DAS arithmetische Progression (AP) ist Zahlenfolge die wir verwenden, um das Verhalten bestimmter Phänomene in der Mathematik zu beschreiben. In einer PA ist die Wachstum oder Verfall ist immer konstant, das heißt, von einem Begriff zum anderen wird der Unterschied immer gleich sein, und dieser Unterschied wird als Grund bezeichnet.
Als Ergebnis der vorhersehbares Verhalten einer Progression, können Sie es mit einer Formel beschreiben, die als. bekannt ist allgemeiner Begriff. Aus dem gleichen Grund ist es auch möglich, die Summe der Terme einer PA nach einer bestimmten Formel zu berechnen.
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Was ist eine PA?
Verstehen, dass eine PA eine Folge von Begriffen ist, in der die Die Differenz zwischen einem Begriff und seinem vorherigen ist immer konstant, um diese Progression aus einer Formel zu beschreiben, müssen wir den Anfangsterm finden, oder das heißt, der erste Term einer Progression und ihr Grund, der diese konstante Differenz zwischen den Begriffe.
Im Allgemeinen wird die PA wie folgt geschrieben:
(Das1, ein2,Das3, ein4,Das5, ein6,Das7, ein8)
Der erste Term ist das a1 und von dort zu den hinzufügen der Grund r, Lassen Sie uns die Nachfolgebedingungen finden.
Das1 + r = a2
Das2 + r = a3
Das3 + r = a4
...
Um die arithmetische Folge zu schreiben, müssen wir also wissen, wer der erste Term ist und warum.
Beispiel:
Schreiben wir die ersten sechs Terme eines AP mit dem Wissen, dass sein erster Term 4 ist und sein Verhältnis gleich 2 ist. das wissen1 =4 und r = 2, schließen wir, dass diese Progression bei 4 beginnt und von 2 auf 2 ansteigt. Daher können wir seine Begriffe beschreiben.
Das1 = 4
Das2 = 4+ 2 = 6
Das3 = 6 + 2 = 8
Das4 = 8 + 2 = 10
Das5= 10 + 2 = 12
Das6 = 12 + 2 =14
Dieser BP ist gleich (4,6,8,10,12,14 …).
Allgemeine Bezeichnung einer PA
Die Beschreibung der PA anhand einer Formel macht es uns leicht, einen ihrer Begriffe zu finden. Um einen beliebigen Begriff eines AP zu finden, verwenden wir die folgende Formel:
DasNein=a1 + r·(n-1) |
N→ die Position des Termes ist;
Das1→ ist der erste Begriff;
r → Grund.
Beispiel:
Finde es allgemeiner Begriff der PA (1,5,9,13,…) und das 5., 10. und 23. Semester.
1. Schritt: den Grund finden.
Um das Verhältnis zu ermitteln, berechnen Sie einfach die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Termen: 5 – 1 = 4; dann ist in diesem Fall r = 4 .
2. Schritt: finden Sie den allgemeinen Begriff.
Woher wissen wir, dass die1= 1 und r = 4, setzen wir in der Formel ein.
DasNein=a1 + r (n - 1)
DasNein=1 + 4 (n - 1)
DasNein=1 + 4n - 4
DasNein= 4n – 3 → allgemeiner Begriff von PA
3. Schritt: Wenn wir den allgemeinen Term kennen, berechnen wir den 5., 10. und 23. Term.
5. Term → n = 5
DasNein=4n - 3
Das5=4·5 – 3
Das5=20 – 3
Das5=17
10. Term → n = 10
DasNein=4n - 3
Das10=4·10 – 3
Das10=40 – 3
Das10=37
23. Term → n = 23
DasNein=4n - 3
Das23=4·23 – 3
Das23=92 – 3
Das23=89
Arten von arithmetischen Progressionen
Es gibt drei Möglichkeiten für eine PA. Sie kann steigend, fallend oder konstant sein.
Wachsend
Wie der Name schon sagt, nimmt eine arithmetische Progression zu, wenn mit steigenden Bedingungen steigt auch ihr Wert., d. h. der zweite Term ist größer als der erste, der dritte größer als der zweite und so weiter.
