Sinus, Cosine og Tangent er de navne, der gives til trigonometriske forhold. De fleste af problemerne med afstandsberegninger løses ved hjælp af trigonometri. Og til det er det meget vigtigt at forstå dets grundlæggende, begyndende med højre trekant.
Trigonometriske forhold er også meget vigtige, da de vedrører målingerne på begge sider af trekant med en af de skarpe vinkler, der forbinder dette forhold med en reelt tal.
Se mere: Identificering af kvadranterne i den trigonometriske cyklus
Funktioner i den rigtige trekant
Den højre trekant er dannet af en vinkel 90 ° (lige vinkel). De andre vinkler er mindre end 90º, det vil sige de er spidse, og derudover ved vi, at de største sider altid er modsat de største vinkler. I den højre trekant kaldes den største side hypotenus og er "foran" den rigtige vinkel, kaldes de andre sider peccaries.
I trekanten ovenfor har vi, at siderne, der måler c og b, er benene, og den side, der måler a, er hypotenusen. I enhver ret trekant vidste forholdet som Pythagoras sætning er gyldig.
Det2 = b2 + c2
Den halskrave peccary, fra nu af, får også specielle navne. Benens nomenklaturer afhænger af referencevinklen. I betragtning af vinklen i blåt i billedet ovenfor har vi, at den side, der måler b, er modsatte ben, og den side, der er ved siden af vinklen, det vil sige, at måler c er den tilstødende ben.
Sinus
Før vi definerer en formel for sinus i en vinkel, lad os forstå ideen om sinus. Forestil dig en rampe, hvorpå vi kan bestemme grund mellem højde og kurs, ikke? Dette forhold kaldes sinus for vinklen α.
Dermed,
sin α = højde
rute
cosinus
Analogt med ideen om sinus har vi følelsen af cosinus, men i en rampe er cosinus forholdet mellem afstanden fra jorden og stien langs rampen.
Dermed:
cos α = fjernelse
rute
Tangent
Også ligner ideerne om sinus og cosinus, er tangenten forholdet mellem en rampes højde og afstand.
Dermed:
tg α = højde
fjernelse
Tangenten giver os stigningshastighed.
Læs også: Trigonometri i enhver trekant
Forholdet mellem sinus, cosinus og tangens
Generelt kan vi derefter definere sinus, cosinus og tangens i enhver ret trekant ved hjælp af de tidligere ideer. Se nedenunder:
Først tager du vinkel α som reference har vi:
sin α = modsatte side = ç
hypotenuse til
cos α = tilstødende catet = B
hypotenuse til
tg α = modsatte side = ç
Tilstødende katet b
Når vi nu tager vinklen β som reference, har vi:
sin β = modsatte side = B
hypotenuse til
cos β = tilstødende catet = ç
hypotenuse til
tg β = modsatte side = B
tilstødende katetus c
Trigonometriske tabeller
Der er tre vinkelværdier, vi skal kende. Er de:
De øvrige værdier er angivet i øvelsens udsagn eller kan kontrolleres i følgende tabel, men rolig, det er ikke nødvendigt at huske dem (undtagen dem i den foregående tabel).
Vinkel (°) |
sinus |
cosinus |
tangent |
Vinkel (°) |
sinus |
cosinus |
tangent |
1 |
0,017452 |
0,999848 |
0,017455 |
46 |
0,71934 |
0,694658 |
1,03553 |
2 |
0,034899 |
0,999391 |
0,034921 |
47 |
0,731354 |
0,681998 |
1,072369 |
3 |
0,052336 |
0,99863 |
0,052408 |
48 |
0,743145 |
0,669131 |
1,110613 |
4 |
0,069756 |
0,997564 |
0,069927 |
49 |
0,75471 |
0,656059 |
1,150368 |
5 |
0,087156 |
0,996195 |
0,087489 |
50 |
0,766044 |
0,642788 |
1,191754 |
6 |
0,104528 |
0,994522 |
0,105104 |
51 |
0,777146 |
0,62932 |
1,234897 |
7 |
0,121869 |
0,992546 |
0,122785 |
52 |
0,788011 |
0,615661 |
1,279942 |
8 |
0,139173 |
0,990268 |
0,140541 |
53 |
0,798636 |
0,601815 |
1,327045 |
9 |
0,156434 |
0,987688 |
0,158384 |
54 |
0,809017 |
0,587785 |
1,376382 |
10 |
0,173648 |
0,984808 |
0,176327 |
55 |
0,819152 |
0,573576 |
1,428148 |
11 |
0,190809 |
0,981627 |
0,19438 |
56 |
0,829038 |
0,559193 |
1,482561 |
12 |
0,207912 |
0,978148 |
0,212557 |
57 |
0,838671 |
0,544639 |
1,539865 |
13 |
0,224951 |
0,97437 |
0,230868 |
58 |
0,848048 |
0,529919 |
1,600335 |
14 |
0,241922 |
0,970296 |
0,249328 |
59 |
