Was sind komplexe Zahlen?

Bis Mitte des 16. Jahrhunderts galten Gleichungen wie x² – 6x + 10 = 0 galten einfach als „keine Lösung“. Dies lag daran, dass nach der Formel von Bhaskara beim Lösen dieser Gleichung das gefundene Ergebnis wäre:

Δ = (–6)² – 4·1·10
Δ = 36 – 40
Δ = – 4

x = –(– 6) ± √– 4
2·1

x = 6 ± √– 4
2

Das Problem wurde in √– 4 gefunden, das keine Lösung innerhalb der Menge der reellen Zahlen hat, d. h. no es gibt eine reelle Zahl, die mit sich selbst multipliziert √– 4 ergibt, da 2·2 = 4 und (–2)(–2) = 4.

1572 war Rafael Bombelli damit beschäftigt, die Gleichung x. zu lösen³ – 15x – 4 = 0 nach der Formel von Cardano. Aus dieser Formel wird geschlossen, dass diese Gleichung keine echten Wurzeln hat, da es letztendlich notwendig ist, √– 121 zu berechnen. Nach einigen Versuchen kann man jedoch feststellen, dass 4³ – 15,4 – 4 = 0 und daher ist x = 4 eine Wurzel dieser Gleichung.

In Anbetracht der Existenz echter Wurzeln, die nicht durch Cardanos Formel ausgedrückt werden, hatte Bombelli die Idee, anzunehmen dass √– 121 zu √(– 11·11) = 11·√– 1 führen würde und dies könnte eine „unreale“ Wurzel für die Gleichung sein studiert. Somit wäre √–121 Teil eines neuen Zahlentyps, der die anderen nicht gefundenen Wurzeln dieser Gleichung ausmacht. Also die Gleichung x

³ – 15x – 4 = 0, die drei Wurzeln hat, hätte x = 4 als reelle Wurzel und zwei weitere Wurzeln, die zu diesem neuen Zahlentyp gehören.

Im späten 18. Jahrhundert nannte Gauß diese Zahlen als komplexe Zahlen. Zu dieser Zeit nahmen komplexe Zahlen bereits die Form an a + bi, mit i = √ – 1. Außerdem, Das und B sie galten bereits als Punkte einer kartesischen Ebene, der sogenannten Argand-Gauss-Ebene. Somit hatte die komplexe Zahl Z = a + bi als geometrische Darstellung einen Punkt P (a, b) der kartesischen Ebene.

Daher ist der Ausdruck „komplexe Zahlen“ begann in Bezug auf den Zahlensatz verwendet zu werden, dessen Vertreter sind: Z = a + bi, mit i = √– 1 und mit Das und B gehört zur Menge der reellen Zahlen. Diese Darstellung heißt algebraische Form der komplexen Zahl Z.

Da komplexe Zahlen aus zwei reellen Zahlen gebildet werden und eine davon mit multipliziert wird √– 1, diese reellen Zahlen haben einen besonderen Namen bekommen. Betrachtet man die komplexe Zahl Z = a + bi, so ist a der "Realteil von Z" und b der "Imaginärteil von Z". Mathematisch können wir schreiben: Re (Z) = a und Im (Z) = b.

Die Idee des Moduls einer komplexen Zahl kristallisiert sich analog zur Idee des Moduls einer reellen Zahl. Betrachtet man den Punkt P(a, b) als geometrische Darstellung der komplexen Zahl Z = a + bi, so ist der Abstand zwischen dem Punkt P und dem Punkt (0,0) gegeben durch:

|Z| = √(Das² + b²)

Eine zweite Möglichkeit, komplexe Zahlen darzustellen, ist durch die Polare oder trigonometrische Form. Diese Form verwendet den Modul einer komplexen Zahl in ihrer Zusammensetzung. Die komplexe Zahl Z, algebraisch Z = a + bi, lässt sich mit der Polarform darstellen durch:

Z = |Z|·(cosθ + icosθ)

Es ist interessant festzustellen, dass die kartesische Ebene durch zwei orthogonale Linien definiert wird, die als x- und y-Achse bekannt sind. Wir wissen, dass reelle Zahlen durch eine Gerade dargestellt werden können, auf der alle rationalen Zahlen stehen. Die restlichen Felder werden mit den irrationalen Zahlen gefüllt. Während die reellen Zahlen alle auf der Linie stehen, die als bekannt ist X-Achse von der kartesischen Ebene aus wären alle anderen Punkte, die zu dieser Ebene gehören, die Differenz zwischen komplexen Zahlen und reellen Zahlen. Somit ist die Menge der reellen Zahlen in der Menge der komplexen Zahlen enthalten.

Von Luiz Paulo Moreira
Abschluss in Mathematik

Quelle: Brasilien Schule - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-numeros-complexos.htm