Das1 < zu2 < zu3 < zu4 < …. Nein
Dazu muss das Verhältnis positiv sein, d. h. ein PA steigt, wenn r > 0 ist.
Beispiele:
(2,3,4,5,6,7,8,9 …)
(0,5,10,15,20,25...)
absteigend
Wie der Name schon sagt, ist eine arithmetische Folge absteigend, wenn mit steigenden Begriffen sinkt ihr Wert, d. h. der zweite Term ist kleiner als der erste, der dritte kleiner als der zweite und so weiter.
Das1 > die2 > die3 > die4 > …. >dieNein
Dazu muss das Verhältnis negativ sein, d. h. ein PA steigt, wenn r < 0 ist.
Beispiele:
(10,9,8,7,6,5,4,3,2, …)
(0, -5, -10, -15, -20, …)
Konstante
Eine arithmetische Folge ist konstant, wenn mit steigenden Laufzeiten bleibt der Wert gleich., das heißt, der erste Term ist gleich dem zweiten, der gleich dem dritten ist und so weiter.
Das1 = die2 = die3 = die4 = …. =aNein
Damit ein PA konstant ist, muss das Verhältnis gleich Null sein, d. h. r = 0.
Beispiele:
(1,1,1,1,1,1,1….)
(-2, -2 -2, -2, …)
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Eigenschaften einer PA
1. Eigenschaft
Bei einem beliebigen Begriff einer PA ist die durchschnittlich Arithmetik zwischen Nachfolger und Vorgänger entspricht diesem Begriff.
Beispiel:
Betrachten Sie die Progression (-1, 2, 5, 8, 11) und den Term 8. Der Durchschnitt zwischen 11 und 5 ist gleich 8, dh die Summe des Nachfolgers mit dem Vorgänger einer Zahl im PA ist immer gleich dieser Zahl.
2. Eigenschaft
Die Summe der äquidistanten Terme ist immer gleich.
Beispiel:
Summe der Terme einer PA
Angenommen, wir möchten die sechs oben gezeigten BP-Terme hinzufügen: (16,13,10,7,4,1). Wir können einfach ihre Begriffe hinzufügen – in diesem Fall sind es nur wenige Begriffe, es ist möglich – aber wenn es so ist eine längere Zeichenfolge, sollten Sie die Eigenschaft verwenden. Wir wissen, dass die Summe der äquidistanten Terme immer gleich ist, wie wir in der Eigenschaft gesehen haben, also wenn wir dies ausführen einmal addieren und mit der Hälfte der Terme multiplizieren, erhalten wir die Summe der ersten sechs Terme der PFANNE.
Beachten Sie, dass wir in diesem Beispiel die Summe aus dem ersten und dem letzten berechnen würden, die gleich 17 ist, multipliziert mit der Hälfte der Anzahl der Terme, d. h. 17 mal 3, was 51 entspricht.
Die Formel von Summe der Terme einer PA sie wurde von dem Mathematiker Gauß entwickelt, der diese Symmetrie in arithmetischen Verläufen erkannte. Die Formel ist wie folgt geschrieben:
soNein → Summe von n Elementen
Das1 → erster Begriff
DasNein → letztes Semester
n → Anzahl der Terme
Beispiel:
Berechnen Sie die Summe der ungeraden Zahlen von 1 bis 2000.
Auflösung:
Wir wissen, dass diese Sequenz eine PA ist (1,3,5, …. 1997, 1999). Die Berechnung der Summe würde viel Arbeit bedeuten, daher ist die Formel recht praktisch. Von 1 bis 2000 ist die Hälfte der Zahlen ungerade, also gibt es 1000 ungerade Zahlen.
Daten:
n→ 1000
Das1 → 1
DasNein → 1999
Auch zugreifen: Summe eines endlichen PG – wie geht das?
Interpolation von arithmetischen Mittelwerten
Wenn man zwei nicht aufeinanderfolgende Terme einer arithmetischen Folge kennt, ist es möglich, alle Terme zu finden, die zwischen diesen beiden Zahlen liegen, was wir als. kennen Interpolation arithmetischer Mittel.
