Wir gründeten a Besetzung wenn wir eine oder mehrere Größen in Beziehung setzen. Dank der Entwicklung in diesem Bereich der Mathematik kann ein Teil der Naturphänomene untersucht werden. Das Studium der Funktionen gliedert sich in zwei Teile, wir haben den allgemeinen Teil, in dem wir die KonzepteAllgemeines, und der spezifische Teil, in dem wir die besondere Fälle, wie Polynomfunktionen und Exponentialfunktionen.
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Was sind Funktionen?
Eine Funktion ist eine Anwendung, die verbindet die Elemente von zwei Sätze nicht leer. Betrachten Sie zwei nichtleere Mengen A und B, wobei eine Funktion f sich beziehen jeder Element von A bis einziger Element von B.
Um diese Definition besser zu verstehen, stellen Sie sich eine Taxifahrt vor. Für jede Fahrt, d. h. für jede zurückgelegte Strecke, gibt es einen anderen und einzigartigen Preis, d. h. es macht keinen Sinn, dass eine Fahrt zwei unterschiedliche Preise hat.
Wir können diese Funktion, die Elemente von Menge A zu Menge B bringt, auf folgende Weise darstellen.
Beachten Sie, dass es für jedes Element der Menge A a einzelnes verwandtes Element mit ihm in Satz B. Nun können wir uns doch überlegen, wann eine Beziehung zwischen zwei Mengen keine Funktion sein wird? Nun, wenn ein Element der Menge A mit zwei verschiedenen Elementen von B verbunden ist oder wenn es Elemente der Menge A gibt, die nicht mit Elementen von B verbunden sind. Aussehen:
Im Allgemeinen können wir eine Funktion wie folgt algebraisch schreiben:
f: A → B
x → y
Beachten Sie, dass die Funktion Elemente aus der Menge A (dargestellt durch x) nimmt und sie zu Elementen von B (dargestellt durch y) bringt. Wir können auch sagen, dass die Elemente der Menge B durch die Elemente der Menge A gegeben sind, also können wir y darstellen durch:
y = f(x)
Es lautet: (y ist gleich f von x)
Domain, Co-Domain und Image einer Rolle
Wenn wir eine Rolle haben f, die zusammenhängenden Mengen erhalten spezielle Namen. Betrachten Sie also eine Funktion f die Elemente aus Menge A zu Elementen aus Menge B bringt:
f: A → B
Die Menge A, von der die Beziehungen ausgehen, heißt Domain der Funktion, und die Menge, die die "Pfeile" dieser Beziehung erhält, heißt Gegendomäne. Wir bezeichnen diese Mengen wie folgt:
Df = A → Domäne von f
CDf = B → Gegendomäne von f
Die Teilmenge des Gegenbereichs einer Funktion, die von Elementen gebildet wird, die sich auf Elemente der Menge beziehen, heißt Bild der Funktion und wird bezeichnet durch:
Ich binf → Bild von f
- Beispiel
Betrachten Sie die im Diagramm unten dargestellte Funktion f: A → B und bestimmen Sie den Bereich, den Gegenbereich und das Bild.
Wie gesagt, die Menge A = {1, 2, 3, 4} ist das Gebiet der Funktion f,während die Menge B = {0, 2, 3, –1} der Gegenbereich derselben Funktion ist. Beachten Sie nun, dass die Menge, die von Elementen gebildet wird, die den Pfeil (in orange) erhalten, von den Elementen {0, 2, –1} gebildet wird, eine Teilmenge des Gegenbereichs B ist, diese Menge ist das Abbild der Funktion f, so:
Df = A = {1, 2, 3, 4}
CDf = B = {0, 2, 3, -1}
Ich binf = {0, 2, –1}
Wir sagen, dass die 0 ist Elementbild 1 der Domain, sowie die 2 es ist das bild der elemente 2 und 3 der Domäne und –1 ist Elementbild 4 der Domäne. Um mehr über diese drei Konzepte zu erfahren, lesen Sie: DDomain, Co-Domain und Bild.
Surjektive Funktion
Eine Funktion f: A → B ist surjektiv oder surjektiv, wenn, und nur dann, die Bildmenge mit der Gegendomäne übereinstimmt, d. h. wenn alle Elemente der Gegendomäne Bilder sind.
Wir sagen dann, dass eine Funktion surjektiv ist, wenn alle Elemente des Gegenbereichs Pfeile erhalten. Wenn Sie tiefer in diese Art von Funktion einsteigen möchten, besuchen Sie unseren Text: Overjet-Funktion.
