Hexagon es ist das Polygon die 6 Seiten hat. Sie ist regelmäßig, wenn alle Seiten- und Innenwinkel deckungsgleich sind. Es ist unregelmäßig, wenn es diese Eigenschaften nicht hat. Der erste Fall ist der am häufigsten untersuchte, denn wenn das Sechseck regelmäßig ist, hat es spezifische Eigenschaften und Formeln, die es uns ermöglichen, seine Fläche, seinen Umfang und seinen Apothem zu berechnen.
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Zusammenfassung über Sechseck
Hexagon ist ein 6-seitiges Vieleck.
Sie ist regulär, wenn alle Seiten kongruent sind.
Es ist unregelmäßig, wenn nicht alle Seiten deckungsgleich sind.
In einem regelmäßigen Sechseck misst jeder Innenwinkel 120°.
Die Summe von Winkel Außenkanten eines regelmäßigen Sechsecks sind immer 360°.
Um die Fläche eines regelmäßigen Sechsecks zu berechnen, verwenden wir die Formel:
\(A=\frac{3L^2\sqrt3}{2}\)
Ö Umfang eines Sechsecks ist die Summe seiner Seiten. Wenn es regelmäßig ist, haben wir:
P = 6L
Der Apothem eines regelmäßigen Sechsecks wird nach folgender Formel berechnet:
\(a=\frac{\sqrt3}{2}L\)
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Was ist Sechseck?
Hexagon ist ein beliebiges Polygon hat 6 Seiten, also 6 Ecken und 6 Winkel. Da es sich um ein Polygon handelt, handelt es sich um eine geschlossene flache Figur mit Seiten, die sich nicht schneiden. Das Sechseck ist eine wiederkehrende Form in der Natur, wie in Waben, in Strukturen der organische Chemie, in den Panzern bestimmter Schildkröten und in Schneeflocken.
Videolektion über Polygone
sechseckige Elemente
Ein Sechseck besteht aus 6 Seiten, 6 Ecken und 6 Innenwinkeln.
Eckpunkte: Punkte A, B, C, D, E, F.
Seiten: die Segmente \(\overline{AB},\overline{BC},\overline{CD},\overline{DE},\overline{EF},\ \overline{AF}\).
Innenwinkel: Winkel a, b, c, d, f.
Klassifizierung von Sechsecken
Sechsecke können wie andere Polygone auf zwei Arten klassifiziert werden.
regelmäßiges Sechseck
Das Sechseck ist regelmäßig, wenn es hat all seine kongruenten Seiten – folglich werden auch ihre Winkel kongruent sein. Das regelmäßige Sechseck ist das wichtigste von allen, da es am häufigsten untersucht wird. Es ist möglich, einige seiner Aspekte, wie z. B. die Fläche, mit bestimmten Formeln zu berechnen.
Überwachung: Das regelmäßige Sechseck kann in 6 geteilt werden gleichseitige Dreiecke, also Dreiecke, bei denen alle Seiten gleich sind.
→ unregelmäßiges Sechseck
Unregelmäßiges Sechseck ist eines, das hat Seiten mit unterschiedlichen Maßnahmen. Es kann konvex oder nicht konvex sein.
konvexes unregelmäßiges Sechseck
das Sechseck ist konvex wenn du alles hast Innenwinkel kleiner als 180°.
→ Unregelmäßiges nicht konvexes Sechseck
Ein Sechseck ist nicht konvex, wenn es eine hat Innenwinkel größer als 180°.
sechseckige Eigenschaften
→ Anzahl der Diagonalen in einem Sechseck
Die erste wichtige Eigenschaft ist die In einem konvexen Sechseck gibt es immer 9 Diagonalen. Wir können diese 9 Diagonalen geometrisch finden:
Wir können die Diagonalen auch algebraisch finden, indem wir die folgende Formel verwenden:
\(d=\frac{n\left (n-3\right)}{2}\)
Wenn wir 6 in die Gleichung einsetzen, haben wir:
\(d=\frac{6\cdot\left (6-3\right)}{2}\)
\(d=\frac{6\cdot3}{2}\)
\(d=\frac{18}{2}\)
\(d=9\)
Ein konvexes Sechseck hat also immer 9 Diagonalen.
