Was sind maximale und minimale Punkte?

Sie Punkte von maximal es ist von Minimum werden nur definiert und diskutiert für High School Funktionen, da sie auf jeder Kurve existieren können.

Vorher erinnern wir uns: a Besetzung von zweiteGrad ist eine, die in der Form f (x) = ax. geschrieben werden kann² + bx + c. Ö Grafik dieser Art von Funktion ist die Gleichnis, wer kann deine haben Konkavität mit dem Gesicht nach unten oder oben. Außerdem gibt es in dieser Abbildung einen Punkt namens Scheitel, dargestellt durch den Buchstaben V, der der. sein kann Ergebnisimmaximal oder der ErgebnisimMinimum der Funktion.

maximaler Punkt

Alle Besetzung von zweiteGrad mit < 0 hat Ergebnisimmaximal. Mit anderen Worten, der maximale Punkt ist nur möglich in Funktionen mit der Konkavität nach unten. Wie in der folgenden Abbildung gezeigt, ist der Maximalpunkt V der höchste Punkt der Funktionen zweiten Grades mit a < 0.

Beachten Sie, dass die Grafik davon Besetzung steigt bis zum Erreichen der Ergebnisimmaximal, danach wird der Graph absteigend. Der höchste Punkt dieser Beispielfunktion ist der maximale Punkt. Beachten Sie auch, dass es keinen Punkt mit einer y-Koordinate größer als V = (3, 6) gibt und dass der dem maximalen Punkt zugewiesene x-Wert in der Mitte des liegt

Segment, deren Enden die. sind Wurzeln der Funktion (wenn sie reelle Zahlen sind).

Denken Sie auch daran, dass die Ergebnisimmaximal fällt immer mit dem zusammen Scheitel der Funktion mit nach unten gerichteter Konkavität.

Mindestpunktzahl

Alle Besetzung von zweiteGrad mit Koeffizient a > 0 hat ErgebnisimMinimum. Mit anderen Worten, der Minimalpunkt ist nur bei Funktionen mit Konkavität nach oben möglich. Beachten Sie in der folgenden Abbildung, dass V der tiefste Punkt der Parabel ist:

Die Grafik dazu Besetzung nimmt ab bis zum Erreichen des ErgebnisimMinimum, danach wächst weiter. Außerdem ist der Minimalpunkt V der tiefste Punkt dieser Funktion, dh es gibt keinen anderen Punkt mit einer y-Koordinate kleiner als –1. Beachten Sie auch, dass der Wert von x bezogen auf y am Minimalpunkt auch am Mittelpunkt des Segments liegt, dessen Endpunkte die Wurzeln der Funktion sind (wenn es sich um reelle Zahlen handelt).

Denken Sie auch daran, dass die ErgebnisimMinimum fällt immer mit dem zusammen Scheitel der Funktion mit der Konkavität nach oben.

Maximal- oder Minimalpunkt im Funktionsbildungsgesetz

Wissend, dass das Gesetz der Bildung von BesetzungvonzweiteGrad hat die Form f (x) = ax² + bx + c ist es möglich, Beziehungen zwischen den Koeffizienten a, b und c zu verwenden, um die Koordinaten der Scheitel der Funktion. Die Koordinaten des Scheitelpunkts sind genau die Koordinaten seines Punktes von maximal Oder von Minimum.

Zu wissen, dass die x-Koordinate des Scheitel von a Besetzung durch xv repräsentiert wird, haben wir:

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x_v = - B
2.

Zu wissen, dass die y-Koordinate des Scheitel von a Besetzung durch yv repräsentiert wird, haben wir:

ja_v = – Δ
4.

Daher lauten die Koordinaten des Scheitelpunkts V: V = (x_vja_v).

Wenn die Scheitel wird Punkt sein maximal Oder von Minimum, analysieren Sie einfach die Konkavität des Gleichnisses:

Wenn a < 0 ist, hat die Parabel Höhepunkt.

Wenn a > 0, hat die Parabel Mindestpunkt.

Beachten Sie, dass, wenn die Funktion zwei reelle Wurzeln hat, x_v befindet sich in der Mitte des Segments, dessen Enden die Wurzeln der Besetzung. Also eine andere Technik, um x. zu finden_v Andy_v besteht darin, die Wurzeln der Funktion zu finden, den Mittelpunkt der geraden Linie zu finden, die sie verbindet, und diesen Wert auf die Funktion anzuwenden, um y. zu finden_v verbunden.

Beispiel:

Bestimmen Sie die Scheitel der Funktion f(x) = x² + 2x – 3 und sagen Sie, ob es so ist Ergebnisimmaximal Oder von Minimum.

1. Lösung: Berechnen Sie die Koordinaten des Scheitel nach den angegebenen Formeln, wobei a = 1, b = 2 und c = – 3 bekannt sind.

x_v = - B
2.

x_v = – 2
2·1

x_v = – 1

ja_v = – Δ
4.

ja_v = – (2² – 4·1·[– 3])
4·1

ja_v = – (4 + 12)
4

ja_v = – 16
4

ja_v = – 4

V = (– 1, – 4) und die Funktion hat function ErgebnisimMinimum, weil a = 1 > 0.

2. Lösung: Finde die Wurzeln von Besetzung von zweiteGrad, bestimmen Sie den Mittelpunkt des Verbindungssegments, das x. sein wird_v, und wenden Sie diesen Wert auf die Funktion an, um y. zu finden_v.

Die Wurzeln der Funktion, gegeben durch quadratische Vervollständigungsmethode, Sie sind:

f(x) = x² + 2x – 3

0 = x² + 2x – 3

4 = x² + 2x – 3 + 4

x² + 2x + 1 = 4

(x+1)² = 4

Wenn wir die Quadratwurzel für beide Elemente machen, haben wir:

√[(x + 1)²] = √4
x + 1 = ± 2
x = ± 2 - 1

x’ = 2 - 1 = 1

x" = – 2 – 1 = – 3

Ein Segment, das von – 3 nach 1 geht, hat als Mittelpunkt x_v = – 1. Weitere Informationen finden Sie im Bild nach der Lösung. Anwenden von x_v In der Funktion haben wir:

f(x) = x² + 2x – 3

ja_v = (– 1)² + 2(– 1) – 3

ja_v = 1 – 2 – 3

ja_v = 1 – 5

ja_v = – 4

Diese Ergebnisse sind die gleichen Werte, die in der ersten Lösung gefunden wurden: V = (– 1, – 4). Außerdem hat die Funktion ErgebnisimMinimum, weil a = 1 > 0.

Das Bild unten zeigt die Grafik davon Besetzung mit seinen Wurzeln und mit seinem minimalen V-Punkt.

Es ist erwähnenswert, dass die Formel von Bhaskara auch verwendet werden kann, um die Wurzeln der Funktion in diesem Inhalt zu finden.

Von Luiz Paulo Moreira
Abschluss in Mathematik