Einer Gleichung ist ein mathematischer Satz mit einer Gleichheit und mindestens einer Unbekannten, d. h. wenn a when algebraischer Ausdruck und eine Gleichheit. Das Studium von Gleichungen erfordert Vorkenntnisse, wie das Studium von study numerische Ausdrücke. Der Zweck einer Gleichung ist finde den unbekannten Wert das macht aus Gleichheit eine Identität, also eine wahre Gleichheit.
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Grundlegende Konzepte für das Studium von Gleichungen
Eine Gleichung ist ein mathematischer Satz mit a Unbekannt, zumindest, und a Gleichberechtigung, und wir können es nach der Anzahl der Unbekannten ordnen. Sehen Sie einige Beispiele:
a) 5t – 9 = 16
Die Gleichung hat eine Unbekannte, dargestellt durch den Buchstaben t.
b) 5x + 6y = 1
Die Gleichung hat zwei Unbekannte, dargestellt durch die Buchstaben x und y.
c) t4 – 8z = x
Die Gleichung hat drei Unbekannte, dargestellt durch die Buchstaben OK,z und x.
Wie auch immer die Gleichung lautet, wir müssen Ihre berücksichtigen
Universum eingestellt,zusammengesetzt aus allen möglichen Werten, die wir dem Unbekannten zuordnen können, dieses Set wird durch den Buchstaben dargestellt U.Beispiel 1
Betrachten Sie die Gleichung x + 1 = 0 und ihre mögliche Lösung x = –1. Betrachten Sie nun, dass die Universumsmenge der Gleichung die natürlich.
Beachten Sie, dass die vermeintliche Lösung nicht zur Universumsmenge gehört, da ihre Elemente alle möglichen Werte sind, die das Unbekannte annehmen kann, also ist x = –1 nicht die Lösung der Gleichung.
Je größer die Anzahl der Unbekannten ist, desto schwieriger ist es natürlich, Ihre Lösung zu bestimmen. DAS Lösung oder Quelle einer Gleichung ist die Menge aller Werte, die, wenn sie dem Unbekannten zugewiesen werden, die Gleichheit wahr machen.
Beispiel 2
Betrachten Sie die Gleichung mit einer unbekannten 5x – 9 = 16, überprüfen Sie, dass x = 5 die Lösung oder Wurzel der Gleichung ist.
Damit man das sagen kann x = 5 die Lösung der Gleichung ist, müssen wir diesen Wert in den Ausdruck einsetzen. Wenn wir eine echte Gleichheit finden, ist die Zahl die getestete Lösung.
5x – 9 = 16
5(5) – 9 = 16
25 – 9 = 16
16 = 16
Sehen Sie, dass die gefundene Gleichheit wahr ist, also haben wir eine Identität und die Zahl 5 ist eine Lösung. Wir können also sagen, dass die Lösungsmenge gegeben ist durch:
S = {5}
Beispiel 3
Betrachten Sie die Gleichung t2 = 4 und prüfen Sie, ob t = 2 oder t = –2 Lösungen der Gleichung sind.
Analog sollten wir den Wert von t in die Gleichung einsetzen, beachten Sie jedoch, dass wir zwei Werte für die Unbekannte haben und daher die Überprüfung in zwei Schritten durchführen sollten.
Schritt 1 – Für t = 2
t2= 4
22 = 4
4 = 4
Schritt 2 – Für t = –2
t2 = 4
(–2)2 = 4
4 = 4
Siehe für t = 2 und t = – 2 finden wir eine Identität, also sind diese beiden Werte Lösungen der Gleichung. Somit können wir sagen, dass die Lösungsmenge ist:
S = {2, –2}
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Gleichungstypen
Wir können auch eine Gleichung nach der Position klassifizieren, die die Unbekannten einnehmen. Sehen Sie sich die Haupttypen an:
Polynomgleichungen
Beim Polynomgleichungen sind dadurch gekennzeichnet, dass sie ein Polynom gleich Null haben. Sehen Sie einige Beispiele:
Das) 6t3+ 5t2–5t = 0
Die Zahlen6, 5 und –5 sind die Koeffizienten der Gleichung.
B) 9x – 9= 0
Die Zahlen 9 und – 9 sind die Koeffizienten der Gleichung.
c) ja2– ja – 1 = 0
Die Zahlen 1, – 1 und – 1 sind die Koeffizienten der Gleichung.
Gleichungsgrade
Polynomgleichungen können nach ihrem Grad klassifiziert werden. Ebenso wie Polynome, ist der Grad einer Polynomgleichung gegeben durch höchste Potenz mit einem Koeffizienten ungleich Null.
