Summe aus Innen- und Außenwinkel eines konvexen Vielecks

Sie konvexe Polygone sind diejenigen, die keine Konkavität haben. Um zu sehen, ob ein Polygon konvex ist oder nicht, müssen wir beachten, dass kein gerades Liniensegment mit Enden in der Figur durch den Außenbereich verläuft.

Bei konvexen Polygonen gibt es Formeln, mit denen Sie die Summe der Innen- und Außenwinkel bestimmen können. Auschecken!

Summe der Innenwinkel eines konvexen Vielecks

Die Formel von Summe der Innenwinkel eines konvexen Vielecks mit n Seiten ist:

$\dpi{120} \mathbf{S_i = (n-2)\cdot 180^{\circ}}$

Demonstration:

Wenn wir hinschauen, sehen wir, dass jedes konvexe Polygon in eine bestimmte Anzahl von Dreiecken unterteilt werden kann. Sehen Sie einige Beispiele:

Denken Sie daran, dass die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks immer gleich 180 ° ist, können wir sehen, dass die Summe der Innenwinkel in den obigen Abbildungen durch die Anzahl der Dreiecke gegeben ist, durch die die Figur geteilt werden könnte, mal 180 °:

Viereck: 2 Dreiecke ⇒ $\dpi{120} \mathrm{S_i = 2\cdot 180^{\circ} = 360^{\circ}}$
Fünfeck: 3 Dreiecke ⇒ $\dpi{120} \mathrm{S_i = 3\cdot 180^{\circ} = 540^{\circ}}$
Hexagon: 4 Dreiecke ⇒ $\dpi{120} \mathrm{S_i = 4\cdot 180^{\circ} = 720^{\circ}}$

Um also eine Formel zur Berechnung der Summe der Innenwinkel eines konvexen Polygons zu erhalten, müssen wir im Allgemeinen nur wissen, in wie viele Dreiecke ein konvexes Polygon unterteilt werden kann.

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Wenn wir beobachten, besteht ein Zusammenhang zwischen dieser Größe und der Seitenzahl der Figuren. Die Anzahl der Dreiecke ist gleich der Anzahl der Seiten der Figur minus 2, das heißt:

$\dpi{120} \mathrm{Total \, of \, tri\hat{a}Winkel =n - 2}$

Viereck: 4 Seiten ⇒ n – 2 = 4 – 2 = 2
Fünfeck: 5 Seiten ⇒ n – 2 = 5 – 2 = 3
Sechskant: 6 Seiten ⇒ n – 2 = 6 – 2 = 4

Im Allgemeinen ist die Summe der Innenwinkel eines konvexen Polygons also gegeben durch: $\dpi{120} \mathrm{S_i = (n-2)\cdot 180^{\circ}}$

Das ist die Formel, die wir demonstrieren wollten.

Beispiel:

Finden Sie die Summe der Innenwinkel eines konvexen Ikosagons.

Ein Ikosagon ist ein 20-seitiges Polygon, d. h. n = 20. Lassen Sie uns diesen Wert in der Formel ersetzen:

$\dpi{120} \mathrm{S_i = (n-2)\cdot 180^{\circ}}$

$\dpi{120} \mathrm{S_i = (20-2)\cdot 180^{\circ}}$

$\dpi{120} \mathrm{S_i = 18\cdot 180^{\circ}}$

$\dpi{120} \mathrm{S_i = 3240^{\circ}}$

Daher beträgt die Summe der Innenwinkel eines konvexen Ikosagons 3240°.

Summe der Außenwinkel eines Polygons

DAS Summe der Außenwinkel eines konvexen Vielecks ist immer gleich 360°, das heißt:

$\dpi{120} \mathbf{S_e = 360^{\circ}}$

Demonstration:

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Wir werden an Beispielen zeigen, dass die Summe der Außenwinkel eines konvexen Vielecks unabhängig von der Seitenzahl der Figur ist und immer gleich 360° ist.

Viereck:

Viereck Beachten Sie, dass jeder Innenwinkel mit dem Außenwinkel einen 180°-Winkel bildet. Da es also vier Eckpunkte gibt, ist die Summe aller Winkel durch 4. 180° = 720°.

D.h.: $\dpi{120} \mathrm{S_i + S_e = 720^{\circ}}$

Bald:

$\dpi{120} \mathrm{ S_e = 720^{\circ} - S_i}$

Einmal $\dpi{120} \mathrm{S_i = 360^{\circ}}$ , dann:

$\dpi{120} \mathrm{ S_e = 720^{\circ} - 360^{\circ} = 360^{\circ} }$

Pentagon:

Im Fünfeck haben wir 5 Scheitelpunkte, also ist die Summe aller Winkel durch 5. 180° = 900°. Bald: $\dpi{120} \mathrm{S_i + S_e = 900^{\circ}}$ . Dann: $\dpi{120} \mathrm{ S_e = 900^{\circ} - S_i}$ . Einmal $\dpi{120} \mathrm{S_i = 540^{\circ}}$ , dann: $\dpi{120} \mathrm{ S_e = 900^{\circ} - 540^{\circ} = 360^{\circ} }$ .

Hexagon:

Im Sechseck haben wir 6 Ecken, also ist die Summe aller Winkel durch 6. 180° = 1080°. Bald: $\dpi{120} \mathrm{S_i + S_e = 1080^{\circ}}$ . Dann: $\dpi{120} \mathrm{ S_e = 1080^{\circ} - S_i}$ . Einmal $\dpi{120} \mathrm{S_i = 710^{\circ}}$ , dann: $\dpi{120} \mathrm{ S_e = 1080^{\circ} - 720^{\circ} = 360^{\circ} }$ .