Übungen zur Fakultätszahl

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Faktorzahlen sind positive ganze Zahlen, die das Produkt zwischen der Zahl selbst und all ihren Vorgängern angeben.

Zum $\dpi{120} n\geq 2$ , Wir müssen:

$\dpi{120} \boldsymbol{n! = n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot (n-3)\cdot ...\cdot 2\cdot 1}$

Zum $\dpi{120} n = 0$ und $\dpi{120} n = 1$ , ist die Fakultät wie folgt definiert:

$\dpi{120} \boldsymbol{0! = 1}$
$\dpi{120} \boldsymbol{1!=1}$

Weitere Informationen zu diesen Zahlen finden Sie unter a Liste der Fakultätszahlenübungen, alles mit Auflösung!

Index

Übungen zur Fakultätszahl
Lösung von Frage 1
Lösung von Frage 2
Lösung von Frage 3
Lösung von Frage 4
Lösung von Frage 5
Lösung von Frage 6
Lösung von Frage 7
Lösung von Frage 8

Übungen zur Fakultätszahl

Frage 1. Berechnen Sie die Fakultät von:

a) 4
b) 5
c) 6
d) 7

Frage 2. Bestimmen Sie den Wert von:

a) 5! + 3!
b) 6! – 4!
c) 8! – 7! + 1! – 0!

Frage 3. Lösen Sie die Operationen:

a) 8!. 8!
b) 5! – 2!. 3!
c) 4!. (1 + 0)!

Frage 4. Berechnen Sie die Divisionen zwischen den Fakultäten:

Das) $\dpi{120} \frac{10!}{9!}$

B) $\dpi{120} \frac{(10-4)!}{4!}$

ç) $\dpi{120} \frac{20!}{(19 + 1! - 0!)!}$

Frage 5. Sein $\dpi{120} a\in\mathbb{Z}$ , $\dpi{120} a> 0$ , ausdrücken $\dpi{120} (a+5)!$ über $\dpi{120} a!$

Frage 6. Vereinfachen Sie die folgenden Verhältnisse:

Das) $\dpi{120} \frac{(n+1)!}{n!}$

B) $\dpi{120} \frac{n!}{(n-1)!}$

ç) $\dpi{120} \frac{(n+3)!}{(n+3).(n+2).(n+1)}$

Frage 7. Löse die Gleichung:

$\dpi{120} 12x! + 5(x+1)! = (x + 2)!$

Frage 8. Vereinfachen Sie den Quotienten:

$\dpi{120} \frac{(x+2)^3 \cdot x!}{(x+2)! + (x+1)! + x!}$

Lösung von Frage 1

a) Die Fakultät von 4 ist gegeben durch:

4! = 4. 3. 2. 1 = 24

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b) Die Fakultät von 5 ist gegeben durch:

5! = 5. 4. 3. 2. 1

Wie 4. 3. 2. 1 = 4!, wir können 5 umschreiben! Hier entlang:

5! = 5. 4!

Das haben wir schon 4 gesehen! = 24, also:

5! = 5. 24 = 120

c) Die Fakultät von 6 ist gegeben durch:

6! = 6. 5. 4. 3. 2. 1

Wie 5. 4. 3. 2. 1 = 5!, wir können 6 umschreiben! wie folgt:

6! = 6. 5! = 6. 120 = 720

d) Die Fakultät von 7 ist gegeben durch:

7! = 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1

Wie 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 6!, können wir 7 umschreiben! Hier entlang:

7! = 7. 6! = 7. 720 = 5040

Lösung von Frage 2

a) 5! + 3! = ?

Beim Addieren oder Subtrahieren von Fakultätszahlen müssen wir jede Fakultät berechnen, bevor wir die Operation ausführen.

Wie 5! = 120 und 3! = 6, also müssen wir:

5! + 3! = 120 + 6 = 126

b) 6! – 4! = ?

