Numerische Set-Übungen

Sie numerische Sätze umfassen die folgenden Sätze: Naturals (ℕ), Integers (ℤ), Rationals (ℚ), Irrationals (I), Reals (ℝ) und Complexes (ℂ).

Nutzen Sie die kommentierten Übungen, um Ihr Wissen zu diesem wichtigen Thema der Mathematik zu überprüfen.

Frage 1

Welche Aussage unten ist richtig?

a) Jede ganze Zahl ist rational und jede reelle Zahl ist eine ganze Zahl.
b) Der Schnittpunkt der Menge der rationalen Zahlen mit der Menge der irrationalen Zahlen hat 1 Element.
c) Die Zahl 1.83333... ist eine rationale Zahl.
d) Die Division zweier ganzer Zahlen ist immer eine ganze Zahl.

Siehe Antwort

Richtige Alternative: c) Die Zahl 1.83333... ist eine rationale Zahl.

Schauen wir uns jede der Aussagen an:

a) Falsch. Tatsächlich ist jede ganze Zahl rational, da sie in Form eines Bruchs geschrieben werden kann. Beispielsweise kann die Zahl -7, die eine ganze Zahl ist, als Bruch als -7/1 geschrieben werden. Allerdings ist nicht jede reelle Zahl eine ganze Zahl, zum Beispiel ist 1/2 keine ganze Zahl.

b) Falsch. Die Menge der rationalen Zahlen hat mit den irrationalen keine Zahl gemeinsam, da eine reelle Zahl entweder rational oder irrational ist. Daher ist die Schnittmenge eine leere Menge.

c) Richtig. Die Nummer 1.83333... es ist ein periodischer Zehnter, weil sich die Ziffer 3 unendlich wiederholt. Diese Zahl kann als Bruch als 11/6 geschrieben werden, ist also eine rationale Zahl.

d) Falsch. Zum Beispiel ist 7 geteilt durch 3 gleich 2,33333..., was eine periodische Dezimalzahl ist, also keine ganze Zahl.

Frage 2

Der Wert des folgenden Ausdrucks ist, wenn a = 6 und b = 9 ist:

a) eine ungerade natürliche Zahl
b) eine Zahl, die zur Menge der irrationalen Zahlen gehört
c) ist keine reelle Zahl
d) eine ganze Zahl, deren Modul größer als 2. ist

Siehe Antwort

Richtige Alternative: d) eine ganze Zahl, deren Modul größer als 2 ist.

Lassen Sie uns zunächst die Buchstaben durch die angegebenen Werte ersetzen und den Ausdruck lösen:

Beachten Sie, dass (-6)² ist anders als - 6², kann die erste Operation wie folgt ausgeführt werden: (-6)² = (- 6). (- 6) = 36. Ohne die Klammern wird nur 6 quadriert, dh - 6² = - (6.6) = -36.

In Fortsetzung der Auflösung haben wir:

Beachten Sie, dass es in der Menge der reellen Zahlen eine negative Wurzel gibt, da der Index der Wurzel eine ungerade Zahl (kubische Wurzel) ist. Wenn der Wurzelindex eine gerade Zahl wäre, wäre das Ergebnis eine komplexe Zahl.

Lassen Sie uns nun jede der vorgestellten Optionen analysieren:

Die Option Das ist falsch, weil die Antwort eine negative Zahl ist, die nicht zur Menge der natürlichen Zahlen gehört.

Die Zahl - 3 ist keine unendliche nichtperiodische Dezimalzahl, also keine irrationale, daher der Buchstabe B es ist auch nicht die richtige lösung.

Der Buchstabe ç ist auch falsch, da die Zahl - 3 eine Zahl ist, die zur Menge der reellen Zahlen gehört.

Die richtige Option kann nur der Buchstabe sein d und tatsächlich ist das Ergebnis des Ausdrucks eine ganze Zahl und der Modulo von -3 ist 3, was größer als 2 ist.

Frage 3

Welche Alternative in den Mengen (A und B) in der folgenden Tabelle stellt eine Inklusionsbeziehung dar?