Injektive Funktion
Eine Funktion f: A → B wird genau dann injektiv oder injektiv sein, wenn unterschiedliche Elemente der Domäne unterschiedliche Bilder in der Gegendomäne haben, d. h. Gleiche Bilder werden durch gleiche Elemente der Domain erzeugt.
Beachten Sie, dass die Bedingung darin besteht, dass sich verschiedene Elemente der Domäne auf verschiedene Elemente der Gegendomäne beziehen, wobei es kein Problem mit verbleibenden Elementen in der Gegendomäne gibt. Um dieses Konzept besser zu verstehen, können Sie den Text lesen: Injektorfunktion.
Bijektorfunktion
Eine Funktion f: A → B ist genau dann bijektiv, wenn Injektor und Surjektor gleichzeitigd. h. unterschiedliche Elemente der Domäne haben unterschiedliche Bilder, und das Bild stimmt mit der Gegendomäne überein.
- Beispiel
Begründen Sie jeweils, ob die Funktion f (x) = x2 es ist Injektor, Surjektor oder Bijektor.
Das) f: ℝ+ → ℝ
Beachten Sie, dass der Bereich der Funktion alle positiven reellen Zahlen und der Zählerbereich alle reellen Zahlen sind. Wir wissen, dass die Funktion f gegeben ist durch f (x) = x2, stellen Sie sich jetzt vor, dass alle positiven reellen Zahlen hoch quadriert, werden alle Bilder auch positiv sein. Daraus können wir schließen, dass die Funktion injizierend und nicht surjektiv ist, da negative reelle Zahlen keine Pfeile erhalten.
Es ist injizierend, da jedes Element der Domäne (ℝ+) bezieht sich nur auf ein Element der Gegendomäne (ℝ).
B) f: ℝ → ℝ+
Die Funktion hat in diesem Fall den Bereich als alle reellen Zahlen und den Gegenbereich als positive reelle Zahlen. Wir wissen, dass jede quadrierte reelle Zahl positiv ist, daher haben alle Elemente des Gegenbereichs Pfeile erhalten, sodass die Funktion surjektiv ist. Es wird nicht injiziert, da sich Domänenelemente auf zwei Gegendomänenelemente beziehen, zum Beispiel:
f(–2) = (–2)2 = 4
f(2) = (2)2 = 4
ç) f:ℝ+ → ℝ+
In diesem Beispiel hat die Funktion Domäne und Gegendomäne als positive reelle Zahlen, also ist die Funktion Bijektor, denn jede positive reelle Zahl bezieht sich auf eine einzelne reelle Zahl positiv der Gegendomäne, in diesem Fall das Quadrat der Zahl. Außerdem erhielten alle Gegendomänennummern Pfeile.
zusammengesetzte Funktion
DAS zusammengesetzte Funktion ist verbunden mit dem Abkürzung Idee. Betrachten Sie drei nicht leere Mengen A, B und C. Betrachten Sie auch zwei Funktionen f und g, wobei Funktion f Elemente x aus Menge A zu Elementen y = f (x) aus Menge B bringt und Funktion g Elemente y = f (x) zu Elementen z aus Menge C bringt.
Die zusammengesetzte Funktion erhält diesen Namen, weil es sich um eine Anwendung handelt, die Elemente aus Menge A direkt zu Elementen aus Menge C führt, ohne die Menge B durch die Zusammensetzung der Funktionen f und g zu durchlaufen. Aussehen:
Die mit (f o g) bezeichnete Funktion bringt die Elemente aus Menge A direkt in Menge C. Sie wird als zusammengesetzte Funktion bezeichnet.
- Beispiel
Betrachten Sie die Funktion f(x) = x2 und die Funktion g (x) = x + 1. Finden Sie die zusammengesetzten Funktionen (f o g)(x) und (g o f)(x).
Die Funktion f o g ist durch die auf f angewendete Funktion g gegeben, d. h.:
(f o g)(x) = f (g(x))
Um diese zusammengesetzte Funktion zu bestimmen, müssen wir die Funktion f, und anstelle der Variablen x müssen wir die Funktion schreiben G. Aussehen:
x2
(x+1)2
(f o g)(x) = f (g(x)) = x2 + 2x + 1
Um die zusammengesetzte Funktion (g o f)(x) zu bestimmen, müssen wir analog die Funktion apply f in der Rolle G, das heißt, betrachten Sie die Funktion g und schreiben Sie die Funktion f anstelle der Variablen. Aussehen:
(x+1)
x2 + 1
Daher ist die zusammengesetzte Funktion (g o f)(x) = g (f (x)) = x2 + 1.
