DAS Gleichung 2. Grades ist gekennzeichnet für einen Polynom vom Grad 2, also ein Polynom vom Typ ax2+bx+c, wobei Das, B und ç Sie sind reale Nummern. Beim Lösen einer Gleichung vom Grad 2 sind wir daran interessiert, Werte für das Unbekannte zu finden. x das macht den Wert des Ausdrucks gleich 0, die Wurzeln genannt werden, d. h. ax2 + bx + c = 0.
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Arten von Gleichungen 2. Grades
Die Gleichung 2. Grades kann sein: dargestellt durch ax²+bx+c=0, wobei die Koeffizienten Das, B und ç sind reelle Zahlen, mit Das ≠ 0.
→ Beispiele
a) 2x2 +4x – 6 = 0 → a = 2; b = 4 und c = – 6
b) x2 – 5x + 2 = 0 → a =1; b= – 5 und c = 2
c) 0,5x2 + x –1 = 0 → a = 0,5; b = 1 und c = -1
Die Gleichung 2. Grades wird klassifiziert als Komplett wenn alle Koeffizienten von 0 verschieden sind, d.h. Das ≠ 0, B ≠ 0 und ç ≠ 0.
Die Gleichung 2. Grades wird klassifiziert als unvollständig wenn der Wert der Koeffizienten B oder ç gleich 0 sind, d. h. b = 0 oder c = 0.
→ Beispiele
a) 2x2 – 4 = 0 → a = 2; b = 0 und c = – 4
b) -x2 + 3x = 0 → a = – 1; b = 3 und c = 0
c) x2 = 0 → a = 1; b=0 und c=0
Kopf hoch: der Koeffizientenwert Das es ist nie gleich 0, wenn das passiert, ist die Gleichung nicht mehr 2. Grades.
Wie löst man Gleichungen zweiten Grades?
Die Lösung einer Gleichung 2. Grades tritt auf, wenn die Wurzeln gefunden werden, d. h. die zugewiesenen Werte x. Diese Werte von x muss die Gleichheit wahr machen, d. h. durch Ersetzen des Wertes von x im Ausdruck muss das Ergebnis 0 sein.
→ Beispiel
Unter Berücksichtigung der x-Gleichung2 – 1 = 0 haben wir, dass x’ = 1 und x’’ = – 1 Lösungen der Gleichung sind, denn wenn wir diese Werte in den Ausdruck einsetzen, haben wir eine echte Gleichheit. Aussehen:
x2 – 1 = 0
(1)2 – 1 = 0 und (–1)2 – 1 = 0
Um die Lösung von a. zu finden Gleichung, muss analysiert werden, ob die Gleichung vollständig und unvollständig ist und welche Methode verwendet werden soll.
Lösungsverfahren für Gleichungen vom Typ ax²+ c = 0
Die Methode zur Bestimmung der Lösung unvollständiger Gleichungen mit B=0besteht darin, das Unbekannte zu isolieren x, also:
→ Beispiel
Finden Sie die Wurzeln der Gleichung 3x2 – 27 = 0.
Wenn Sie mehr über diese Methode erfahren möchten, gehen Sie zu: Unvollständige Gleichung 2. Grades mit Nullkoeffizient b.
Lösungsverfahren für Gleichungen vom Typ Axt2 + bx = 0
Die Methode zur Bestimmung der möglichen Lösungen einer Gleichung mit ç =0, besteht aus der Verwendung von Evidenzfaktorierung. Aussehen:
Axt2 + bx = 0
x·(ax + b) = 0
Bei der letzten Gleichheit fällt auf, dass es eine Multiplikation gibt und dass für das Ergebnis 0 erforderlich ist, dass mindestens einer der Faktoren gleich 0 ist.
x·(ax + b) = 0
x = 0 oder ax + b = 0
Somit ist die Lösung der Gleichung gegeben durch:
→ Beispiel
Bestimmen Sie die Lösung der Gleichung 5x2 – 45x = 0
Wenn Sie mehr über diese Methode erfahren möchten, gehen Sie zu: unvollständige Gleichung 2. Grades mit Nullkoeffizient c.
Lösungsverfahren für vollständige Gleichungen
Die Methode bekannt als Bhaskara-Methode oder Bhaskara-Formel weist darauf hin, dass die Wurzeln einer Gleichung 2. Grades vom Typ ax2 + bx + c = 0 ist durch die folgende Beziehung gegeben:
→ Beispiel
Bestimmen Sie die Lösung der Gleichung x2 – x – 12 = 0.
