Stellen Sie sich vor, Sie spielen mit Murmeln, um Dreiecke zu bilden. Sie können sich zunächst vorstellen, dass eine Kugel wie ein kleines Dreieck ist:
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Dann platzierst du zwei Murmeln darunter und bildest die drei Eckpunkte von a Dreieck:
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Wenn Sie drei weitere Kugeln darunter platzieren, entsteht ein weiteres Dreieck:
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Bei jedem Schritt des Hinzufügens von Kugeln in Bezug auf die zuvor platzierte Menge werden immer Dreiecke gebildet. Sehen Sie sich das Dreieck an, das durch Hinzufügen von vier weiteren Kugeln gebildet wird:
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Die Gesamtzahl der Kugeln in jedem Schritt kennzeichnet eine Klasse von Zahlen, die als bezeichnet werden Dreieckszahlen. Der Mathematiker Karl Friedrich Gauß entdeckte eine Formel zur Angabe der Gesamtmenge in jedem Dreieck, wobei S1entsprach dem ersten Dreieck, S2, zum zweiten Dreieck usw. Die von Gauß beschriebenen Summen begannen mit ein und, In jeder Phase wurde eine Zahl hinzugefügt, die einer Einheit über der zuletzt hinzugefügten Zahl entsprach:
S1 = 1
S2= 1 + 2 = 3
S3 = 1 + 2 + 3 = 6
S4= 1 + 2 + 3 + 4 = 10
S5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
Das Ergebnis dieser Summen waren die Dreieckszahlen: 1, 3, 6, 10, 15... Beachten Sie, dass in jeder dieser Summen ein Muster festgelegt ist. Wenn wir genau hinschauen, können wir sehen, dass jeder von ihnen ein arithmetische Progression aus Grund 1. Also hier ist der Gauss-Summe, die festlegt, dass wir bei einer konstanten Verhältnissumme, wenn wir das erste Element zum letzten addieren, dasselbe Ergebnis erhalten, wie wenn wir das zweite Element zum vorletzten addieren. Sehen wir uns an, wie der Gauss-Summenprozess für Summen abläuft. S6 und S7:
Gauss-Summenprozess angewendet auf die Summe von Dreieckszahlen
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wenn halt S6 und S7 wir haben die Summen aus dem obigen Bild, lassen Sie uns diese Summe reproduzieren für S8, S9, S10 und S11:
S8 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 4.9 = 36
S9= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 4.10 + 5 = 45
S10= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 5.11 = 55
S11= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11= 5.12 + 6 = 66
Wir können verallgemeinern, um eine Summe zu erhalten für SNein:
SNein = n. (n+1), falls n gerade ist
2
SNein = (n - 1).(n+1) + (n - 1) + 1, falls n ungerade ist
2 2
genau wie in Zahlenmagie, können wir eine weitere interessante Tatsache über Dreieckszahlen zeigen: die Summe aufeinanderfolgender Dreieckszahlen führt immer zu Zahlen, die sich als perfekte Quadrate klassifizieren lassen, d. h. Zahlen mit Wurzel Quadrat. Mal sehen:
S1 + S2 = 1 + 3 = 4
S2 + S3 = 3 + 6 = 9
S3 + S4 = 6 + 10 = 16
S4 + S5 = 10 + 15 = 25
S5 + S6 = 15 + 21 = 36
S6 + S7 = 21 + 28 = 49
S7 + S8 = 28 + 36 = 64
S8 + S9 = 36 + 45 = 81
S9 + S10 = 45 + 55 = 100
S10 + S11 = 55 + 66 = 121
Die erhaltenen Ergebnisse 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 und 121 sind allesamt perfekte Quadrate.
Von Amanda Gonçalves
Abschluss in Mathematik
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RIBEIRO, Amanda Gonçalves. "Dreieckszahlen"; Brasilien Schule. Verfügbar in: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-triangulares.htm. Zugriff am 27. Juli 2021.
