Polyhedra (fra latin poly - mange - og hedron - ansigt) er taltredimensionelt dannet af foreningen af regelmæssige polygoner, hvor de polyhedrale vinkler alle er kongruente. Foreningen af disse polygoner danner elementer, der udgør polyhedronet, de er: hjørner, kanter og ansigter. Imidlertid er ikke hver tredimensionelle figur en polyhedron, et eksempel på dette er figurer, der har buede ansigter kaldet runde kroppe.
Der er en matematisk formel, der relaterer elementerne i en polyhedron kaldet Eulers forhold. Derudover er polyedre opdelt i to grupper: de såkaldte polyedre konveks og ikke konveks. Nogle polyeder fortjener særlig opmærksomhed, kaldes de Platons polyeder: tetraeder, hexahedron, oktaeder, dodecahedron og icosahedron.
Læs også: Forskelle mellem flade og rumlige figurer
konveks polyhedra
En polyhedron vil være konveks, når den dannes af polygoner konveks, således at følgende betingelser accepteres:
- to af polygonerne Aldrig de er i samme plan, det vil sige, de hører ikke til det samme plan.
- Hver side af en af disse polygoner tilhører kun to polygoner.
- Flyet, der indeholder nogen af disse polygoner, efterlader de andre polygoner i samme halvrum.
Læs også:Summen af interne og eksterne vinkler af en konveks polygon
Elementer af en konveks polyhedron
Overvej denne konvekse polyhedron:
Du firkanter i figuren kaldes ansigter af polyhedronet.
Du pentagoner er ansigterne og bunden af polyhedronet, som er navngivet femkantet base polyhedron.
De segmenter, der danner hvert af ansigterne, kaldes kanter af polyhedronet.
De punkter, hvor kanterne mødes, kaldes hjørner.
Linjesegmentet JC kaldes diagonal af polyhedronet, betegnet med:
JC er en af diagonalerne, forstår vi diagonal af polyhedronet som værende linjesegmentet, der forbinder to hjørner, der ikke hører til det samme ansigt.
Vi har også den polyhedrale vinkel, dannet mellem kanterne, betegnet med:
En polyhedral vinkel kaldes a trihedral Hvornår tre kanter stammer fra et toppunkt. Ligeledes kaldes det tetraedral, sag fire kanter stammer fra et toppunkt osv.
Fra nu af opretter vi nogle notationer, de er:
Lær mere: Planlægning af geometriske faste stoffer
Egenskaber ved en konveks polyhedron
Ejendom 1
Summen af kanterne på alle ansigter er lig med det dobbelte af antallet af kanterne på polyhedronet.
Eksempel
En polyhedron har 6 firkantede ansigter. Lad os bestemme antallet af kanter.
Ifølge egenskaben skal du blot gange antallet af kanter på et ansigt med antallet af ansigter, og dette er lig med det dobbelte af antallet af kanter. Dermed:
Ejendom 2
Summen af hjørnerne på alle ansigter er lig med summen af kanterne på alle ansigter, hvilket er lig med det dobbelte af antallet af kanter.
Eksempel
En polyhedron med 5 tetraedriske vinkler og 4 hexahedriske vinkler. Lad os bestemme antallet af kanter.
Analogt med det foregående eksempel siger den anden egenskab, at summen af kanterne på alle ansigter er lig med det dobbelte af antallet af kanter. Antallet af kanter er givet af produktet fra 5 af 4 og 4 af 6, da de er 5 tetraedriske og 4 hexahedrale vinkler. Dermed:
Konkave (ikke-konvekse) polyedre
En polyhedron er ikke-konveks eller konkav, når vi tager to punkter på forskellige ansigter og den lige r der indeholder disse punkter, er ikke alle indeholdt i polyhedronet.
Bemærk, at den lige linje (i blå) ikke er komplet i polyederet, så polyhedronet (i lyserødt) er konkave eller ikke-konveks.
regelmæssig polyhedra
Vi siger, at en polyhedron er regelmæssig når dine ansigter er regelmæssige polygoner lig med hinanden og med de polyhedrale vinkler ens.
Se nogle eksempler:
Bemærk, at alle dine ansigter er regelmæssige polygoner. Dens ansigter er dannet af firkanter, og kanterne er alle kongruente, dvs. de har samme mål.
Læsogså: Hvad er regelmæssige og konvekse polygoner?
Eulers forhold
Også kendt som Eulers sætning, resultatet blev bevist af Leonhard Euler (1707 - 1783) og garanterer, at i alle lukkede konvekse polyeder følgende forhold er gyldigt:
Platons polyhedra
Enhver polyhedron, der opfylder følgende betingelser, kaldes Platons polyhedron:
Euler-forholdet er gyldigt
Alle ansigter har det samme antal kanter
Alle polyhedrale vinkler har det samme antal kanter
Det er bevist, at der kun er fem regelmæssige og konvekse polyedre eller Platons polyedre, de er:
regelmæssig tetraeder
tetraeder har 4 trekantede ansigter kongruent og 4 trihedrale vinkler kongruent.
regelmæssig hexahedron
hexahedronen har 6 firkantede ansigter kongruent og 8 trihedrale vinkler kongruent.
regelmæssig oktaeder
octaeder har 8 trekantede ansigter kongruent og 6 tetraedriske vinkler kongruent.
regelmæssig dodecahedron
dodecahedron har 12 femkantede ansigter kongruent og 20 vinklertrihedral kongruent.
almindelig icosahedron
Icosaeder har 20 trekantede ansigter kongruent og 12 pentahedrale vinkler kongruent.
løste øvelser
1) (Enem) En juvel blev skåret i form af en konveks polyhedron med 32 ansigter, hvoraf 20 er hexahedra og resten er femkantede. Denne juvel vil være en gave til en dame, der fejrer sin fødselsdag og fuldfører en alder, hvis antal er antallet af hjørner af denne polyhedron. Denne dame er ved at fuldføre:
a) 90 år
b) 72 år gammel
c) 60 år gammel
d) 56 år gammel
e) 52 år gammel
Opløsning:
Giver ejendom 1 af konveks polyhedra ved vi, at:
Nu hvordan vi kender antallet af kanter Det er antal ansigter, vi kan bruge Euler-forholdet.
Da den alder, du gennemfører, er lig med antallet af hjørner, så dette er 60 år. Alternativ c.
2) (PUC-SP) Hvor mange kanter har en konveks polyhedron med trekantede ansigter, hvor antallet af hjørner er tre femtedele af antallet af ansigter?
a) 60
b) 30
c) 25
d) 20
e) 15
Opløsning:
Fra egenskaberne af en konveks polyhedron og træningserklæringen har vi:
Ved at erstatte disse værdier i Euler-forholdet har vi følgende:
Organisering af den tidligere ligning og løsning af ligningen i F følger det således:
Ved at erstatte værdien af antallet af ansigter, der findes i ligningen af kanter, har vi:
Alternativ b
af Robson Luiz
Matematiklærer