Beachten Sie, dass die Koeffizienten in der Gleichung sind: a = 1; B= – 1 und ç = – 12. Wenn wir diese Werte in Bhaskaras Formel einsetzen, haben wir:
Das Delta (Δ) ist benannt nach diskriminierend und beachte, dass es sich in a. befindet Quadratwurzel und unter Berücksichtigung der reellen Zahlen ist es bekanntlich nicht möglich, aus einer negativen Zahl die Quadratwurzel zu ziehen.
Wenn wir den Wert der Diskriminante kennen, können wir einige Aussagen über die Lösung der Gleichung 2. Grades machen:
→ positive Diskriminante (Δ > 0): zwei Lösungen der Gleichung;
→ Diskriminante gleich Null (Δ = 0): die Lösungen der Gleichung werden wiederholt;
→ negative Diskriminante (Δ < 0): gibt keine wirkliche Lösung zu.
Gleichungssysteme zweiten Grades
Wenn wir zwei oder mehr Gleichungen gleichzeitig betrachten, haben wir a Gleichungssystem. Die Lösung eines 2-Variablen-Systems ist die Satz geordneter Paare die gleichzeitig alle beteiligten Gleichungen erfüllt.
→ Beispiel
Betrachten Sie das System:
Mit den Werten: x’ = 2, x’’ = – 2 und y’ = 2, y’’ = – 2 können wir geordnete Paare zusammenstellen, die gleichzeitig die Systemgleichungen erfüllen. Siehe: (2, 2), (2, – 2), (– 2, 2), (– 2, – 2).
Denken Sie daran, dass ein geordnetes Paar von der Form (x, y) geschrieben wird.
Die Methoden zum Finden der Lösung eines Gleichungssystems ähneln denen von Linearsysteme.
→ Beispiel
Betrachten Sie das System:
Aus der Gleichung x – y = 0 isolieren wir die Unbekannte x, so:
x - y = 0
x = y
Jetzt müssen wir den isolierten Wert wie folgt in die andere Gleichung einsetzen:
x2 – x –12 = 0
ja2 – y –12 = 0
Mit der Methode von Bhaskara müssen wir:
Wegen x = y haben wir x’ = y’ und x’’ = y’’. D.h.:
x’ = 4
x’’ = -3
Somit sind die geordneten Paare Lösungen des Systems (4, 4) und (– 3,– 3).
Weiterlesen: Gleichungssystem 1. und 2. Grades
Übungen gelöst
Frage 1 – (ESPM -SP) Die Lösungen der folgenden Gleichung sind zwei Zahlen
a) Cousinen.
b) positiv.
c) negativ.
d) Paare.
e) ungerade.
Lösung
Wir wissen, dass die Nenner eines Bruchs nicht gleich Null sein können, also x ≠1 und x≠3. Und da wir eine Gleichheit der Brüche haben, können wir kreuzmultiplizieren und erhalten:
(x+3) · (x+3) = (x – 1) · (3x +1)
x2 + 6x +9 = 3x2 – 2x – 1
x2 – 3x2 + 6x + 2x +9 +1 = 0
(– 1) – 2x2 + 8x +10 = 0 (– 1)
2x2 – 8x – 10 = 0
Wenn wir beide Seiten der Gleichung durch 2 teilen, erhalten wir:
x2 – 4x – 5 = 0
Mit der Formel von Bhaskara folgt:
Beachten Sie, dass die Wurzeln der Gleichung ungerade Zahlen sind.
Alternative z.
Frage 2 – (UFPI) Ein Geflügelzüchter stellte fest, dass nach dem Platzieren von (n +2) Vögeln in jeder der n verfügbaren Volieren nur noch ein Vogel übrig wäre. Die Gesamtzahl der Vögel für jeden natürlichen Wert von n ist immer
a) eine gerade Zahl.
b) eine ungerade Zahl.
c) ein perfektes Quadrat.
d) eine durch 3 teilbare Zahl.
e) eine Primzahl.
Lösung
Die Anzahl der Vögel kann ermittelt werden, indem die Anzahl der Volieren mit der Anzahl der Vögel in jeder Voliere multipliziert wird. von ihnen, nach der Aussage der Übung nach diesem Vorgang ist noch ein Vogel übrig, können wir das alles im Folgenden schreiben Weise:
n·(n+2) +1
Durch Ausführen der Distributivität erhalten wir:
Nein2 + 2n +1
Durch Faktorisieren dieses Polynoms folgt:
(n+1)2
Somit ist die Gesamtzahl der Vögel immer ein perfektes Quadrat für jede natürliche Zahl n.
Alternative C
von Robson Luis
Mathematiklehrer
Quelle: Brasilien Schule - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-2-grau.htm