Mehr wissen: Rechteckige Blockdiagonale - Segment, das zwei seiner Eckpunkte verbindet, die sich nicht auf derselben Fläche befinden
→ Innenwinkel eines Sechsecks
In einem Sechseck ist die Die Summe seiner Innenwinkel beträgt 720°. Um diese Summe auszuführen, ersetzen Sie einfach 6 in der Formel:
\(S_i=180\links (n-2\rechts)\)
\(S_i=180\links (6-2\rechts)\)
\(S_i=180\cdot4\)
\(S_i=720\)
In einem regelmäßigen Sechseck messen die Innenwinkel immer jeweils 120°, weil
720°: 6 = 120°
→ Außenwinkel eines regelmäßigen Sechsecks
Was die Außenwinkel betrifft, wissen wir, dass die Ihre Summe ist immer gleich 360°. Da es 6 Außenwinkel gibt, misst jeder von ihnen 60°, wie z
360°: 6 = 60°
→ Regelmäßiges Sechseck Apothem
Als Apothem wird ein regelmäßiges Polygon betrachtetLiniensegment verbindet die Mitte des Polygons mit der Mittelpunkt auf deiner Seite. Wie wir wissen, besteht das regelmäßige Sechseck aus 6 gleichseitigen Dreiecken, sodass der Apothem der Höhe eines dieser gleichseitigen Dreiecke entspricht. Der Wert dieses Segments kann nach folgender Formel berechnet werden:
\(a=\frac{L\sqrt3}{2}\)
→ Umfang des Sechsecks
Um den Umfang eines Sechsecks zu berechnen, führen Sie einfach die aus Summe seiner 6 Seiten. Wenn das Sechseck regelmäßig ist, sind seine Seiten kongruent, sodass es möglich ist, den Umfang des Sechsecks mit der Formel zu berechnen:
P = 6L
→ regelmäßige sechseckige Fläche
Da wir wissen, dass das regelmäßige Sechseck aus 6 gleichseitigen Dreiecken mit den Seitenlängen L besteht, lässt sich mit Hilfe der Berechnung von eine Formel zur Berechnung seiner Fläche ableiten Bereich von einem Dreieck gleichseitig multipliziert mit 6.
\(A=6\cdot\frac{L^2\sqrt3}{4}\)
Beachten Sie, dass dies möglich ist Vereinfachung Division durch 2, Generierung der Formel zur Berechnung der Fläche des Sechsecks:
\(A=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\)
Sechseck in einem Kreis eingeschrieben
Wir sagen, dass a ein Polygon einbeschrieben ist Umfang als er befindet sich innerhalb des Kreises, und seine Eckpunkte sind Punkte davon. Wir können das regelmäßige Sechseck darstellen, das in einen Kreis eingeschrieben ist. Wenn wir diese Darstellung machen, ist es möglich zu verifizieren, dass die Länge des Radius des Kreises gleich der Länge der Seite des Sechsecks ist.
Auch wissen: Kreis und Umfang – was ist der Unterschied?
Sechseck im Kreis umschrieben
Wir sagen, dass ein Polygon von einem Kreis umschrieben wird, wenn die Umfang liegt innerhalb dieses Polygons. Wir können das umschriebene regelmäßige Sechseck darstellen. In diesem Fall ist der Kreis tangential zum Mittelpunkt jeder Seite des Sechsecks, wodurch der Radius des Kreises gleich dem Apothem des Sechsecks wird.
Prisma auf Sechskantbasis
DER Ebene Geometrie ist die Grundlage für das Studium der Räumliche Geometrie. Ö Sechseck kann an der Basis von geometrischen Körpern vorhanden sein, wie in Prismen.
