Summe der Terme einer PA

DAS Arithmetische Progression (PFANNE) es ist ein Zahlenfolge wobei die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Termen immer gleich dem gleichen Wert ist, eine Konstante r.

Zum Beispiel ist (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) ein AP des Verhältnisses r = 2.

Diese Art von Sequenz (PA) ist sehr verbreitet und wir möchten oft die Summe aller Terme in der Sequenz bestimmen. Im obigen Beispiel ergibt sich die Summe aus 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64.

Wenn der BP jedoch viele Terme hat oder nicht alle Terme bekannt sind, wird es schwieriger, diese Summe ohne Verwendung einer Formel zu erhalten. Schauen Sie sich also die Formel für. an Summe der Terme einer PA.

Formel der Summe der Terme eines PA

DAS Summe der Terme von aArithmetische Progression kann bestimmt werden, indem man nur den ersten und letzten Term der Folge kennt, mit der folgenden Formel:

$\dpi{120} \small \mathbf{S_n = \frac{n.(a_1+a_n)}{2}}$

Auf was:

$\dpi{120} \mathbf{n}$ : Anzahl der PA-Terme;
$\dpi{120} \mathbf{a_1}$ : ist der erste Begriff des BP;
$\dpi{120} \mathbf{a_n}$ : ist die letzte Amtszeit der PA.

Demonstration:

Um zu zeigen, dass die vorgestellte Formel es wirklich erlaubt, die Summe der n Terme eines AP zu berechnen, müssen wir eine sehr wichtige Eigenschaft des AP berücksichtigen:

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Eigenschaften einer PA: Die Summe zweier Terme, die den gleichen Abstand vom Zentrum eines endlichen PA haben, ist immer gleich groß, also konstant.

Um zu verstehen, wie dies in der Praxis funktioniert, betrachten Sie den BP aus dem Ausgangsbeispiel (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15).

(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) -> 1 + 15 = 16

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(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) -> 3 + 13 = 16

(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) -> 5 + 11 = 16

(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) -> 7 + 9 = 16

Sehen Sie nun, dass 16 + 16 + 16 + 16 = 4 x 16 = 64 die Summe der Terme dieser PA ist. Außerdem:

Die Zahl 16 erhält man nur durch den ersten und letzten Term 1+ 15 = 16.
Die Zahl 16 wurde 4-mal hinzugefügt, was der halben Anzahl der Terme in der Folge (8/2 = 4) entspricht.

Was passiert ist, ist kein Zufall und gilt für jede PA.

In jeder PA hat die Summe der äquidistanten Terme immer den gleichen Wert, der durch ( $\dpi{120} \small \mathrm{a_1+ a_n}$ ) und werden wie immer alle zwei Werte addiert, in einer Reihenfolge von $\dpi{120} \small \mathrm{n}$ Bedingungen, es wird ( $\dpi{120} \small \mathrm{a_1+ a_n}$ ) insgesamt $\dpi{120} \small \mathrm{\frac{n}{2}}$ mal.

Von dort erhalten wir die Formel:

$\dpi{120} \small \mathbf{S_n = \frac{n}{2}.(a_1+a_n)=\frac{n.(a_1+a_n)}{2}}$

Beispiel:

Berechnen Sie die Summe der BP-Terme (-10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60).

$\dpi{120} \small \mathrm{S_{15} =\frac{15.(-10+60)}{2} = \frac{15\cdot 50}{2} = \frac{750}{2 }= 375}$

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