Beispiel:
Interpolieren wir 5 arithmetische Mittelwerte zwischen 13 und 55. Das heißt, es gibt 5 Zahlen zwischen 13 und 55 und sie bilden eine Progression.
(13, ___, ___, ___, ___, ___, 55).
Um diese Zahlen zu finden, ist es notwendig, den Grund zu finden. Wir kennen den ersten Term (den1 = 13) und auch der 7. Term (der7= 55), aber wir wissen, dass:
DasNein = die1 + r ·(n – 1 )
Wenn n = 7 → aNein= 55. Wir kennen auch den Wert von a1=13. Wenn wir es in die Formel einsetzen, müssen wir:
55 = 13 + r ·( 7 – 1 )
55 = 13 + 6r
55 - 13 = 6r
42 = 6r
r = 42:6
r = 7.
Wenn wir den Grund kennen, können wir Begriffe zwischen 13 und 55 finden.
13 + 7 = 20
21 + 7 = 27
28 + 7 = 34
35 + 7 = 41
41 + 7 = 49
(13, 20, 27, 34, 41, 49, 55)
gelöste Übungen
Frage 1 - (Enem 2012) - Kartenspielen ist eine Aktivität, die zum Nachdenken anregt. Ein traditionelles Spiel ist Solitaire, das 52 Karten verwendet. Zunächst werden sieben Spalten mit den Karten gebildet. Die erste Spalte hat eine Karte, die zweite hat zwei Karten, die dritte hat drei Karten, die vierte hat vier Karten und so weiter nacheinander in die siebte Spalte, die sieben Karten hat, und was den Stapel ausmacht, das sind die ungenutzten Karten in der Säulen.
Die Anzahl der Karten, die den Stapel bilden, beträgt:
A) 21.
B) 24.
C) 26.
D) 28.
E) 31.
Auflösung
Alternative B.
Lassen Sie uns zunächst die Gesamtzahl der verwendeten Karten berechnen. Wir arbeiten mit einem AP, dessen erster Term 1 ist und das Verhältnis ebenfalls 1 ist. Wenn man also die Summe der 7 Zeilen berechnet, ist der letzte Term 7 und der Wert von n ist ebenfalls 7.
In dem Wissen, dass die Gesamtzahl der verwendeten Karten 28 beträgt und es 52 Karten gibt, wird der Stapel wie folgt gebildet:
52 - 28 = 24 Karten
Frage 2 - (Enem 2018) Das Rathaus einer Kleinstadt im Landesinneren beschließt, Masten zur Beleuchtung um das entlang einer geraden Straße, die an einem zentralen Platz beginnt und bei einem Bauernhof in der Umgebung endet. ländlich. Da der Platz bereits beleuchtet ist, wird der erste Mast 80 Meter vom Platz entfernt, der zweite 100 Meter, der dritte 120 Meter usw. nacheinander, dabei immer 20 Meter Abstand zwischen den Pfosten einhalten, bis der letzte Pfosten in einem Abstand von 1.380 Metern vom Quadrat.
Wenn die Stadt maximal 8.000,00 R$ pro platziertem Posten zahlen kann, ist der Höchstbetrag, den Sie für die Platzierung dieser Posts ausgeben können:
A) 512 000,00 BRL.
B) 520.000,00 BRL.
C) 528.000,00 R$.
D) 552.000,00 BRL.
E) 584 000,00 BRL.
Auflösung
Alternative C.
Wir wissen, dass alle 20 Meter Pfosten platziert werden, dh r = 20, und dass der erste Term dieser PA 80 ist. Außerdem wissen wir, dass der letzte Term 1380 ist, aber wir wissen nicht, wie viele Terme es zwischen 80 und 1380 gibt. Um diese Anzahl von Termen zu berechnen, verwenden wir die allgemeine Termformel.
Daten: aNein = 1380; Das1=80; und r = 20.
DasNein=a1 + r·(n-1)
660 Beiträge werden platziert. Wenn jeder maximal 8.000 R$ kostet, ist der höchste Betrag, der für die Platzierung dieser Stellen ausgegeben werden kann:
66· 8 000 = 528 000
Von Raul Rodrigues de Oliveira
Quelle: Brasilien Schule - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/progressoes-aritmeticas.htm