Aus den vorherigen Beispielen a, b und c haben wir, dass die Grade der Gleichungen sind:
a) 6t3 + 5t2 –5t = 0 → Polynomgleichung von dritter Grad
b) 9x – 9 = 0 → Polynomgleichung von erster Abschluss
ç) ja2 – y – 1 = 0 → Polynomgleichung von weiterführende Schule
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rationale Gleichungen
Rationale Gleichungen sind dadurch gekennzeichnet, dass ihre Unbekannte im Nenner von a Fraktion. Sehen Sie einige Beispiele:
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irrationale Gleichungen
Beim irrationale Gleichungen zeichnen sich dadurch aus, dass sie ihre Unbekannte innerhalb einer n-ten Wurzel, also innerhalb eines Radikals mit Index n. Sehen Sie einige Beispiele:
Exponentialgleichungen
Beim Exponentialgleichungen habe den Unbekannte im Exponenten von a Potenz. Sehen Sie einige Beispiele:
logarithmische Gleichung
Beim logarithmische Gleichungen zeichnen sich dadurch aus, dass sie eine oder mehrere Unbekannte in einem Teil der Logarithmus. Wir werden sehen, dass bei Anwendung der Definition des Logarithmus die Gleichung in einigen der vorherigen Fälle fällt. Sehen Sie einige Beispiele:
Auch sehen: Gleichung ersten Grades mit einer Unbekannten
Wie löst man eine Gleichung?
Um eine Gleichung zu lösen, müssen wir die Methoden, die in jedem Typ verwendet werden, d. h. für jeden Gleichungstyp gibt es eine andere Methode, um die möglichen Nullstellen zu bestimmen. Alle diese Methoden sind jedoch abgeleitet vom Äquivalenzprinzip, damit ist es möglich, die wichtigsten Arten von Gleichungen zu lösen.
Äquivalenzprinzip
Zweites Äquivalenzprinzip: Wir können auf der einen Seite einer Gleichheit frei operieren, solange wir dasselbe auf der anderen Seite der Gleichheit tun. Zum besseren Verständnis werden wir diese Seiten benennen.
Daher besagt das Äquivalenzprinzip, dass es möglich ist am ersten Glied operieren frei, solange die Der gleiche Vorgang wird am zweiten Element durchgeführt.
Um das Äquivalenzprinzip zu überprüfen, betrachten Sie die folgende Gleichheit:
5 = 5
Lass uns jetzt gehen hinzufügen auf beiden Seiten die Zahl 7 und beachten Sie, dass die Gleichheit weiterhin gilt:
5 =5
5 + 7= 5 + 7
12 = 12
Lass uns jetzt gehen subtrahieren 10 auf beiden Seiten der Gleichheit, beachten Sie noch einmal, dass die Gleichheit immer noch gilt:
12 = 12
12 – 10 = 12 – 10
2 = 2
sehen wir, dass wir es können multiplizieren oder Teilen und erhöhe zu a Potenz oder sogar extrahieren a Quelle,Solange es auf dem ersten und zweiten Element durchgeführt wird, gilt die Gleichheit immer.
Um eine Gleichung zu lösen, müssen wir dieses Prinzip zusammen mit der Kenntnis der genannten Operationen anwenden. Um die Entwicklung der Gleichungen zu erleichtern, lassen wir die Operation am ersten Element weg, Dies ist gleichbedeutend damit, dass wir die Nummer an das andere Mitglied weitergeben und das Vorzeichen gegen das Gegenteil vertauschen.
Die Idee, die Lösung einer Gleichung zu bestimmen, ist immer isoliere das Unbekannte nach dem Äquivalenzprinzip, Aussehen:
Beispiel 4
Bestimmen Sie nach dem Äquivalenzprinzip die Lösungsmenge der Gleichung 2x – 4 = 8, wobei Sie wissen, dass die Universumsmenge gegeben ist durch: U = ℝ.
2x - 4 = 8
Um eine Polynomgleichung ersten Grades zu lösen, müssen wir die Unbekannte im ersten Glied isoliert lassen. Dazu nehmen wir die Zahl –4 vom ersten Glied und addieren 4 auf beiden Seiten, da –4 + 4 = 0.