Siehe Antwort

Richtige Alternative: a)

Alternative "a" ist die einzige, bei der ein Satz in einem anderen enthalten ist. Set A enthält Set B oder Set B ist in A enthalten.

Welche Aussagen sind also richtig?

I - A C B
II - B C A
III - A B
IV - B Ɔ A

a) I und II.
b) I und III.
c) I und IV.
d) II und III.
e) II und IV

Siehe Antwort

Richtige Alternative: d) II und III.

I - Falsch - A ist nicht in B enthalten (A Ȼ B).
II - Richtig - B ist in A. enthalten (B C A).
III - Richtig - A enthält B (B A).
IV - Falsch - B enthält kein A (B A).

Frage 4

Wir haben die Menge A = {1, 2, 4, 8 und 16} und die Menge B = {2, 4, 6, 8 und 10}. Wo befinden sich gemäß den Alternativen die Elemente 2, 4 und 8?

Siehe Antwort

Richtige Alternative: c).

Die Elemente 2, 4 und 8 sind beiden Sätzen gemeinsam. Sie befinden sich daher in der Teilmenge A ∩ B (A-Schnittpunkt mit B).

Frage 5

Welches Bild repräsentiert A U (B ∩ C) bei gegebenen Mengen A, B und C?

Siehe Antwort

Richtige Alternative: d)

Die einzige Alternative, die die Anfangsbedingung von B ∩ C (wegen der Klammern) und später die Vereinigung mit A erfüllt.

Frage 6

Es wurde eine Umfrage durchgeführt, um das Kaufverhalten der Verbraucher in Bezug auf drei Produkte zu erfahren. Die Recherche ergab folgende Ergebnisse:

• 40% kaufen Produkt A.
• 25% kaufen Produkt B.
• 33% kaufen Produkt C.
• 20% kaufen die Produkte A und B.
• 5% kaufen die Produkte B und C.
• 19% kaufen die Produkte A und C.
• 2% kaufen alle drei Produkte.

Beantworten Sie basierend auf diesen Ergebnissen:

a) Wie viel Prozent der Befragten kaufen keines dieser Produkte?
b) Wie viel Prozent der Befragten kaufen Produkt A und B und kaufen Produkt C nicht?
c) Wie viel Prozent der Befragten kaufen mindestens eines der Produkte?

Siehe Antwort

Antworten:
a) 44% der Befragten konsumieren keines der drei Produkte.
b) 18% der Menschen, die beide Produkte (A und B) konsumieren, konsumieren Produkt C nicht.
c) 56% der Befragten konsumieren mindestens eines der Produkte.

Um dieses Problem zu lösen, erstellen wir ein Diagramm, um die Situation besser zu visualisieren.

Wir müssen immer am Schnittpunkt der drei Mengen beginnen. Dann schließen wir den Wert der Schnittmenge zweier Mengen ein und schließlich den Prozentsatz der Leute, die nur eine einzige Produktmarke kaufen.

Es ist festzustellen, dass der Prozentsatz der Personen, die zwei Produkte konsumieren, auch den Prozentsatz der Personen umfasst, die die drei Produkte konsumieren.

Daher geben wir im Diagramm den Prozentsatz derer an, die konsumieren nur zwei Produkte. Dazu müssen wir den Prozentsatz derer, die die drei Produkte konsumieren, von denjenigen abziehen, die zwei konsumieren.

Beispielsweise beträgt der angegebene Prozentsatz, der Produkt A und Produkt B konsumiert, 20 %, dieser Wert bezieht sich jedoch auf die 2 %, die sich darauf beziehen, wer die drei Produkte konsumiert.

Durch Subtrahieren dieser Werte, dh 20 % - 2 % = 18 %, erhalten wir den Prozentsatz der Verbraucher, die nur die Produkte A und B kaufen.

Unter Berücksichtigung dieser Berechnungen sieht das Diagramm für die beschriebene Situation wie in der folgenden Abbildung aus:

Anhand dieses Diagramms können wir nun die vorgeschlagenen Fragen beantworten.

Das) Der Prozentsatz derjenigen, die kein Produkt kaufen, ist gleich dem Ganzen, dh 100%, außer dass sie ein Produkt konsumieren. Wir müssen also folgende Berechnung durchführen:

100 - (3 + 18 + 2 + 17 + 2 + 3 + 11) = 100 - 56 = 44%

Bald, 44% der Befragten konsumieren keines der drei Produkte.

B) Der Prozentsatz der Verbraucher, die Produkt A und B kaufen und Produkt C nicht kaufen, ergibt sich durch Subtraktion von:

20 - 2 = 18%

Deshalb, 18% der Menschen, die beide Produkte (A und B) konsumieren, konsumieren Produkt C nicht.

ç) Um den Prozentsatz der Personen zu ermitteln, die mindestens eines der Produkte konsumieren, addieren Sie einfach alle Werte im Diagramm. Also haben wir:

3 + 18 + 2 + 17 + 2 + 3 + 11 = 56%

So, 56% der Befragten konsumieren mindestens eines der Produkte.

Frage 7

(Enem/2004) Ein Kosmetikhersteller beschließt, drei verschiedene Kataloge seiner Produkte zu erstellen, die sich an unterschiedliche Zielgruppen richten. Da einige Produkte in mehr als einem Katalog vorkommen und eine ganze Seite belegen, beschließt er, eine Zählung durchzuführen, um die Kosten für Druckvorlagen zu senken. Die Kataloge C1, C2 und C3 werden 50, 45 bzw. 40 Seiten umfassen. Beim Vergleich der Entwürfe aus jedem Katalog stellt er fest, dass C1 und C2 10 Seiten gemeinsam haben; C1 und C3 haben 6 Seiten gemeinsam; C2 und C3 haben 5 gemeinsame Seiten, davon 4 auch auf C1. Bei den entsprechenden Berechnungen kam der Hersteller zu dem Schluss, dass er für die Zusammenstellung der drei Kataloge insgesamt Druckvorlagen in Höhe von:

a) 135
b) 126
c) 118
d) 114
e) 110

Siehe Antwort

Richtige Alternative: c) 118

Wir können diese Frage lösen, indem wir ein Diagramm erstellen. Beginnen wir dazu mit den Seiten, die den drei Katalogen gemeinsam sind, also 4 Seiten.

Von dort aus geben wir die Werte an und subtrahieren die bereits berücksichtigten. Somit sieht das Diagramm wie folgt aus:

Die Werte wurden durch folgende Berechnungen ermittelt:

• Schnittpunkt C1, C2 und C3: 4
• Schnittpunkt C2, C3: 5 - 4 = 1
• Schnittpunkt C1 und C3: 6 - 4 = 2
• Schnittpunkt C1 und C2: 10 - 4 = 6
• Nur C1: 50 - 12 = 38
• Nur C2: 45 - 11 = 34
• Nur C3: 40 - 7 = 33

Um die Anzahl der Seiten zu ermitteln, addieren Sie einfach alle diese Werte, dh:

4 + 1 + 2 + 6 + 38 +34 + 33 = 118

Frage 8

(Enem/2017) Bei diesem Thermometermodell erfassen die Filets die minimalen und maximalen Temperaturen des Vortages und die grauen Filets erfassen die aktuelle Umgebungstemperatur, d. h. zum Zeitpunkt des Ablesens der Thermometer.

Es hat also zwei Spalten. Links sind die Zahlen von -30 °C bis 50 °C aufsteigend von oben nach unten. In der rechten Spalte sind die Zahlen aufsteigend von unten nach oben von -30°C bis 50°C geordnet.

Das Auslesen erfolgt wie folgt:

• die Mindesttemperatur wird durch das untere Niveau des schwarzen Filets in der linken Spalte angezeigt.
• die maximale Temperatur wird durch die untere Ebene des schwarzen Filets in der rechten Spalte angezeigt.
• die aktuelle temperatur wird durch die oberste ebene in den grauen leisten in den beiden spalten angezeigt.

