Trigonometrische Funktionen des Halbbogens

Beim trigonometrische Funktionen, Sinus, Cosinus und Tangens, der Bogenhälfte erhält man aus den trigonometrischen Funktionen des Doppelbogens.

Gegeben einen Maßbogen $\dpi{120} \alpha$ , der Doppelbogen ist der Bogen $\dpi{120} 2\alpha$ und der Halbbogen ist der Bogen $\dpi{120} \alpha/2$ .

Durch zwei Bogenadditionsformeln, haben wir die trigonometrischen Funktionen des Doppelbogens:

Sinus:

$\dpi{120} \mathrm{sen (2{\alpha})=sen({\alpha + \alpha}) = sin\, {\alpha} \cdot cos\, {\alpha} + sin\, {\ alpha} \cdot cos\, {\alpha}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathbf{sen (2\boldsymbol{\alpha})= 2. (sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}) }$

Kosinus:

$\dpi{120} \mathrm{cos (2{\alpha})=cos({\alpha + \alpha}) = cos\, {\alpha} \cdot cos\, {\alpha} - sin\, {\ alpha} \cdot sin\, {\alpha}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathbf{cos (2\boldsymbol{\alpha})= cos^2\, \boldsymbol{\alpha} - sen^2\, \boldsymbol{\alpha} }$

Tangente:

$\dpi{120} \mathrm{tan (2{\alpha})=tan({\alpha + \alpha}) = \frac{tan\, {\alpha} + tan\, {\alpha}}{1 - tan\, {\alpha} \cdot tan\, {\alpha}}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathbf{tan (2\boldsymbol{\alpha})= \frac{2\cdot tan\, \boldsymbol{\alpha} }{1 - tan^2\, \boldsymbol{\alpha }}}$

Aus diesen Formeln zeigen wir die Formeln für trigonometrische Halbbogenfunktionen.

Trigonometrische Funktionen des Halbbogens

Einer von Grundbeziehungen der Trigonometrie ist das:

$\dpi{120} \mathbf{sen^2\boldsymbol{\alpha} + cos^2\boldsymbol{\alpha} = 1}$

Wo bekommen wir:

$\dpi{120} \mathrm{sen^2\alpha = 1 - cos^2\alpha}$

$\dpi{120} \mathrm{ cos^2\alpha = 1-sen^2\alpha}$

ersetzen $\dpi{120} \mathrm{sen^2\alpha = 1 - cos^2\alpha}$ in der Formel des Kosinus des Doppelbogens müssen wir:

$\dpi{120} \mathrm{cos (2{\alpha})= cos^2\, {\alpha} - sin^2\, {\alpha} = cos^2\, {\alpha} - (1 - cos^2\, {\alpha})}$

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$\dpi{120} \mathrm{= 2cos^2\, {\alpha} - 1}$

Deshalb: $\dpi{120} \mathrm{cos (2\alpha)= 2cos^2\, {\alpha} - 1}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{cos^2\, {\alpha} =\frac{1+cos (2\alpha) }{2} }$

ersetzen $\dpi{120} \alpha$ pro $\dpi{120} \alpha/2$ in der obigen Formel und dem Ziehen der Quadratwurzel auf beiden Seiten haben wir die Formel für Kosinus der Bogenhälfte:

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$\dpi{120} \mathbf{cos\, {(\boldsymbol{\alpha}/2)} = \pm \sqrt{\frac{1+cos\, \boldsymbol{\alpha} }{2} }}$

Hinweis: Das Vorzeichen in der Formel ist entsprechend dem Quadranten der Bogenhälfte positiv oder negativ.

Jetzt ersetzen $\dpi{120} \mathrm{ cos^2\alpha = 1-sen^2\alpha}$ in der Formel des Kosinus des Doppelbogens müssen wir:

$\dpi{120} \mathrm{cos (2{\alpha})= cos^2\, {\alpha} - sin^2\, {\alpha} = (1 -sen^2\, {\alpha}) -sen^2\, {\alpha} }$

$\dpi{120} \mathrm{= 1-2sen^2\, {\alpha} }$

Deshalb:

$\dpi{120} \mathrm{cos (2\alpha)= 1-2sen^2\, {\alpha} }$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{sen^2\, {\alpha} =\frac{1-cos (2\alpha)}{2} }$

ersetzen $\dpi{120} \alpha$ pro $\dpi{120} \alpha/2$ in der obigen Formel und dem Ziehen der Quadratwurzel auf beiden Seiten haben wir die Formel für Sinus der Bogenhälfte:

$\dpi{120} \mathbf{sen\, {(\boldsymbol{\alpha}/2)} = \pm \sqrt{\frac{1-cos\, \boldsymbol{\alpha}}{2}} }$

Hinweis: Das Vorzeichen in der Formel ist entsprechend dem Quadranten der Bogenhälfte positiv oder negativ.

Schließlich können wir den Tangens der Bogenhälfte erhalten, indem wir den Sinus der Bogenhälfte durch den Kosinus der Bogenhälfte teilen:

$\dpi{120} \mathrm{tan(\alpha/2) = \frac{sen(\alpha/2)}{cos(\alpha/2)} = \frac{\sqrt{\frac{1 - cos\, \alpha}{2}}}{\sqrt{\frac{1 + cos\, \alpha}{2}}} = \sqrt{\frac{1 - cos\, \alpha}{1 + cos\, \Alpha}}}$

Daher ist die Formel von halber Arkustangens é:

$\dpi{120} \mathbf{tan(\boldsymbol{\alpha}/2) = \pm \sqrt{\frac{1 - cos\, \boldsymbol{\alpha}}{1 + cos\, \boldsymbol{\ Alpha}}}}$

Hinweis: Das Vorzeichen in der Formel ist entsprechend dem Quadranten der Bogenhälfte positiv oder negativ.

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