Wie 6! = 720 und 4! = 24, wir müssen:

6! – 4! = 720 – 24 = 696

c) 8! – 7! + 1! – 0! = ?

Wie 8! = 40320, 7! = 5040, 1! = 1 und 0! = 1, wir müssen:

8! – 7! + 1! – 0! = 40320 – 5040 + 1 – 1 = 35280

Lösung von Frage 3

a) 8!. 8! = ?

Bei der Multiplikation von Fakultätszahlen müssen wir die Fakultäten berechnen und dann die Multiplikation zwischen ihnen durchführen.

Wie 8! = 40320, also müssen wir:

8!. 8! = 40320. 40320 = 1625702400

b) 5! – 2!. 3! = ?

Wie 5! = 120, 2! = 2 und 3! = 6, wir müssen:

5! – 2!. 3! = 120 – 2. 6 = 120 – 12 = 108

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c) 4!. (1 + 0)! = 4!. 1! = ?

Wie 4! = 24 und 1! = 1, also müssen wir:

4!. 1! = 24. 1 = 24

Lösung von Frage 4

Das) $\dpi{120} \frac{10!}{9!}$ = ?

Beim Teilen von Fakultätszahlen müssen wir auch die Fakultäten berechnen, bevor wir die Division lösen.

Wie 10! = 3628800 und 9! = 362880, also $\dpi{120} \frac{10!}{9!} = \frac{3628800}{362880} = 10$ .

Bei der Division können wir jedoch die Fakultäten vereinfachen, indem wir gleiche Terme im Zähler und Nenner auslöschen. Dieses Verfahren erleichtert viele Berechnungen. Aussehen:

Wie 10! = 10. 9. 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 10. 9!, wir müssen:

$\dpi{120} \frac{10!}{9!} = \frac{10\cdot \cancel{9!}}{\cancel{9!}} = 10$

B) $\dpi{120} \frac{(10-4)!}{4!}$ = ?

$\dpi{120} \frac{(10-4)!}{4!} = \frac{6!}{4!} = \frac{6\cdot 5\cdot \cancel{4!}}{\cancel {4!}} = 30$

ç) $\dpi{120} \frac{20!}{(19 + 1! - 0!)!}$ = ?

$\dpi{120} \frac{20!}{(19 + 1! - 0!)!} = \frac{20!}{(19 + 1 - 1)!} = \frac{20!}{19!} = \frac{20\cdot \cancel{19!}}{\ abbrechen{19!}} = 20$

Lösung von Frage 5

Daran erinnern $\dpi{120} n! = n. (n - 1)!$ , wir können umschreiben $\dpi{120} (a+5)!$ Hier entlang:

$\dpi{120} (a+5)! = (a + 5). (a + 5 - 1)! = (a + 5). (a+4)!$

Nach diesem Verfahren müssen wir:

$\dpi{120} (a+5)! = (a + 5). (a+4). (a + 3). (a+2). (ein + 1). Das!$

Lösung von Frage 6

Das) $\dpi{120} \frac{(n+1)!}{n!}$ = ?

Wir können den Zähler wie folgt umschreiben:

$\dpi{120} (n+1)! = (n+1).(n+1 - 1)! = (n+1).n!$

Auf diese Weise konnten wir die Laufzeit stornieren $\dpi{120} n!$ , Vereinfachung des Quotienten:

$\dpi{120} \frac{(n+1)!}{n!} = \frac{(n+1).\cancel{n!}}{\cancel{n!}} = n+1$

B) $\dpi{120} \frac{n!}{(n-1)!}$ = ?

Wir können den Zähler wie folgt umschreiben:

$\dpi{120} n! = n.(n-1)!$

Somit konnten wir die Laufzeit stornieren $\dpi{120} n!$ , Vereinfachung des Quotienten:

$\dpi{120} \frac{n!}{(n-1)!} = \frac{n. \cancel{(n-1)!}}{\cancel{(n-1)!}} = n$

ç) $\dpi{120} \frac{(n+3)!}{(n+3).(n+2).(n+1)}$ = ?