Was ist die nächste maximale Temperatur, die auf diesem Thermometer aufgezeichnet wurde?

a) 5 °C
b) 7°C
c) 13°C
d) 15 °C
e) 19°C

Siehe Antwort

Richtige Alternative: e) 19°C

Um das Problem zu beheben, lesen Sie einfach die Skala in der rechten Spalte des schwarzen Filets ab, die den maximalen Temperaturrekord darstellt.

Frage 9

(Enem /2017) Das Ergebnis einer Wahlbefragung zur Wählerpräferenz in Bezug auf zwei Kandidaten wurde in Grafik 1 dargestellt.

Als dieses Ergebnis in einer Zeitung veröffentlicht wurde, wurde Grafik 1 während des Layouts geschnitten, wie in Grafik 2 gezeigt.

Obwohl die dargestellten Werte korrekt sind und die Breite der Spalten gleich ist, viele Leser kritisierte das Format von Graph 2, das in der Zeitung gedruckt wurde, und behauptete, dass der Kandidat visuelle Schäden erlitten habe B. Der Unterschied zwischen den Höhenverhältnissen von Spalte B zu Spalte A in den Grafiken 1 und 2 beträgt:

a) 0
b) 1/2
c) 1/5
d) 2/15
e) 8/35

Siehe Antwort

Richtige Alternative: e) 8/35

Um das Problem zu lösen, müssen wir zunächst das Verhältnis der Höhe von Spalte B zu Spalte A in den beiden Diagrammen ermitteln. Diese Verhältnisse werden ermittelt, indem man zählt, wie viele Unterteilungen sich in jeder Spalte befinden.

Beachten Sie, dass in Diagramm 1 Spalte A in 7 gleiche "Stücke" unterteilt ist, während Spalte B in 3 unterteilt ist. In Diagramm 2 ist Spalte A in 5 gleiche "Teile" und Spalte B in nur 1 unterteilt.

Daher können die Fraktionen, die das Verhältnis der Höhe von Spalte B zu Spalte A darstellen, angegeben werden durch indicated

Lösen Sie nun einfach die Subtraktion zwischen diesen beiden Brüchen, also haben wir:

Frage 10

(Enem/2018) Um ein Logo zu erstellen, möchte ein Profi im Bereich Grafikdesign es aus den ebenen Punkten in Form eines Dreiecks erstellen, genau wie im Bild gezeigt.

Um ein solches Bild mit einem Grafikwerkzeug zu erstellen, ist es notwendig, die Menge, die die Punkte dieser Grafik darstellt, algebraisch zu schreiben.

Diese Menge wird durch die geordneten Paare (x; j) ℕ x ℕ, so dass
a) 0. x ≤ y ≤ 10
b) 0 ≤ y ≤ x ≤ 10
c) 0 ≤ x ≤ 10, 0 ≤ y ≤ 10
d) 0 ≤ x + y ≤ 10
e) 0 x + y ≤ 20

Siehe Antwort

Richtige Alternative: b) 0 ≤ y ≤ x ≤ 10

Beachten Sie, dass die in der Frage ausgedrückte Zahl sowohl auf der y- als auch auf der x-Achse die natürlichen Zahlen (ℕ x ℕ) zwischen 0 und 10. Wir müssen: 0 ≤ j ≤ 10 und 0 ≤ x ≤ 10.

Also: y = (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) und x = (0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, 10 ). Die abgebildete Figur ist jedoch ein Dreieck. Um diese Bedingung zu erfüllen, in geordneten Paaren y kann nicht größer als x sein.

Beachten Sie, dass die Werte von y durch Gleichheit mit den Werten von x begrenzt sind und die Hypotenuse dieses rechtwinkligen Dreiecks bilden: (0,0), (1;1), (2;2), (3;3 ), (4; 4), (5;5)...(10;10).

Somit müssen wir: y ≤ x.

Bald, 0 ≤ y ≤ x ≤ 10.

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