0,857167 |
0,515038 |
1,664279 |
15 |
0,258819 |
0,965926 |
0,267949 |
60 |
0,866025 |
0,5 |
1,732051 |
16 |
0,275637 |
0,961262 |
0,286745 |
61 |
0,87462 |
0,48481 |
1,804048 |
17 |
0,292372 |
0,956305 |
0,305731 |
62 |
0,882948 |
0,469472 |
1,880726 |
18 |
0,309017 |
0,951057 |
0,32492 |
63 |
0,891007 |
0,45399 |
1,962611 |
19 |
0,325568 |
0,945519 |
0,344328 |
64 |
0,898794 |
0,438371 |
2,050304 |
20 |
0,34202 |
0,939693 |
0,36397 |
65 |
0,906308 |
0,422618 |
2,144507 |
21 |
0,358368 |
0,93358 |
0,383864 |
66 |
0,913545 |
0,406737 |
2,246037 |
22 |
0,374607 |
0,927184 |
0,404026 |
67 |
0,920505 |
0,390731 |
2,355852 |
23 |
0,390731 |
0,920505 |
0,424475 |
68 |
0,927184 |
0,374607 |
2,475087 |
24 |
0,406737 |
0,913545 |
0,445229 |
69 |
0,93358 |
0,358368 |
2,605089 |
25 |
0,422618 |
0,906308 |
0,466308 |
70 |
0,939693 |
0,34202 |
2,747477 |
26 |
0,438371 |
0,898794 |
0,487733 |
71 |
0,945519 |
0,325568 |
2,904211 |
27 |
0,45399 |
0,891007 |
0,509525 |
72 |
0,951057 |
0,309017 |
3,077684 |
28 |
0,469472 |
0,882948 |
0,531709 |
73 |
0,956305 |
0,292372 |
3,270853 |
29 |
0,48481 |
0,87462 |
0,554309 |
74 |
0,961262 |
0,275637 |
3,487414 |
30 |
0,5 |
0,866025 |
0,57735 |
75 |
0,965926 |
0,258819 |
3,732051 |
31 |
0,515038 |
0,857167 |
0,600861 |
76 |
0,970296 |
0,241922 |
4,010781 |
32 |
0,529919 |
0,848048 |
0,624869 |
77 |
0,97437 |
0,224951 |
4,331476 |
33 |
0,544639 |
0,838671 |
0,649408 |
78 |
0,978148 |
0,207912 |
4,70463 |
34 |
0,559193 |
0,829038 |
0,674509 |
79 |
0,981627 |
0,190809 |
5,144554 |
35 |
0,573576 |
0,819152 |
0,700208 |
80 |
0,984808 |
0,173648 |
5,671282 |
36 |
0,587785 |
0,809017 |
0,726543 |
81 |
0,987688 |
0,156434 |
6,313752 |
37 |
0,601815 |
0,798636 |
0,753554 |
82 |
0,990268 |
0,139173 |
7,11537 |
38 |
0,615661 |
0,788011 |
0,781286 |
83 |
0,992546 |
0,121869 |
8,144346 |
39 |
0,62932 |
0,777146 |
0,809784 |
84 |
0,994522 |
0,104528 |
9,514364 |
40 |
0,642788 |
0,766044 |
0,8391 |
85 |
0,996195 |
0,087156 |
11,43005 |
41 |
0,656059 |
0,75471 |
0,869287 |
86 |
0,997564 |
0,069756 |
14,30067 |
42 |
0,669131 |
0,743145 |
0,900404 |
87 |
0,99863 |
0,052336 |
19,08114 |
43 |
0,681998 |
0,731354 |
0,932515 |
88 |
0,999391 |
0,034899 |
28,63625 |
44 |
0,694658 |
0,71934 |
0,965689 |
89 |
0,999848 |
0,017452 |
57,28996 |
45 |
0,707107 |
0,707107 |
1 |
90 |
1 |
Også vide: Sekant, cosecant og cotangent
løste øvelser
Spørgsmål 1 - Bestem værdien af x og y i den følgende trekant.
Opløsning:
Se i trekanten, at den givne vinkel var 30 °. Ser vi stadig på trekanten, har vi den side, der måler x Det er modsatte ben i en vinkel på 30 ° og den side, der måler y Det er tilstødende ben i en vinkel på 30 °. Derfor skal vi kigge efter et trigonometrisk forhold, der relaterer det, vi leder efter, med det, der er givet (hypotenuse). Snart:
synd 30 ° = modsatte side
Hypotenus
cos 30 ° = tilstødende catet
Hypotenus
Bestemt værdien af x:
synd 30 ° = modsatte side
Hypotenus
synd 30 ° = x
2
Når vi ser på bordet, skal vi:
synd 30 ° = 1
2
Ved at erstatte det i ligningen har vi:
1 = x
2 2
x = 1
På samme måde vil vi overveje
Dermed:
Cos 30 ° = √3
2
cos 30 ° = tilstødende catet
Hypotenus
cos 30 ° = Y
2
√3 = Y
2 2
y = √3
spørgsmål 2 - (PUC-SP) Hvad er værdien af x i den følgende figur?
Opløsning:
Når du ser den større trekant, skal du bemærke, at y er modsat 30 ° vinklen, og at 40 er hypotenusen, dvs. vi kan bruge det trigonometriske sinusforhold.
synd 30 ° = Y
40
1 = Y
2 40
2 y = 40
y = 20
Ser vi nu på den mindre trekant, se at vi har værdien af den modsatte side, og vi ser efter værdien af x, som er den tilstødende side. Det trigonometriske forhold, der involverer disse to ben, er tangenten. Dermed:
tg 60 ° = 20
x
√3= 20
x
√3 x = 20
x = 20 · √3
√3 √3
x = 20√3
3
af Robson Luiz
Matematiklærer
Kilde: Brasilien skole - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/seno-cosseno-tangente-angulos.htm