Gleiche Funktion
Betrachten Sie eine Funktion f: A → ℝ, wobei A eine Teilmenge der nichtleeren reellen Zahlen ist. Eine Funktion f wird nur für alle reellen x gerade sein.
Beispiel
Betrachten Sie die Funktion f: ℝ → ℝ, gegeben durch f (x) = x2.
Beachten Sie, dass für jeden reellen x-Wert, wenn er quadriert wird, das Ergebnis immer positiv ist, d. h.:
f(x) = x2
und
f(–x) = (–x)2 = x2
Also f(x) = f(–x) für jeden reellen x-Wert, also die Funktion f es ist ein Paar.
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einzigartige Funktion
Betrachten Sie eine Funktion f: A → ℝ, wobei A eine Teilmenge der nichtleeren reellen Zahlen ist. Eine Funktion f wird nur für alle reellen x ungerade sein.
- Beispiel
Betrachten Sie die Funktion f: ℝ → ℝ, gegeben durch f (x) = x3.
Sehen Sie, dass wir für jeden Wert von x schreiben können, dass (–x)3 = -x3. Sehen Sie sich einige Beispiele an:
(–2)3 = –23 = –8
(–3)3 = –33 = –27
Wir können also sagen:
f(–x) = (–x)3 = –x3
f(–x) = (–x)3 = –f(x)
Also für jedes reelle x f(–x) = –f (x) und damit die Funktion f (x) = x3 ist einzigartig.
ansteigende Funktion
Eine Funktion f é wachsend in einem Intervall genau dann, wenn, wenn die Domänenelemente wachsen, auch ihre Bilder wachsen. Aussehen:
Beachten Sie, dass x1 > x2 und das gleiche passiert mit dem Bild, also können wir eine algebraische Bedingung für die Funktion aufstellen f Sein wachsend.
Abstiegsfunktion
Eine Funktion f é abnehmend in einem Intervall genau dann, wenn, wenn die Domänenelemente wachsen, ihre Bilder abnehmen. Aussehen:
Sehen Sie, dass im Funktionsbereich x1 > x2, jedoch nicht im Funktionsbild, wo f (x1) < f(x2). Damit können wir eine algebraische Bedingung für abnehmende Funktionen aufstellen. Aussehen:
konstante Funktion
Wie der Name schon sagt, a Funktion ist Konstante wann, für jeden Wert domain ist der Wert des Bildes immer gleich.
zugehörige Funktion
DAS affine Funktion oder Polynom ersten Grades ist in der Form geschrieben:
f (x) = ax + b
Wo a und b reelle Zahlen sind, ist a ungleich Null und Ihr Graph ist eine Linie. Die Funktion hat reelle Domäne und auch reelle Gegendomäne.
quadratische Funktion
DAS quadratische Funktion oder Polynomfunktion zweiten Grades ist gegeben durch ein Polynom der zweiten Klasse, so:
f(x) = ax2 + bx + c
Wobei a, b und c reelle Zahlen mit einer Nicht-Null sind und Ihr Graph a. ist Gleichnis. Die Rolle hat auch eine reale Domäne und eine Zählerdomäne.
modulare Funktion
DAS modulare Funktion mit Variable x findet-wenn im Modul und algebraisch wird es ausgedrückt durch:
f(x) = |x|
Die Funktion hat auch einen reellen Bereich und einen Zählerbereich, dh wir können den Absolutwert jeder reellen Zahl berechnen.
Exponentialfunktion
DAS Exponentialfunktionzeigt die Variable x im Exponenten an. Es hat auch reelle Domäne und reelle Gegendomäne und wird algebraisch beschrieben durch:
f(x) = ax
Wobei a eine reelle Zahl größer Null ist.
logarithmische Funktion
DAS logarithmische Funktion hat die variabel im Logarithmus und der Bereich, der von reellen Zahlen größer als Null gebildet wird.
Trigonometrische Funktionen
Beim trigonometrische Funktionen habe den Variable x mit trigonometrischen Verhältnissen, die wichtigsten sind:
f(x) = sin(x)
f(x) = cos(x)
f(x) = tg(x)
Wurzelfunktion
Die Wurzelfunktion ist dadurch gekennzeichnet, dass die variabel innerhalb der Wurzel, damit, wenn der Index der Wurzel gerade ist, wird der Bereich der Funktion nur die positiven reellen Zahlen.
von Robson Luis
Mathematiklehrer
