Pyramiden es sind geometrische Figuren, die vor allem in der Architektur häufig vorkommen. die Pyramiden sind Geometrische Körper eingebauter Raum basierend auf a Polygon in der Ebene und einen Punkt außerhalb dieser Ebene. Da es sich um eine dreidimensionale Figur handelt, ist es möglich, ihr Volumen zu berechnen, außerdem können wir sie planen und so ihre Fläche ermitteln.
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Was ist Pyramide?
Betrachten Sie a Polygon mitvexo in einer Ebene enthalten ist und ein H-Punkt, der nicht zur Ebene gehört. Wir definieren die Pyramide als Vereinigung aller Ecken des konvexen Vielecks im Punkt H.
Elemente einer Pyramide
Betrachten Sie die Pyramide unten.
• Basis der Pyramide: Polygon ABCDEF.
• Pyramidenspitze: Punkt H.
• Seitenflächen: AHB, BHC, CHD, DHE, EHF und FHA, das sind die Dreiecke gebildet durch die Vereinigung des Scheitels der Pyramide mit den Scheiteln des Polygons.
• Basiskanten: AB, BC, CD, DE, EF und FA, das sind die Seiten der Basis.
• Seitenkanten: AH, BH, CH, DH, EH und FH, die die Segmente der Seitenflächen sind.
• Höhe der Pyramide: h, das ist der Abstand zwischen der Spitze der Pyramide und der Basis.
Lassen Sie uns die Notationen für einige Elemente festlegen:
• EIN Grundfläche wird mit A. bezeichnetB.
• Die Fläche von eine Seitenfläche wird vertreten durch AF.
• Die Summe der Gesichtsbereiche heißt Seitenbereich, und dies wird mit A. bezeichnetL.
Somit ergibt sich die Gesamtfläche der Pyramide aus der Summe der Grundfläche (AB) mit dem Seitenbereich (AL) und wird mit A. bezeichnetT, d.h.:
DAST = AB + AL
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Arten von Pyramiden
So wie wir die benennen Prismen nach dem Basispolygon benennen wir auch die Pyramiden nach dieser Idee. Wenn beispielsweise eine Pyramide a Dreieck, Sie heißt Pyramide mit dreieckiger Basis, nun, wenn eine Pyramide auf a. basiert Viereck, wird genannt Pyramide mit viereckiger Basis, und so weiter.
Pyramiden werden auch in zwei Gruppen unterteilt: gerade und schräg. Beim PyramidenGerade werden so genannt, wenn die Projektion der Scheitel fällt mit der Mitte der Basis zusammen, sonst werden sie als schräg bezeichnet. Siehe die folgenden Beispiele:
Wenn in einer geraden Pyramide die Basis ein regelmäßiges Vieleck ist, dann ist die Pyramide regulär. Bei diesem Typ ist der Abstand von der Spitze zur Mitte der Basis die Höhe der Pyramide.
Das Segment, das den Scheitel der Pyramide mit dem Mittelpunkt einer Kante der Basis verbindet, heißt a Apothema der Pyramide, in diesem Fall GI. Das Segment, das den Mittelpunkt der Basis mit dem Mittelpunkt einer Kante der Basis verbindet, heißt Apothema der Basis, in diesem Fall HALLO.
Beachten Sie die Dreiecke GHI und GHF und beachten Sie, dass sie rechtwinklige Dreiecke, also darin die Satz des Pythagoras seine gültig. So:
(GI)2 = (GH)2 + (HALLO)2
(GF)2 = (GH)2 + (HF)2
Pyramidenbereich
DAS Pyramidenbereich ergibt sich aus der Summe der Seitenflächen und der Grundfläche, also:
DAST = AB + AL
Das Fehlen einer bestimmten Formel liegt daran, dass Pyramiden unterschiedliche Basen haben. Beachten Sie im vorherigen Ausdruck, dass die Gesamtfläche AT hängt vom Grundflächenwert ab. Siehe einige Beispiele.
• Beispiel
Berechnen Sie die Gesamtfläche einer geraden Pyramide, deren Grundfläche ein Quadrat mit einer Seitenlänge von 10 m ist und die Höhe einer Seitenfläche 13 m beträgt.
Lösung
Zunächst zeichnen wir die Pyramide anhand der Übungsdaten.
Beachten Sie, dass wir die Gesichtsfläche mit den angegebenen Daten mithilfe der Dreiecksflächenformel berechnen können.
Da wir vier Seiten haben, ist die Seitenfläche gleich 65 · 4 = 260 m2.
Jetzt müssen wir die Fläche der Basis berechnen, die ein Quadrat ist, also:
Daher ist die Pyramidenfläche die Summe aus Seitenfläche und Grundfläche.
DAST = AB + AL
DAST = 100+ 260
DAST = 360 m2
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Pyramidenvolumen
Betrachten Sie eine Pyramide der Höhe h.
Das Volumen der Pyramide ergibt sich aus dem dritten Teil des Produkts der Grundfläche (AB) und Höhe (h):
• Beispiel
(Enem) Artur und Bernardo gingen campen und nahmen sich jeweils ein Zelt. Beide haben die Form einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche, mit kongruenten Seitenkanten. Bernardos Zelt hat eine Höhe und Seitenkanten, die 10 % größer ist als das von Arthur. Somit ist das Verhältnis zwischen den Volumina von Bernardos und Arthurs Zelten in dieser Reihenfolge:
Das) 1,1
B) 1,21
ç) 1,331
d) 1,4641
und) 1,5
Lösung
Zunächst berechnen wir das Volumen von Arthurs Zelt, hier mit V. bezeichnetDAS. Da die Basis der Pyramide ein Quadrat ist, ist ihre Fläche das Maß der quadratischen Seite, stellen wir sie durch L. dar2.
Bestimmen wir nun das Volumen von Bernardos Zelt, dargestellt durch VB. Beachten Sie zunächst, dass die Höhe und die Kanten im Vergleich zu Arthurs Zelt um 10 % höher sind, also müssen wir:
HB = h + 10% von h
HB = h + 0,1 · h
HB = 1,1 · h
Ebenso für den Grundbereich:
DASB = (1,1)2 · L2
Daher ist die Zeltfläche von Bernardo:
Da das Ziel der Übung darin besteht, das Verhältnis zwischen den Volumina von Bernardos und Arthurs Zelten zu ermitteln, müssen wir:
Erkenne, dass wir den Bruch L. "schneiden" können2 · h über 3, da es dieselbe Zahl darstellt.
Alternative C
von Robson Luis
Mathematiklehrer