2x - 4 = 8
2x - 4+ 4 = 8+ 4
2x = 12
Beachten Sie, dass die Durchführung dieses Vorgangs dem einfachen Übergeben der Zahl 4 mit dem entgegengesetzten Vorzeichen entspricht. Um das unbekannte x zu isolieren, übergeben wir die Zahl 2 an das zweite Element, da es x multipliziert. (Denken Sie daran: Die Umkehroperation der Multiplikation ist die Division). Es wäre dasselbe, als würde man beide Seiten durch 2 teilen.
Daher ist die Lösungsmenge gegeben durch:
S = {6}
Beispiel 5
Gleichung 2 lösenx+5 = 128 wissen, dass die Universumsmenge gegeben ist durch U = ℝ.
Um die Exponentialgleichung zu lösen, verwenden wir zunächst Folgendes: Potenzierungseigenschaft:
Dasm + n = dieich · einNein
Wir werden auch die Tatsache nutzen, dass 22 = 4 und 25 = 32.
2x+5 = 128
2x · 25 = 128
2x · 32 = 128
Beachten Sie, dass es möglich ist, beide Seiten durch 32 zu teilen, dh die Zahl 32 durch Teilen an das zweite Element weiterzugeben.
Also müssen wir:
2x = 4
2x = 22
Der einzige Wert von x, der Gleichheit erfüllt, ist die Zahl 2, also x = 2 und die Lösungsmenge ist gegeben durch:
S = {2}
gelöste Übungen
Frage 1 – Betrachten Sie das Mengenuniversum U = ℕ und bestimmen Sie die Lösung der folgenden irrationalen Gleichung:
Auflösung
Um diese Gleichung zu lösen, müssen wir uns mit der Eliminierung der Wurzel des ersten Elements befassen. Beachten Sie, dass dazu das erste Element auf denselben Index wie die Wurzel, dh auf den Würfel, erhöht werden muss. Nach dem Äquivalenzprinzip müssen wir auch das zweite Glied der Gleichheit erheben.
Beachten Sie, dass wir nun eine Polynomgleichung zweiten Grades lösen müssen. Lassen Sie uns die Zahl 11 an das zweite Glied übergeben (subtrahieren Sie 11 auf beiden Seiten der Gleichheit), um das unbekannte x zu isolieren.
x2 = 27 – 11
x2 = 16
Um nun den Wert von x zu bestimmen, sehen Sie, dass es zwei Werte gibt, die die Gleichheit erfüllen, x’ = 4 oder x’’ = –4, Einmal:
42 = 16
und
(–4)2 = 16
Beachten Sie jedoch in der Aussage der Frage, dass die gegebene Universumsmenge die Menge der natürlichen Zahlen ist und die Zahl –4 nicht dazu gehört, daher ist die Lösungsmenge gegeben durch:
S = {4}
Frage 2 – Betrachten Sie die Polynomgleichung x2 + 1 = 0 wissend, dass die Universumsmenge gegeben ist durch U = ℝ.
Auflösung
Für das Äquivalenzprinzip ziehe 1 von beiden Mitgliedern ab.
x2 + 1 – 1= 0 – 1
x2 = – 1
Beachten Sie, dass Gleichheit keine Lösung hat, da die Universumsmenge die reellen Zahlen sind, d. h. alle Werte, von denen das Unbekannte annehmen kann, dass sie reell sind, und es gibt keine reelle Zahl, die quadriert ist Negativ.
12 = 1
und
(–1)2 = 1
Daher hat die Gleichung keine Lösung in der Menge der reellen Zahlen, und daher können wir sagen, dass die Lösungsmenge leer ist.
S = {}
von Robson Luis
Mathematiklehrer
(Enem 2009) Eine Gruppe von 50 Personen stellte ein erstes Budget für die Organisation einer Party zusammen, das zu gleichen Teilen unter ihnen aufgeteilt wurde. Am Ende stellte sich heraus, dass zur Deckung aller Ausgaben 510,00 R$ fehlten und dass 5 neue Leute der Gruppe beigetreten waren. In der Einigung wurde beschlossen, dass die Gesamtausgaben zu gleichen Teilen auf die 55 Personen aufgeteilt werden. Diejenigen, die noch keinen Beitrag geleistet hatten, zahlten ihren Anteil, und jeder der 50 Personen in der Anfangsgruppe müsste zusätzlich 7,00 R$ beitragen.
Wie hoch war nach diesen Informationen die Quote, die in der endgültigen Vereinbarung für jede der 55 Personen berechnet wurde?
(Vunesp – 2011) Pedrinho war vier Jahre alt, als seine Mutter Zwillinge zur Welt brachte. Heute beträgt die Alterssumme der drei Geschwister 52 Jahre. Pedrinhos Alter beträgt heute:
