In der Fibonacci-Folge nähern sich die Quotienten zwischen jedem Term und seinem Vorgänger der goldenen Zahl an.
Das Goldene Rechteck ist ein Rechteck, dessen Seiten im Goldenen Schnitt liegen.
Was ist der Goldene Schnitt?
Stellen Sie sich ein Liniensegment vor, das in zwei Teile geteilt ist: das größere Teil Der und der Kleinste B. realisieren dass a+b ist das Maß des gesamten Segments.
der Goldene Schnitt ist Gleichheit Einer der Gründe\(\mathbf{\frac{a+b}a}\) Es ist \(\mathbf{\frac{a}{b}}\), d.h
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b\)
In diesem Zusammenhang sagen wir das Der Es ist B liegen im Goldenen Schnitt.
Aber für welche Werte von Der Es ist B Haben wir den Goldenen Schnitt? Das werden wir als nächstes sehen.
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Wie berechnet man die goldene Zahl?
Der Grund \(\frac{a}b\)(oder, ebenso, der Grund \(\frac{a+b}a\)) ergibt eine Konstante, die Goldene Zahl genannt wird und wird durch den griechischen Buchstaben ϕ dargestellt. Daher ist es üblich zu schreiben
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b=ϕ\)
Um die Goldene Zahl zu berechnen, betrachten wir den Goldenen Schnitt für b = 1. Somit können wir den Wert von leicht ermitteln Der und erhalte ϕ aus der Gleichheit \(\mathbf{\frac{a}{b}=ϕ}\).
Beachten Sie, dass wir den Goldenen Schnitt mithilfe der Kreuzmultiplikationseigenschaft wie folgt schreiben können:
\(a^2=b⋅(a+b)\)
Wenn wir b = 1 einsetzen, haben wir
\(a^2=1⋅(a+1)\)
\(a^2-a-1=0\)
Anwendung der Formel von Bhaskara Für diese quadratische Gleichung schließen wir, dass die positive Lösung von Der é
\(a=\frac{1+\sqrt5}2\)
Als Der ein Maß für ein Segment ist, werden wir die negative Lösung außer Acht lassen.
Also wie \(\frac{a}b=ϕ\), Der genaue Wert der goldenen Zahl ist:
\(ϕ=\frac{1+\sqrt5}2\)
Wenn wir den Quotienten berechnen, erhalten wir Der ungefähre Wert der goldenen Zahl:
\(ϕ≈1,618033989\)
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Goldener Schnitt und die Fibonacci-Folge
A Die Fibonacci-Folge ist eine Liste von Zahlen wobei jeder Term, beginnend mit dem dritten, gleich der Summe der beiden Vorgänger ist. Schauen wir uns die ersten zehn Begriffe dieser Sequenz an:
\(a_1=1\)
\(a_2=1\)
\(a_3=1+1=2\)
\(a_4=1+2=3\)
\(a_5=2+3=5\)
\(a_6=3+5=8\)
\(a_7=5+8=13\)
\(a_8=8+13=21\)
\(a_9=13+21=34\)
\(a_{10}=21+34=55\)
Da berechnen wir den Quotienten zwischen jedem Term und seinem Vorgänger in der Fibonacci-Folge, wir nähern uns der goldenen Zahl ϕ:
\(\frac{a_2}{a_1}=\frac{1}1=1\)
\(\frac{a_3}{a_2}=\frac{2}1=2\)
\(\frac{a_4}{a_3}=\frac{3}2=1,5\)
\(\frac{a_5}{a_4}=\frac{5}3=1,6666…\)
\(\frac{a_6}{a_5}=\frac{8}5=1,6\)
\(\frac{a_7}{a_6}=\frac{13}8=1,625\)
\(\frac{a_8}{a_7}=\frac{21}{13}=1,6153…\)
\(\frac{a_9}{a_8}=\frac{34}{21}=1,61904…\)
\(\frac{a_10}{a_9}=\frac{55}{34}=1,61764…\)
Goldener Schnitt und das Goldene Rechteck
Eins Rechteck wo die längste Seite ist Der und die kleinere Seite B liegen im Goldenen Schnitt es wird das goldene Rechteck genannt. Ein Beispiel für ein goldenes Rechteck ist ein Rechteck mit einer Seitenlänge von 1 cm \(\frac{1+\sqrt5}2\) cm.
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Anwendungen des Goldenen Schnitts
Beachten Sie, dass wir den Goldenen Schnitt bisher nur in abstrakten mathematischen Kontexten untersucht haben. Als nächstes werden wir einige Anwendungsbeispiele sehen, aber Vorsicht ist geboten: Der Goldene Schnitt wird in keinem dieser Fälle genau dargestellt. Was existiert, sind Analysen verschiedener Kontexte, in denen die goldene Zahl erscheint soungefähr.
Goldener Schnitt in der Architektur
Einige Studien behaupten, dass Schätzungen der Goldmenge in bestimmten Verhältnissen der Abmessungen der Cheops-Pyramide in Ägypten und des UN-Hauptquartiergebäudes in New York beobachtet werden.
Goldener Schnitt im menschlichen Körper
Die Maße des menschlichen Körpers variieren von Mensch zu Mensch und es gibt keinen perfekten Körpertyp. Allerdings gibt es spätestens seit dem antiken Griechenland Debatten über einen mathematisch idealen (und in der Realität völlig unerreichbaren) Körper mit Maßen im Zusammenhang mit dem Goldenen Schnitt. In diesem theoretischen Kontext beispielsweise Das Verhältnis der Körpergröße einer Person zum Abstand zwischen Nabel und Boden wäre die goldene Zahl.
Goldener Schnitt in der Kunst
Es gibt Forschungen zu den Werken „Der vitruvianische Mensch“ und „Mona Lisa“ des Italieners Leonardo da Vinci, die darauf hindeuten Verwendung von goldenen Rechtecken.
Goldener Schnitt in der Natur
Es gibt Studien, die darauf hinweisen Zusammenhang zwischen dem Goldenen Schnitt und der Art und Weise, wie die Blätter bestimmter Pflanzen verteilt sind auf einem Stiel. Diese Anordnung der Blätter wird Phyllotaxie genannt.
Goldener Schnitt im Design
Der Goldene Schnitt wird auch im Bereich Design untersucht und eingesetzt Projektkompositionstool.
Übungen zum Goldenen Schnitt gelöst
Frage 1
(Enem) Ein Liniensegment wird im Goldenen Schnitt in zwei Teile geteilt, wenn das Ganze zu einem der Teile im gleichen Verhältnis steht wie dieser Teil zum anderen. Diese Proportionalitätskonstante wird üblicherweise durch den griechischen Buchstaben ϕ dargestellt und ihr Wert wird durch die positive Lösung der Gleichung ϕ2 = ϕ+1 angegeben.
Genauso wie die Kraft \(ϕ^2\), die höheren Potenzen von ϕ können in der Form ausgedrückt werden \(aϕ+b\), wobei a und b positive ganze Zahlen sind, wie in der Tabelle gezeigt.
die Potenz \(ϕ^7\), geschrieben in der Form aϕ+b (a und b sind positive ganze Zahlen), ist
a) 5ϕ+3
b) 7ϕ+2
c) 9ϕ+6
d) 11ϕ+7
e) 13ϕ+8
Auflösung
Als \(ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6\), Wir müssen
\(ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6 = ϕ⋅(8ϕ+5)\)
Anwendung des Distributivs,
\(ϕ^7=8ϕ^2+5ϕ\)
Als \(ϕ^2=ϕ+1\),
\(ϕ^7=8⋅(ϕ+1)+5ϕ\)
\(ϕ^7=13ϕ+8\)
E-Alternative.
Frage 2
Bewerten Sie jede der folgenden Aussagen zur Goldenen Zahl als T (Wahr) oder F (Falsch).
ich. Die goldene Zahl ϕ ist irrational.
II. Die Quotienten zwischen jedem Term und seinem Vorgänger in der Fibonacci-Folge nähern sich dem Wert von ϕ.
III. 1,618 ist die auf drei Dezimalstellen gerundete goldene Zahl ϕ.
Die richtige Reihenfolge, von oben nach unten, ist
a) V-V-V
b) F-V-F
c) V-F-V
d) F-F-F
e) F-V-V
Auflösung
ich. WAHR.
II. WAHR.
III. WAHR.
Alternative A.
Quellen
FRANCISCO, S. V. von L. Zwischen Faszination und Realität des Goldenen Schnitts. Dissertation (Professioneller Master-Abschluss in Mathematik im nationalen Netzwerk) – Institut für Biowissenschaften, Briefe und exakte Wissenschaften, Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho. São Paulo, 2017. Verfügbar in: http://hdl.handle.net/11449/148903.
VERKÄUFE, J. von S. Der in der Natur vorhandene Goldene Schnitt. Abschluss der Studienarbeit (Abschluss in Mathematik), Bundesinstitut für Bildung, Wissenschaft und Technologie von Piauí. Piauí, 2022. Verfügbar in http://bia.ifpi.edu.br: 8080/jspui/handle/123456789/1551.
Von Maria Luiza Alves Rizzo
Mathematiklehrer
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