Um das Volumen von a zu finden Prisma, berechnen wir das Produkt aus Grundfläche und Höhe. Da seine Basis ein Sechseck ist, ist es Volumen kann berechnet werden durch:
\(V=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h\)
Lesen Sie auch: Volumen geometrischer Körper – wie berechnet man?
Pyramide mit sechseckiger Grundfläche
Neben dem sechseckigen Prisma, es gibt auch die Pyramiden sechseckige Basis.
die zu entdecken Volumen einer Pyramide Bei einer sechseckigen Basis berechnen wir das Produkt aus der Fläche der Basis, der Höhe und teilen es durch 3.
\(V=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h: 3\)
Beachten Sie, dass wir multiplizieren und durch drei dividieren, was a ermöglicht Vereinfachung. Das Volumen einer sechseckigen Pyramide wird also nach folgender Formel berechnet:
\(V=\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h\)
Gelöste Übungen zum Sechseck
Frage 1
Ein Land ist wie ein regelmäßiges Sechseck geformt. Sie möchten dieses Gebiet mit Stacheldraht umgeben, sodass der Draht dreimal um das Gebiet herumgeht. In dem Wissen, dass insgesamt 810 Meter Draht aufgewendet wurden, um das gesamte Land einzuzäunen, misst die Fläche dieses Sechsecks ungefähr:
(Verwenden \(\sqrt3=1.7\))
A) 5102 m²
B) 5164 m²
c) 5200 m²
D) 5225 m²
E) 6329 m²
Auflösung:
AlternativeB
Der Umfang des regelmäßigen Sechsecks ist
\(P=6L\)
Da 3 Runden gefahren wurden, wurden insgesamt 270 Meter verbraucht, um eine einzelne Runde zu absolvieren, wie wir wissen:
810: 3 = 270
Also haben wir:
\(6L=270\)
\(L=\frac{270}{6}\)
\(L=45\ Meter\)
Wenn wir die Seitenlänge kennen, berechnen wir die Fläche:
\(A=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\)
\(A=3\cdot\frac{{45}^2\sqrt3}{2}\)
\(A=3\cdot\frac{2025\sqrt3}{2}\)
\(A=3\cdot1012.5\sqrt3\)
\(A=3037.5\sqrt3\)
\(A=3037.5\cdot1.7\)
\(A=5163,75m^2\)
Runden erhalten wir:
\(A\ca.5164m^2\)
Frage 2
(PUC - RS) Für ein mechanisches Zahnrad möchten Sie ein Teil mit einer regelmäßigen sechseckigen Form herstellen. Der Abstand zwischen den parallelen Seiten beträgt 1 cm, wie in der Abbildung unten gezeigt. Die Seite dieses Sechsecks misst ______ cm.
DER) \(\frac{1}{2}\)
B) \(\frac{\sqrt3}{3}\)
C) \(\sqrt3\)
D) \(\frac{\sqrt5}{5}\)
E) 1
Auflösung:
AlternativeB
In Bezug auf das regelmäßige Sechseck wissen wir, dass sein Apothem das Maß von der Mitte zum Mittelpunkt einer der Seiten ist. Somit ist das Apothem die Hälfte der im Bild angegebenen Entfernung. Also müssen wir:
\(2a=1cm\)
\(a=\frac{1}{2}\)
Das Apothem ist dann gleich \(\frac{1}{2}\). Es besteht eine Beziehung zwischen den Seiten des Sechsecks und dem Apothem, denn in einem regelmäßigen Sechseck haben wir:
\(a=\frac{L\sqrt3}{2}\)
Da wir den Wert des Apothems kennen, können wir substituieren \(a=\frac{1}{2}\) in der Gleichung:
\(\frac{1}{2}=\frac{L\sqrt3}{2}\)
\(1=L\sqrt3\)
\(L\sqrt3=1\)
\(L=\frac{1}{\sqrt3}\)
Rationalisierung des Bruchs:
\(L=\frac{1}{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{\sqrt3}\)
\(L=\frac{\sqrt3}{3}\)
Von Raúl Rodrigues de Oliveira
Mathematiklehrer
