DAS Bruch erzeugen und der Bruchdarstellung eines periodischen Zehnten. Diese Darstellung ist eine wichtige Strategie bei der Lösung von Problemen mit grundlegenden mathematischen Operationen, die periodische Dezimalzahlen beinhalten. Um es zu finden, können wir Gleichungstechniken sowie eine praktische Methode verwenden.
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Was ist ein periodischer Zehnter?
Bevor Sie verstehen, was ein Generatrix-Bruch ist, ist es wichtig zu verstehen, was eine periodische Dezimalzahl ist. Es gibt zwei mögliche Fälle von periodische Zehnten: die einfache periodische Dezimalzahl und die zusammengesetzte periodische Dezimalzahl. Ein periodischer Zehnter ist a Dezimalzahl mit unendlichem und periodischem Dezimalteil.
einfacher periodischer Zehnter
Die einfache periodische Dezimalzahl setzt sich aus einem ganzzahligen und einem dezimalen Teil zusammen. DAS Dezimalteil ist die Wiederholung deiner Periode, wie in den Beispielen unten gezeigt.
Beispiele:
a) 1.2222...
ganzer Teil → 1
Dezimalteil → 0,2222…
Zeitverlauf → 2
b) 3.252525...
ganzer Teil → 3
Dezimalteil → 0,252525…
Zeitverlauf → 25
c) 0,8888...
ganzer Teil → 0
Dezimalteil → 0,8888
Zeitverlauf → 8
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zusammengesetzter periodischer Zehnter
Eine zusammengesetzte periodische Dezimalzahl ist eine Dezimalzahl, die einen ganzzahligen Teil, einen Dezimalteil und in seinem Dezimalteil ein nichtperiodischer Teil — bekannt als die Antiperiode – und die Periode.
Beispiele:
a) 2.0666...
ganzer Teil → 2
Dezimalteil→ 0,0666…
Antiperiode → 0
Zeitverlauf → 6
b) 13.518888...
ganzer Teil → 13
Dezimalteil → 0,51888…
Antiperiode → 51
Zeitverlauf → 8
c) 0.109090909...
ganzer Teil → 0
Dezimalteil → 0,10909090
Antiperiode → 1
Zeitverlauf → 09
Lesen Sie auch: Was sind äquivalente Brüche?
Was ist generativer Bruch?
erzeugender Bruch ist die gebrochene Darstellung der periodischen Dezimalzahl, sei es einfach, sei es komponiert. Wie der Name schon sagt, generiert der erzeugende Bruch den Zehnten, wenn wir teilen der Zähler durch den Nenner der Bruchdarstellung.
Beispiele:
Schritt für Schritt zur Berechnung des erzeugenden Bruchs
Schauen wir uns Schritt für Schritt die einfache periodische Dezimalzahl und die zusammengesetzte periodische Dezimalzahl an.
einfache periodische Zehnten
Um den erzeugenden Bruch einer einfachen periodischen Dezimalzahl zu finden, müssen einige Schritte ausgeführt werden, nämlich:
1. Schritt: gleich der periodischen Dezimalzahl zu x.
2. Schritt: entsprechend der Anzahl der Stellen in der Periode multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit:
10 → wenn der Punkt 1 Ziffer enthält;
100 → wenn der Punkt 2 Stellen hat;
1000 → wenn der Punkt 3 Stellen hat; und so weiter.
3. Schritt: Berechnen Sie die Differenz zwischen den Gleichung gefunden in Schritt 2 und die Gleichung gleich x in Schritt 1 und lösen Sie die Gleichung.
Beispiel 1:
Finden Sie den erzeugenden Bruch der 1.444 Dezimalzahlen…
x = 1,4444…
Die Periode ist 4 und da es nur eine Ziffer in der Periode gibt, werden wir sie mit 10 von beiden Seiten multiplizieren:
10x = 1,444… · 10
10x = 14,444...
10x - x = 14,444.. – 0,444…
9x = 14
x = 14/9
Der erzeugende Bruchteil des Zehnten ist also:
Beispiel 2:
Finden Sie den erzeugenden Bruch der periodischen Dezimalzahl 3,252525…
x = 3,252525…
Die Periode ist 25 und da sie 2 Stellen hat, multiplizieren wir sie mit 100.
100x = 3,252525… · 100
100x = 325,252525...
Berechnen Sie nun die Unterschied zwischen 100x und x:
100x - x = 325,2525... - 3,252525...
99x = 322
x = 322/99
Der erzeugende Bruchteil des Zehnten ist also:
zusammengesetzter periodischer Zehnter
Wenn die periodische Dezimalzahl zusammengesetzt ist, ändert sich das wir haben einen neuen schritt hinzugefügt in der Auflösung, um den erzeugenden Bruch zu finden.
1. Schritt: gleich der periodischen Dezimalzahl zu x.
2. Schritt: wandeln Sie die zusammengesetzte periodische Dezimalzahl in eine einfache periodische Dezimalzahl um, indem Sie mit:
10, wenn die Antiperiode 1 Ziffer enthält;
100, wenn die Antiperiode 2 Ziffern enthält; und so weiter.
3. Schritt: entsprechend der Anzahl der Stellen in der Periode multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit:
10 → wenn der Punkt 1 Ziffer enthält;
100 → wenn der Punkt 2 Stellen hat;
1000 → wenn der Punkt 3 Stellen hat; und so weiter.
4. Schritt: Berechnen Sie die Differenz zwischen der in Schritt 3 und Schritt 2 gefundenen Gleichung und lösen Sie die Gleichung.
Beispiel:
Finden Sie den erzeugenden Bruchteil des 5.0323232 Zehnten…
x = 5,0323232...
Beachten Sie, dass die Antiperiode 1 Ziffer enthält, die 0 ist. Wir multiplizieren es mit 10, um es zu einer periodischen Dezimalzahl zu machen.
10x = 5.0323232... · 10
10x = 50,332232...
Lassen Sie uns nun die Periode identifizieren, die 32 ist. Da es 2 Ziffern gibt, multiplizieren wir den Zehnten mit 100.
1000x = 5032.323232...
Nun berechnen wir die Differenz zwischen 1000x und 10x:
1000x - 10x = 5032.323232... - 50.323232...
990x = 4982
x=4982/990
Der erzeugende Bruch ist also:
Auch sehen: Wie entsteht eine gemischte Zahl?
praktische Methode
Wir verwenden die praktische Methode, um erleichtern das Finden des erzeugenden Bruchs der periodischen Dezimalzahl. Betrachten wir zwei verschiedene Fälle: wenn die periodische Dezimalzahl einfach ist und wenn sie zusammengesetzt ist.
Praktische Methode für einfache periodische Zehnten
In einer einfachen periodischen Dezimalzahl lautet die praktische Methode:
1. Schritt: schreibe die Summe zwischen dem ganzzahligen Teil und dem Dezimalteil der periodischen Dezimalzahl;
2. Schritt: wandeln Sie den Dezimalteil wie folgt in einen Bruch um: Der Zähler ist immer der Punkt und der Nenner ist:
9 → wenn der Punkt 1 Ziffer enthält;
99 → wenn der Punkt 2 Stellen hat;
999 → wenn der Punkt 3 Stellen hat; und so weiter.
3. Schritt: Summiere den ganzzahligen Teil mit dem gefundenen Bruch.
Beispiel:
5,888…
5,888… = 5 + 0,888…
Indem wir 0,888... in einen Bruch umwandeln, haben wir Zähler gleich 8, da 8 die Periode des Bruchs ist, und Nenner gleich 9, da es nur 1 Ziffer in der Periode gibt, also:
Praktische Methode für periodische zusammengesetzte Zehnten
Beispiel:
Wir finden den erzeugenden Bruchteil der 4.1252525 Zehnten…
Zuerst identifizieren wir den gesamten Teil, die Antiperiode und die Periode des zusammengesetzten Zehnten:
Ganzes Teil: 4
Antiperiode: 1
Zeitraum: 25
Der Zähler des zusammengesetzten Zehnten ist die Differenz zwischen der Zahl, die durch die Ziffern des ganzen Teils, der Antiperiode und der Periode gebildet wird, und der Zahl, die durch den ganzen Teil und die Antiperiode gebildet wird.
4125 – 41 =4084
Im Nenner addieren wir für jede Zahl in der Periode a 9 und dann für jede Zahl im nichtperiodischen Teil a 0.
der Zeitraum ist 25, also fügen wir hinzu 99; die Antiperíalles ist 1, also fügen wir hinzu 0, dann der Nenner é990.
Der erzeugende Bruchteil des Zehnten ist:
Übungen gelöst
Frage 1 - Bei der Division zwischen zwei natürlichen Zahlen wurde die periodische Dezimalzahl 1,353535 gefunden… Der erzeugende Bruch dieser Dezimalzahl ist:
Auflösung
Alternative C.
Wir machen x = 1,353535…
Wenn wir auf beiden Seiten mit 100 multiplizieren, müssen wir:
100x = 135,3535…
Jetzt berechnen wir die Differenz zwischen 100x und x.
Frage 2 - Wenn x = 0,151515… und y = 0,242424…, ist die Division y: x gleich?
Auflösung
Alternative A.
Um die erzeugenden Brüche mit der praktischen Methode zu finden, müssen wir:
x = 0,151515…
Der Zehnte hat eine Periode von 15, also ist sein Zähler 15 und der Nenner 99.
Mit der gleichen Begründung für y = 0,242424… ist der Zähler 24 und der Nenner 99.
Von Raul Rodrigues de Oliveira
Mathematiklehrer
