DAS Kosinusgesetz ist trigonometrische Beziehung verwendet, um Seiten zu verbinden und Winkel Auf eins Dreieck any, d. h. das Dreieck, das nicht unbedingt einen rechten Winkel hat. Beachten Sie das folgende Dreieck ABC mit den hervorgehobenen Maßnahmen:
DAS RechtVonKosinus kann durch eines der folgenden gegeben werden Ausdrücke:
Das2 = b2 + c2 – 2·b·c·cosα
B2 = die2 + c2 – 2·a·c·cosβ
ç2 = b2 + die2 – 2·b·a·cosθ
Überwachung: Diese drei Formeln müssen nicht auswendig gelernt werden. Weiß nur, dass die RechtVonKosinus kann immer gebaut werden. Beachten Sie im ersten Ausdruck, dass α der Winkel gegenüber der Seite ist, deren Maß durch gegeben ist Das. Wir beginnen die Formel mit dem Quadrat auf der gegenüberliegenden Seite des Winkels, der in den Berechnungen verwendet wird. Es ist gleich der Summe der Quadrate der anderen beiden Seiten, minus dem Doppelten des Produkts der beiden Seiten, die diesem Winkel nicht gegenüberliegen, um Kosinus von α.
Auf diese Weise lassen sich die drei obigen Formeln reduzieren auf:
Das2 = b2 + c2 – 2·b·c·cosα
Solange wir das wissen“Das" das Maß auf der gegenüberliegenden Seite von "α" ist und dass "b" und "c" die Maße der anderen beiden Seiten des sind Dreieck.
Demonstration
Angenommen Dreieck Jedes ABC, mit den in der folgenden Abbildung hervorgehobenen Maßnahmen:
Betrachten Sie die Dreiecke ABD und BCD, die durch die Höhe BD des Dreiecks ABC gebildet werden. Verwendung der Satz des Pythagoras in ABD haben wir:
ç2 = x2 + h2
H2 = c2 – x2
Verwenden des gleichen Satzes für die Dreieck BCD, wir haben:
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Das2 = ja2 + h2
H2 = die2 - ja2
Zu wissen, dass es da ist2 = c2 – x2, wir werden haben:
ç2 – x2 = die2 - ja2
ç2 – x2 + ja2 = die2
Das2 = c2 – x2 + ja2
Hinweis im Bild von Dreieck wobei b = x + y, wobei y = b – x. Wenn wir diesen Wert in das zuvor erhaltene Ergebnis einsetzen, erhalten wir:
Das2 = c2 – x2 + ja2
Das2 = c2 – x2 + (b - x)2
Das2 = c2 – x2 + b2 – 2bx + x2
Das2 = c2 + b2 – 2bx
Betrachten Sie die Abbildung immer noch und beachten Sie Folgendes:
cosα = x
ç
c·cosα = x
x = c·cosα
Setzen wir dieses Ergebnis in den vorherigen Ausdruck ein, erhalten wir:
Das2 = c2 + b2 – 2bx
Das2 = c2 + b2 – 2b·c·cosα
Dies ist genau der erste der drei oben vorgestellten Ausdrücke. Die anderen beiden sind analog zu dieser erhältlich.
Beispiel - Bei der Dreieck Berechnen Sie dann das Maß von x.
Lösung:
Verwendung der RechtVonKosinus, beachten Sie, dass x das Maß der Seite gegenüber dem 60°-Winkel ist. Daher sollte die erste "Zahl", die in der Lösung erscheint, lauten:
x2 = 102 + 102 – 2·10·10·cos60°
x2 = 100 + 100 – 2·100·cos60°
x2 = 200 - 200·cos60°
x2 = 200 – 200·1
2
x2 = 200 – 100
x2 = 100
x = ± √100
x = ± 10
Da es keine negativen Längen gibt, sollte das Ergebnis nur der positive Wert sein, also x = 10 cm.
von Luiz Moreira
Abschluss in Mathematik
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SILVA, Luiz Paulo Moreira. "Was ist Kosinusgesetz?"; Brasilien Schule. Verfügbar in: https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-lei-dos-cossenos.htm. Zugriff am 27. Juni 2021.