Wir können den Zähler wie folgt umschreiben:

$\dpi{120} (n+3)! = (n+3).(n+2).(n+1). Nein!$

Somit können wir einige Terme aus dem Quotienten streichen:

$\dpi{120} \frac{(n+3)!}{(n+3).(n+2).(n+1)}= \frac{\cancel{(n+3).(n+) 2).(n+1)}.n!}{\cancel{(n+3).(n+2).(n+1)}} = n!$

Lösung von Frage 7

löse die Gleichung $\dpi{120} 12x! + 5(x+1)! = (x + 2)!$ bedeutet, die Werte von zu finden $\dpi{120} x$ für die Gleichheit gilt.

Beginnen wir damit, Terme mit Fakultäten zu zerlegen, um die Gleichung zu vereinfachen:

$\dpi{120} 12x! + 5(x+1)! = (x + 2)!$

$\dpi{120} \Rightarrow 12x! + 5(x + 1).x! = (x + 2).(x+1).x!$

dividiere beide Seiten durch $\dpi{120} x!$ , haben wir es geschafft, die Fakultät aus der Gleichung zu eliminieren:

$\dpi{120} \frac{12\cancel{x!}}{\cancel{x!}} + \frac{5(x + 1).\cancel{x!}}{\cancel{x!}} = \frac{(x + 2).(x+1).\cancel{x!}}{\cancel{x!}}$

$\dpi{120} \Rightarrow 12 + 5(x + 1) = (x + 2).(x+1)$

Wenn wir die Terme in Klammern multiplizieren und die Gleichung ordnen, müssen wir:

$\dpi{120} 12 + 5x + 5 = x^2 + x + 2x + 2$

$\dpi{120} x^2 - 2x - 15 = 0$

Es ist ein Gleichung 2. Grades. Von dem Bhaskara-Formel, bestimmen wir die Wurzeln:

$\dpi{120} x = 5 \, \mathrm{oder}\, x = -3$

Nach Definition von Fakultät, $\dpi{120} x$ kann nicht negativ sein, also $\dpi{120} x = 5$ .

Lösung von Frage 8

$\dpi{120} \frac{(x+2)^3 \cdot x!}{(x+2)! + (x+1)! + x!}$

Mögen $\dpi{120} (x+2)! = (x+2).(x+1).x!$ und $\dpi{120} (x+1)! = (x+1).x!$ , können wir den Quotienten umschreiben als:

$\dpi{120} \frac{(x + 2)^3 \cdot x!}{(x+2).(x+1).x! + (x + 1).x! + x!}$

Da die drei Teile des Nenners den Term $\dpi{120} x!$ , wir können es markieren und mit abbrechen $\dpi{120} x!$ das steht im Zähler.

$\dpi{120} \frac{(x + 2)^3 \cdot \cancel{x!}}{[(x+2).(x+1) + (x + 1) + 1].\cancel{ x!}}$

Nun führen wir die im Nenner verbleibenden Operationen aus:

$\dpi{120} (x+2).(x+1) + (x+1) + 1 = x^2 + x +2x+2 +(x+1) + 1 = x^2 +4x +4$

Also haben wir:

$\dpi{120} \frac{(x+2)^3}{x^2 + 4x + 4}$

Mögen $\dpi{120} x^2 + 4x + 4 = (x +2)^2$ , dann kann der Quotient vereinfacht werden:

$\dpi{120} \frac{(x+2)^{\cancel{3}}}{\cancel{(x+2)^2}}=x+2$

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$\dpi{120} \frac{(x + 2)^3 \cdot x!}{(x+2).(x+1).x! + (x + 1).x! + x!}$

$\dpi{120} \frac{(x + 2)^3 \cdot \cancel{x!}}{[(x+2).(x+1) + (x + 1) + 1].\cancel{ x!}}$

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